Secondo compito di esonero di Elettricità e Magnetismo A. A. 2003-2004
(Prof. A. Frova)
18 Marzo 2004
1) Quattro fili conduttori infinitamente lunghi e di sezione trascurabile sono disposti
ortogonalmente al piano del foglio e sono percorsi dalla stessa corrente i=12 A. I fili sono disposti
ai vertici di un quadrato di lato a=18 cm. Il verso della corrente di ciascun filo e’ indicato nella
figura.
a) Calcolare direzione, verso ed intensità del campo di induzione magnetica al centro C del quadrato
avente i quattro fili come vertici.
b) Calcolare verso, direzione ed intensità della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo
disposto nel punto P=(a,a).
y
P
C
x
2) Una spira indeformabile percorsa in verso orario da una corrente i=15 A e’ sagomata come
mostrato in figura. I tratti curvi sono archi di circonferenza di raggi a=12 cm e b=8.0 cm ed
ampiezza angolare =60.
a) Determinare direzione, verso e modulo del campo di induzione magnetica nel punto P
coincidente con il centro degli archi di circonferenza.
b) Se la spira e’ immersa in un campo di induzione magnetica B=0.35 T diretto ortogonalmente al
piano del foglio, con verso uscente da quest’ultimo, determinare direzione, verso e modulo della
forza agente su ciascun ramo della spira e verificare che la forza totale e’ nulla.
i
a
B
b
P
Soluzione
1) L’espressione del campo magnetico generato da un filo infinitamente lungo percorso da una
i
corrente i e’ B 0 tˆ , dove r e’ la distanza tra il filo e il punto i cui si vuole calcolare il campo, e
2r
tˆ e’ un versore diretto lungo la tangente della circonferenza di raggio r coassiale al filo percorsa nel
verso usualmente adottato.
a) Per determinare la direzione, verso ed intensità del campo magnetico nel centro del quadrato
occorre sommare vettorialmente i contributi di tutti fili.
y
Facendo riferimento alle notazioni della figura a fianco si ha:
i
B1 B2 B3 B4 0 2 ; direzioni e versi dei campi
2a
B1 B3
4
sono indicati nella figura a fianco.
i
Si ottiene Btot B1 B3 0 2 =3.8 10-5 T
a
diretto lungo la direzione definita da B1 B3 .
3
B4
B2
x
1
2
dF
b) Si procede in modo analogo per determinare la forza per unita’ di lunghezza
izˆ BP che
dl
agisce sul filo posizionato in P=(a,a), dove ẑ e’ il versore dell’asse z. Il vettore del campo
magnetico in P e’ dato dalla somma vettoriale dei campi generati in P dai fili 1, 2 e 4.
B1
i
, B2 B4 0 .
2a
2a 2
0i
i 3
Si ottiene BP 0
orientato come nella
2a 2
y
4
BP
B
B1 4
B2
dF
dl
P
figura a fianco.
0i 2 3
dF
3.4 10-4 N/m con punto di
dF
dl e
dl
2a 2
applicazione in P e diretta lungo la diagonale del quadrato.
x
1
2
2) a) Considerando separatamente i tratti rettilinei della spira, il campo magnetico generato da
ciascuno di essi in P e’ pari a:
B1 P B3 P 0 , in quanto dl // r .
2
i
a
I contributi degli archi di circonferenza in P possono essere
1
calcolati a partire dal risultato noto per il campo magnetico
3
4
b
generato nel centro di una spira circolare percorsa da corrente i:
i
i
B2 0 zˆ e B4 0 zˆ , dove ẑ e’ il versore dell’asse z perpendicolare
12a
12b
i1 1
al piano del foglio. In totale Btot 0 zˆ di modulo 6.5 10-6 T.
12 b a
Btot
b) La forza agente sui due tratti rettilinei e’ uguale in modulo a F1,3 i a b B =0.21 N ed ha
verso e direzione come indicato nella figura a fianco.
F1 F3 i a b B 2 sin 2 yˆ .
La forza agente su ciascuno dei tratti infinitesimi appartenenti ai due rami curvi della spira e’ diretta
radialmente verso il punto P. Come mostrato nella figura la sola componente vettoriale che rimane
e’ quella parallela all’asse y.
y
2
F2 i B cos ' a d ' yˆ 2 i a B sin yˆ .
2
2
Similmente F4 2 i b B sin yˆ .
2
Da cui F2 F4 i b a B 2 sin 2 yˆ .
F2 0.63 N e F4 0.42 N.
2
F1
a
'
1
4
F3
3
b
Come aspettato dalla uniformità del campo magnetico esterno, la forza
F m B agente sulla spira e’ nulla.
dF2
'
x
P
