Serie 34: Soluzioni

FAM
Serie 34: Soluzioni
C. Ferrari
Esercizio 1 Legge di Faraday e legge di Lenz
1. Utilizzando la legge di Lenz otteniamo
~
B
~n
I−
I+
~ aumenta e I− il caso in cui il campo
dove I+ indica il caso in cui il campo B
diminuisce.
2.+3. Utilizzando l’indicazione il campo elettrico genera una densità di corrente ~j
come nella figura qui sotto
~
∂B
∂t
~
∇∧E
~
∇∧E
~
∂B
∂t
~j
~j
(b)
(a)
Vediamo quindi che, in accordo con la legge di Lenz,
~
(a) Se il flusso magnetico “aumenta” la corrente indotta “indebolisce” B.
~
∂B
~ · ~t < 0
· ~n > 0 =⇒ E
∂t
(oppure ~j · ~t < 0)
e quindi
~
dΦS (B)
> 0 =⇒ E < 0
dt
(oppure I < 0)
~
(b) Se il flusso magnetico “diminuisce” la corrente indotta “rafforza” B.
~
∂B
~ · ~t > 0
· ~n < 0 =⇒ E
∂t
(oppure ~j · ~t > 0)
e quindi
~
dΦS (B)
< 0 =⇒ E > 0
dt
1
(oppure I > 0)
Dove per I < 0 si intende rispetto all’orientamento della spira.
Esercizio 2 Alcune proprietà utili
1. Si ha, utilizzando div rot V~ = ~0 per ogni V~ ∈ C 2 (R3 × R; R3 ),
~
∂(div B)
~
~ = div − ∂ B
~0 = div (rot E)
=−
∂t
∂t
da cui
~ = cost indipendente dal tempo
div B
Ora il vuoto è omogeneo e quindi la costante non dipende neppure dal luogo.
Visto che in nel caso della magnetostatica la costante è nulla concludiamo che
è l’unica soluzione.
2. Sia S = S1 ∪ S2 una superficie chiusa tale che C ⊂ S, allora
Z
~ dω = ΦS (B)
~ = ΦS1 (B)
~ + ΦS2 (B)
~ =⇒ ΦS1 (B)
~ = −ΦS2 (B)
~ .
0=
div B
VS
Ora, se l’orientamento di C da un vettore normale verso l’esterno (di S) per
S1 il vettore normale dato dall’orientamento di C per S2 è verso l’interno (di
S) e quindi per calcolare il flusso attraverso S2 relativamente a C è necessario
cambiare il segno, otteniamo quindi
~ = ΦS C (B)
~
ΦS1C (B)
2
dove SiC indica la superficie orientata relativamente a C.
Esercizio 3 Induttanza
Per una singola spira abbiamo
Φ1 = B(πr 2 ) = µ0 I N (πr 2 )
per N spire
ℓ
2
NΦ1 = µ0 I N (πr 2 )
ℓ
da cui il risultano.
Esercizio 4 Potenziali scalare e vettoriale
Abbiamo
~
~
~
~ ~
~ = − ∂B
~ + ∂A
rot E
= − ∂rot A = −rot ∂ A =⇒ rot E
=0
∂t
∂t
∂t
~
~ + ∂A
= −grad f
=⇒ E
∂t
2
∂t
dove abbiamo utilizzato che rot grad f = 0. Per i problemi statici f = ϕ da cui
~
~ = −grad ϕ − ∂ A
.
E
∂t
Esercizio 5 Forza elettromotrice
1. Utilizzando la legge di Faraday nella forma
E=−
~
dΦS (B)
dt
~
~ · A~n = µ0 I(t)nA otteniamo
ed utilizzando il fatto che ΦS (B)(t)
= B(t)
E(t) = −Aµ0 nI0 ω cos ωt .
2. (a) |E(2,0 s)| = 31 mV.
(b) Secondo la legge di Lenz, la corrente indotta crea un campo che si oppone
alla variazione di flusso e quindi nella spira la corrente circola in senso
orario, da cui si deduce il senso nella resistenza R da destra a sinistra.
Supponendo valida la legge di Ohm si ottiene I(2,0 s) = 3,65 mA.
Esercizio 6 Generatore di corrente alternata
1. Determiniamo dapprima il flusso. Poiché il campo magnetico è omogeneo per
ogni t
~ =B
~ · ~nS
Φ ≡ ΦS (B)
~ = B~ez . Dobbiamo esprimere ~n(t) sapendo che ~n(0 s) = ~ez e che
Abbiamo B
~n(T ) = ~n(0) dove T = 1/ν è il periodo. Abbiamo

 

0
0
~n(t) =  ny (t)  =  sin ωt  .
nz (t)
cos ωt
Quindi
Φ(t) = abB cos ωt
da cui, utilizzando la legge di Faraday,
E(t) = ωNabB sin ωt = E0 sin ωt .
2. Abbiamo la condizione
Nab =
E0
=⇒ Nab = 1,98 m2 .
2πνB
3
E0
= 1 A).
R
3. Abbiamo (grafico con ν = 1 Hz e
E
I(t) = 1 ωNabB sin ωt = 0 sin ωt = I0 sin ωt .
R
R
1
0.5
I(t)0 0
1
2
3
4
5
t
-0.5
-1
4. Abbiamo
Z
T
0
I0
sin2 (ωt) dt = 21 T =⇒ IRM S = √
2
5. Vedi sopra.
Esercizio 7 Campo elettrico indotto
1. Abbiamo
solenoide
~
E
~
B
2. Abbiamo
e
~ = −E2πr
ΓC (E)
~
d
dΦSC (B)
=
B(t)πr 2
dt
dt
~
~ = − dΦSC (B) otteniamo
da cui con la legge di Faraday nella forma ΓC (E)
dt
dB(t)
r
E(r,t) = 12
dt
4
r≤R
~ =
con R il raggio del solenoide. Per r > R il flusso magnetico vale ΦSC (B)
2
πR B da cui
dB(t) R2
r>R.
E(r,t) = 1
2 dt r
Quindi per r ≤ R
(
10,21 · 10−3 r N/(mC)
0 s ≤ t ≤ 4,62 s ≡ t∗
E(r,t) =
0 N/C
t > 4,62 s
3. E(r = 2,2 cm,t < t∗ ) = 2,25 · 10−3 N/C.
4. Abbiamo Fel = qE e quindi Fel = 3,6 · 10−22 N e quindi a = 2,16 · 105 m/s2 .
Esercizio 8 Correnti di Foucault
1. Fino al momento in cui la placca non è completamente nel campo magnetico vi
è una variazione di flusso magnetico e quindi l’apparizione di correnti indotte
corrispondenti al movimento degli elettroni di conduzione. Si ha la situazione
seguente
~
B
I
le correnti si arrestano quando non vi è più variazione di flusso poiché non vi
è più un forza elettromotrice che le mantiene1 .
2. Le correnti indotte nel conduttore, se poste nel campo subiscono la forza del
campo magnetico che ha tendenza a impedire il movimento nel campo, per
mantenere la velocità costante è quindi necessario fornire energia.
1
Questo non accade nei superconduttori in cui la resistenza elettrica è nulla.
5