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L’IDROLOGIA
Etimologicamente la parola idrologia viene dal greco antico: yδρω (idro) acqua +
λογos (logos) discorso e pertanto, nella sua genericità, può significare molte cose, dalla
fisica del moto dell’acqua, che noi preferiamo chiamare col termine idraulica, a gli
effetti delle acque sull’organismo umano (idrologia medica).
In campo tecnico col termine idrologia s’intende lo studio del ciclo naturale delle
acque, dalla loro precipitazione allo stato liquido o solido, fino a quando, convogliate,
sopra o sotto il suolo, fino al mare, ritornano nell’atmosfera, da questo o da un altro
punto del percorso.
Più in particolare, l’idrologia tecnica si occupa della variabilità spaziale e temporale
di tutte quelle grandezze fisiche che intervengono nel ciclo ideologico e che
interessano il tecnico, sia per la valutazione delle risorse che per la difesa dalle piene.
Pertanto, volendo fare un elenco, non esaustivo, delle grandezze di cui si occupa
l’idrologia, indicheremo: le precipitazioni, sotto qualsiasi forma ed intervallo temporale,
le portate dei corsi d’acqua e il deflusso di falda, nonché tutte le grandezze che
intervengono nei fenomeni d’infiltrazione e d’evaporazione.
Nel nostro corso ci occuperemo, essenzialmente, della difesa del territorio e,
quindi: delle piene, delle piogge massime, da cui sono generate le piene, e dei fenomeni
che controllano la trasformazione delle piogge in deflussi (infiltrazione e modelli
afflussi- deflussi).
SERVIZIO IDROGRAFICO E MAREOGRAFICO
ITALIANO
L’istituzione di un Servizio Idrografico Nazionale quale organismo col compito
specifico di osservare e studiare, su tutto il territorio nazionale, le acque naturali di
qualunque specie: superficiali, come i fiumi, i torrenti, i laghi, o sotterranee, come le
falde freatiche ed artesiane, e di indagare i fenomeni che più direttamente ne
determinano le vicende, come le precipitazioni atmosferiche e la temperatura dell'aria,
in Italia, fu determinata dalla possibilità che si andava presentando, all’inizio del ‘900,
di sopperire al fabbisogno di energia con le risorse idrauliche, mediante la produzione
idroelettrica.
Di conseguenza, si decise, alla fine del 1917 di istituire un Servizio Idrografico
Centrale con lo scopo di uniformare, organizzare e rendere disponibili le misurazioni
pluviometriche, idrometriche e mareografiche. A partire dai primi mesi del 1918, quindi,
le osservazioni e le indagini idrografiche vennero estese a tutto il territorio italiano
che venne suddiviso, grosso modo, in 14 grandi compartimenti (vedi figura) delimitati
con criteri puramente idrografici in modo che ognuno di essi fosse racchiuso da linee
spartiacque e comprendesse solo bacini interi, indipendentemente da suddivisioni
provinciali e regionali. I compartimenti vennero affidati ad altrettante Sezioni
Autonome del Genio Civile nell'ambito del Ministero dei Lavori Pubblici e
sostanzialmente questa suddivisione è stata in vigore fino a pochi anni fa.
Dopo circa settant'anni di attività ininterrotta, a meno di alcuni anni nel corso
della Seconda Guerra Mondiale, a seguito della riorganizzazione e potenziamento dei
Servizi Tecnici Nazionali (L. 18 maggio 1989, n. 183) le attività del Servizio Idrografico
e Mareografico Nazionale e degli Uffici periferici vennero trasferite alla Presidenza
del Consiglio dei Ministri.
Dopo ulteriori passaggi legislativi, col DPCM 24/07/2002 "Trasferimento alle
Regioni degli Uffici periferici del Dipartimento dei Servizi Tecnici Nazionali - Servizio
Idrografico e Mareografico", i Servizi Idrografici e Mareografici vennero trasferiti
alle regioni. Questo ha comportato che le competenze del Servizio Idrografico sono
passate ad enti regionali (agenzie ARPA, oppure servizi tecnici regionali, singoli
Dipartimenti di Protezione Civile ecc.), e i precedenti Compartimenti che erano molto
spesso sovraregionali sono stati così smembrati sotto enti aventi estensione regionale.
Il Servizio Idrografico e Mareografico Italiano ha proceduto, fino alla sua
dismissione, alla pubblicazione dei cosiddetti Annali idrologici, relativi ai vari
compartimenti in cui era stato diviso il territorio. A seguito della regionalizzazione, la
pubblicazione degli Annali è stata sospesa ed ogni struttura regionale si è incaricata di
pubblicare i dati di sua competenza come e se voleva.
LE PIENE
STAZIONI IDROGRAFICHE ED IDROMERTROGRAFICHE
Aste idrometriche
Idrometro registratore
Mulinelli
Misure di velocità
Scala di deflusso
Q = α hn
Stazione per misure fisse
Servizio Idrografico e Mareografico Italiano
Compartimento di Napoli
Sezioni idrometrografiche
Diagrammi storici delle portate
Dati giornalieri di portata
Massimi annuali delle portate al colmo di piena
Massimi annuali delle portate al colmo di piena
Componenti di una piena
Deflusso ipodermico
Deflusso di base
MASSIME PIENE
Leggi empiriche:
S ⎞ −a
⎛
⎟
qmax = q100 ⎜
⎝ 100 ⎠
qmax massimo contributo unitario di piena per un bacino di
superficie S (m3/s km2);
S
superficie del bacino (km2);
q100 contributo di un bacino di superficie 100 km2;
a
costante;
Gherardelli (1939)
a = 0.7 per bacini impermeabili
a = 0.5 per bacini permeabili
Marchetti (1955)
a = 2/3
• I valori di q100 sono proposti dai vari autori, in genere con
differenziazione regionale, “per analogia a quei bacini in
condizioni morfologiche ed idrologiche simili e confrontabili”.
Popolazione
x
generica grandezza idrologica
(ad es. massimi annuali delle portate di piena)
Variabile casuale:
X
{
Stazionarietà della popolazione
Indipendenza dei dati
assegnato valore della generica grandezza idrologica x
Definiamo: “Probabilità cumulata di X” il valore
Φ{X} che indica la probabilità dell’evento x ≤ X
PROBABILITA’ CUMULATA
La funzione Φ{x}, detta “Probabilità Cumulata”, sarà una
funzione monotona crescente di x con:
Φ{∞} = 1
DENSITA’ DI PROBABILITA’
La funzione ϕ{ x} =
dφ{ x}
prende il nome di “Curva di
dx
densità di probabilità”.
x
Φ{x} = ∫ ϕ {x}dx
−∞
Definiamo:
Media
x
Moda
x~
ϕ { x~} = Max
(
(
Φ { x} = 0.50
Mediana x
PERIODO DI RITORNO T
Intervallo medio di tempo intercorrente tra un superamento e
l’altro.
1
T=
1− Φ
Variabile: massimi annuali
(1 evento all’anno)
T in anni
PROBABILITÀ E RISCHIO
Φ{X} = probabilità che il valore x ≤ X
1 - Φ{X} = probabilità che il valore x > X
N numero di anni (Vita dell’opera)
• La probabilità che in N anni X sia il massimo è data da:
• x ≤ X per N anni
• Φ{X}N
• La probabilità che in N anni X sia il minimo è data da:
• x > X per N anni
• (1-Φ{X})N
RISCHIO:
Definiamo rischio R la probabilità che si verifichi l’evento
insuccesso
R ===> 1 - Φ{X}N
Momenti
Momento di ordine n rispetto all’origine:
∞
∫
M on =
x nϕ { x} dx
−∞
M o1 = μ = media
Momento di ordine n rispetto alla media:
M μn =
∞
∫
( x − μ )n ϕ { x} dx
−∞
M μ2 = ν = varianza
scarto quadratico medio σ = ν
FORMA DELLA DISTIBUZIONE DI PROBABILITA’
Coefficiente di variazione
Coefficiente di asimmetria
γ =
σ
μ
γ1 =
M μ3
σ3
Campione
xi
i = 1,...., n
n = dimensione del campione
(numero degli elementi tratti, a caso, dalla popolazione)
Frequenza cumulata F(xi) stima della Probabilità cumulata:
F ( xi ) =
i
n +1
(formula di Weibul)
F ( xi ) =
i − 0.5
n
(formula di Hazen)
Stima della funzione Probabilità cumulata col
Metodo dei momenti
Due funzioni risultano coincidenti se sono coincidenti tutti i loro
momenti.
Stima dei momenti:
n
∑ xi
Media
M o1 = i =1
n
_
= x stima di μ
n
∑ ( xi − x )2
Varianza M 2 = i =1
x
n −1
= v stima di ν
Scarto quadratico medio
s = v stima di σ = ν
Coefficiente di variazione
g=
s
x
stima di γ
n
Coefficiente di asimmetria
stima di γ1
g1 =
n
(n − 1)(n − 2)
∑ (x − x)
i =1
i
s3
3
La stima dei momenti è tanto più incerta:
- quanto più è piccolo il campione;
- quanto più elevato è l’ordine del momento.
Pertanto, con la dimensione usuale dei nostri campioni (20 – 50
dati), la stima di momenti di ordine superiore al secondo è
fortemente inaffidabile.
Ne consegue che siamo costretti ad ipotizzare il tipo di funzione
distribuzione di probabilità, limitandoci ad utilizzare il metodo dei
momenti unicamente per la valutazione dell’ordine di grandezza
dei parametri di questa.
DISTRIBUZIONE NORMALE
DEL CASO O DI GAUSS
Funzione di probabilità cumulata:
x
1
e
−∞ 2πσ
Φ{x} = ∫
x−μ⎞
⎟
−0.5⎛⎜
⎝ σ ⎠
2
dx
Il calcolo dei momenti di primo e secondo ordine della
funzione φ{x} da:
media μ x = E(x)
varianza σ 2x = VAR(x)
coefficiente di variazione γ x =
σx
μx
μ 03
coefficiente di asimmetria γ 1 [ x ] = σ 3 = 0
x
mediana ξx ≡ Φ{ξ} = 0.5
per la Legge Normale del Caso
μ x = ξx
Sia y = f{x} una funzione monotona crescente di x, si avrà:
Φ{y} = Φ{x}
Consideriamo la variabile normale standardizzata o ridotta:
u=
u
x−μ
σ
1
−∞ 2π
Φ{u} = ∫
u2
−
e 2 du
Avremo:
Φ{x} = Φ{u}
Inoltre in questa sarà:
E(u) = 0;
VAR(u) = 1
Ed, in aggiunta, ad ogni valore di u corrisponderà un solo
valore di Φ{u} e viceversa.
Legge normale del caso
Φ
uΦ
0,01
0,025
0,05
0,10
0.15
0.20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,85
0,90
0,95
0,975
0,99
- 2,326
- 1,960
- 1,645
- 1,282
- 1,036
- 0,842
- 0,524
- 0,253
0,000
0,253
0,524
0,842
1,036
1,282
1,645
1,960
2,326
Carte probabilistiche
Se la funzione y = f{x} monotona crescente di x, è una funzione
lineare questa sarà rappresentata da una retta nel diagramma
cartesiano (x,y); pertanto si avrà:
Φ{x} = Φ{y}
y
x
Montiamo, lungo l’asse delle y, un corrispondente asse che riporta,
per ogni valore di y, il corrispondente valore di Φ{y}.
Poiché l’espressione lineare è quella di una funzione monotona
crescente, il valore della frequenza cumulata Φ{x} sarà lo stesso
della frequenza cumulata Φ{y}.
Pertanto avremo montato un diagramma in cui si ha, in ascissa, la
variabile x ed in ordinata la frequenza cumulata Φ{x}.
Al variare della funzione y = f{x} varierà la posizione della retta
sulla carta probabilistica.
Carta probabilistica normale:
Nel diagramma cartesiano:
in ascissa: x,
in ordinata: u ed il corrispondente Φ{u}.
La funzione di probabilità cumulata Φ{x} sarà rappresentata
dalla retta:
x = μ x + uσ x
pertanto la retta passerà per il punto μx, Φ{x}=0,50 (u0,5 = 0)
e il suo coefficiente angolare sarà proporzionale a σx.
DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE
La variabile y = log x è normalmente distribuita:
y
1
Φ{y}= ∫
e
2
πσ
−∞
y−μ⎞
⎟
−0.5⎛⎜
⎝ σ ⎠
2
dy
media μ y = E( y) ,
varianza σ 2y = VAR(y),
μ x ≠ ξx,
Φ{y}= Φ{x} = Φ{u}
Φ{ξx}= Φ{ξy} = Φ{ μ y } = 0.5
Se si calcolano i momenti della funzione φ{x} avremo le seguenti
relazioni:
σ 2y = 0.4343 2 ln (1 + γ 2x )
μ y = log μ x − 1.1513 σ 2y
Molto utili per calcolare i parametri della distribuzione delle y, in
base ai momenti della variabile x.
coefficiente di variazione γx = σx/μx
coefficiente di asimmetria γ 1[ x ] = 3γ x + γ 3x ≠ 0
Carta probabilistica log-normale:
In diagramma cartesiano ascissa: y = log x
ordinata: u, Φ{u}≡Φ{y}≡Φ{x}.
La funzione di probabilità cumulata Φ{x} sarà rappresentata
dalla retta:
y = μ y + uσ y
Formule approssimate:
se γ x piccolo ==> γ 1[ x ] = 3γ x ==> legge distribuita in
maniera quasi-normale.
se γ x <
1
===>
3
σ y ≅ 0.4343 γ x
DISTRIBUZIONE DEI PARAMETRI STATISTICI
(media, varianza, coeff. di variazione ecc.)
In generale, per conoscere la distribuzione di probabilità di uno
qualsiasi di questi parametri statistici, occorrerebbe conoscere la
distribuzione della grandezza originale x.
Purtroppo la statistica ci consente di conoscere le distribuzioni dei
parametri statistici di poche distribuzioni originali, in particolare
dei parametri della legge normale del caso.
Distribuzione della media
Distribuzione della media
Quale che sia la distribuzione di probabilità della variabile originale
x, se n non è troppo piccolo la variabile x n è distribuita secondo la
legge normale del caso con:
Media M { x n} = μ
Scarto quadratico medio σ{ x n}=
σ {x}
n
Se, però, non conosciamo il valore di μ e, quindi assumiamo:
μ ≡ xn
e
σ{x} ≡ sn{x}
la distribuzione è quella della t di Student e la variabile ridotta sarà
lo t:
x −μ
t= n
sn
n
che dipende anche dal valore di n.
I valori di t, per vari valori di n e di Φ, sono riportati nella seguente
tabella.
Valori del t per diversi valori di n e
per probabilità cumulate Φ = 0,025 e Φ =0,975
Distribuzione della varianza
Se la variabile originale x è distribuita secondo la legge normale del
caso, o con altra legge di probabilità che poco si discosta dalla
normale, la grandezza z =
V n {x }
è distribuita secondo la
ν
χ2
.
grandezza
n −1
Questo significa che i valori
Vn {x}
ν
=z=
χ2
n − 1 hanno stessa
probabilità cumulata:
⎧Vn {x}⎫
⎧ χ2 ⎫
Φ ⎨⎩ ν ⎬⎭ = Φ{z} = Φ ⎨
⎬
n −1
⎩
pertanto posto:
⎧
χ2 ⎫
Φ ⎨z 0.025 =
⎬ = 0.025
n − 1⎭
⎩
⎧
χ2 ⎫
Φ ⎨z 0.975 =
⎬ = 0.975
n − 1⎭
⎩
avremo:
V0.025n = z 0.025n ν
con
⎭
N
z0.025
z0.975
5
0.1210
2.3720
10
0.3000
2.1137
15
0.4021
1.8656
20
0.4688
1.7291
25
0.5167
1.6402
30
0.5533
1.5766
35
0.5825
1.5284
40
0.6065
1.4903
50
0.6440
1.4331
60
0.6722
1.3918
80
0.7128
1.3351
100
0.7410
1.2972
Analogamente si può procedere per altri valori della probabilità
cumulata.
Distribuzione del coefficiente di variazione g =
sn { x}
x
Se la x è distribuita secondo la legge normale del caso, o secondo
altra legge che poco si discosta da questa, la g è distribuita,
approssimativamente, secondo la legge normale del caso con:
M{g} ≅ γ
V{g} ≅
γ2
2(n − 1)
Pertanto gp = M{g} + up σ{g}.
(1 + 2γ 2 )
Distribuzione della F{xΦ}
La statistica mostra che F{xΦ} è distribuita secondo la legge
binomiale del caso, funzione dei parametri Φ ed n.
Tuttavia considerando:
0.15 ≤ Φ ≤ 0.85, per n ≥ 30
oppure
0.30 ≤ Φ ≤ 0.70, per n ≥ 10
la F{xi} può considerarsi distribuita secondo la legge normale del
caso con:
M {F } = Ф
σ { F} =
e
φ (1 − φ )
n
Distribuzione del frattile xF
Se la variabile x è distribuita secondo la legge normale del caso,
consideriamo la variabile ridotta:
x −μ
uF = F
,
σ
per 0.15 ≤ Φ ≤ 0.85, uF è funzione pressoché lineare di F per cui:
Φ{uF} ≡ Φ{F}
Se F è distribuita secondo la legge normale del caso, uF è
distribuita secondo la legge normale del caso.
Da cui V{uF} si ricava da V{F} e risulta:
1 φ (uφ ) [1 − φ (u p )]
V {u F } =
n
ϕ 2 (u p )
LA SIMILITUDINE IDOLOGICA
Il secondo problema che deve affrontare un idrologo è quello di trasferire le
informazioni sulle distribuzioni di probabilità delle grandezze idrologiche studiate, da
dove disponibili le misure, alle sezioni, ai punti o ai bacini d’interesse.
Nel caso delle massime piene si tratterà, partendo dai dati registrati nelle sezioni del
servizio idrografico, di stimare la distribuzione di probabilità delle massime piene
anche nella sezione d’interesse di una qualsiasi opera.
La prima considerazione che si può fare è che, se si è ipotizzato che la distribuzione di
probabilità delle massime piene sia un certo tipo di legge, e si è verificato che questa è
accettabile per tutte le sezioni per cui si hanno misure, le piene di tutte le altre
sezioni, anche se non disponibili le misure, saranno distribuite secondo la stessa
distribuzione di probabilità. Pertanto il problema si riduce a quello di trasferire i valori
dei parametri della distribuzione.
Ovviamente questo trasferimento d’informazione, per essere convincente, deve essere
effettuato su una base fisica condivisa, in modo che la distribuzione di probabilità, così
stimata, possa essere considerata, da tutti, come la migliore valutazione delle piene di
quella sezione, in mancanza di dati specifici.
La successiva considerazione è che una piena è il prodotto delle precipitazioni
atmosferiche sul bacino e queste danno luogo a un diverso valore di portata in ragione
delle caratteristiche specifiche del singolo bacino (superficie, permeabilità, forma,
acclività ecc.). Peraltro, mentre le caratteristiche dei singoli bacini sono immutabili nel
tempo e, quindi, il loro effetto non varia da evento a evento, le precipitazioni
atmosferiche variano nel tempo e determinano la variazione temporale delle piene.
Inoltre, i singoli eventi meteorici, benché variabili nel tempo, agiscono interessando
aree molto ampie, in genere delimitate da contesti orografici caratteristici (creste
montane, orientamento rispetto ai venti apportatori di precipitazioni ecc.), pertanto, il
loro effetto è comune a molti bacini limitrofi.
Ne consegue la possibilità di avanzare, in maniera fisicamente basata, l’ipotesi che:
il coefficiente di variazione γ j = cost.= γ per una zona molto ampia.
Definizione della ipotesi:
1. Qij valore del massimo annuale della portata al colmo,
nell’anno i-esimo, nella sezione j-esima,
Qij distribuita, per ogni sezione j, con parametri μj{Q} e
σj{Q}.
2. Per ogni sezione, dal campione di n anni, stimo:
Mj{Q}, sj{Q} e gj{Q}= Mj{Q}/sj{Q}
Se l’ipotesi è valida, dette stime di gj{Q} si scosteranno
dall’effettivo valore di γ solo per scarti di campionatura.
Verifica della ipotesi:
3. Ipotizzo γ ≅ M{gj}
Se i valori di gj{Q} si spostano da γj per scarti confrontabili con gli
scarti di campionatura, l’ipotesi è valida.
Verifica delle zone omogenee nel caso di variabile
originaria distribuita secondo la legge normale del caso
Se la variabile originaria Q (massimo annuale delle portate
istantanee) è distribuita secondo la legge normale, o poco discosta
da questa, la variabile g è distribuita, approssimativamente,
secondo la legge normale del caso con:
M{g} ≅ γ
V{g} ≅
γ2
2(n − 1)
(1 + 2γ 2 )
pertanto:
gp = M{g} + up σ{g}.
Di conseguenza, è possibile montare le fasce di controllo, g0.025 e
g0.975, al variare di n, nel piano (n, gj), in cui gj è il coefficiente di
variazione di Q, relativo alla singola stazione j.
Si ricorda, però che queste fasce sono esatte se la variabile
originaria è distribuita secondo la legge normale e sono tanto più
approssimate, quanto più la distribuzione della variabile originale si
discosta da quella normale.
0.80
g0.975
g0.025
n=10
0.70
n=20
g0.975
0.60
n=30
n=40
n=50
0.50
0.40
n=50
n=40
n=30
0.30
n=20
n=10
0.20
g0.025
0.10
0.00
0
0.1
0.2
γ
0.3
0.4
0.5
Verifica delle zone omogenee nel caso di variabile
originaria distribuita secondo la legge log-normale del
caso.
- Qij valore del massimo annuale della portata al colmo di piena,
nell’anno i-esimo, nella sezione j-esima,distribuita, per ogni
sezione, secondo la legge log-normale con parametri μj{Q} e
σj{Q},
- yij = logQij variabile distribuita, per ogni sezione, secondo la legge
normale del caso, con parametri μj{y} e σj{y},
- in questo caso tra i parametri delle popolazioni esiste la relazione:
σ
2
y
= 0 . 4343
2
ln ( 1 + γ
2
Q
) (1)
- mentre tra i parametri del campione esiste la relazione:
V y = 0 . 4343
2
ln ( 1 + g Q2 ) (2)
L’ipotesi γj = cost.= γ per tutta la zona, per la (1) diventa:
γj{Q} ≡ σj2(y) =Vy = cost
(3)
Poiché y è distribuita normalmente, le fasce di controllo possono
essere definite, esattamente, dalla distribuzione della varianza.
Infatti, fissato γ, dalla (1) ricavo σy2
e poiché z =
V n {y }
σ
2
y
χ2
è distribuito secondo il n − 1
è possibile calcolare:
V0.025 n = z 0.025 n σ y2
V0.975 n = z 0.975 n σ y2
e, dalla (2), ricavare i valori corrispondenti di:
g0.025n
e
g 0.975 n
Nel modo descritto sono stati ricavati i valori riportati nel grafico
successivo.
0.8
g0.975
g0.025
0.7
n=10
n=20
n=30
n=40
n=50
g0.975
0.6
0.5
0.4
n=50
n=40
n=30
n=20
0.3
n=10
0.2
g0.025
0.1
0
0
0.1
0.2
γ 0.3
0.4
0.5
Limiti delle verifiche sopra riportate.
Le verifiche sopra riportate si basano sulle ipotesi che:
- il coefficiente di variazione γ j = cost.= γ per una zona molto ampia,
- i valori di gj{Q} si differenziano da γ solo per scarti di campionatura.
In effetti, oltre alla variabilità delle precipitazioni, vi sono altri fattori che possono
determinare una maggiore variabilità del coefficiente di variazione, rispetto ai soli
scarti di campionatura quali, ad esempio, l’effetto più o meno variabile nel tempo di
caratteristiche
fisiche
del
bacino
peraltro
immutabili,
o
la
non
completa
sovrapponibilità delle ampie aree su cui agiscono, simultaneamente, i diversi eventi
atmosferici.
Ne deriva che, è più corretto porre che il coefficiente di variazione γ , per una zona
molto ampia può essere assunto come costante in quanto, a parte gli scarti di
campionatura, le differenze significative, nel passare dall’uno all’altro bacino, sono
del tutto casuali e non evidenziabile, a priori, una qualsiasi tendenza, nel passare
da un bacino all’altro.
Ne consegue che nelle verifiche sopra riportate, spesso si accetta che dalle fasce
escano più punti di quanti sarebbero “statisticamente” accettabili mentre si deve fare
molta attenzione a che la distribuzione dei valori di gj risulti, comunque, spazialmente
casuale.
STIMA DI μ(Q)
Il secondo parametro della distribuzione è un parametro di scala
che non tiene conto della variabilità temporale delle precipitazioni
ma delle caratteristiche specifiche del singolo bacino (superficie,
permeabilità, forma, acclività, ecc.). Questo normalmente è
rappresentato dal valor medio delle piene μ(Q).
Il valor medio delle piene μ(Q), può essere calcolato con un
modello afflussi-deflussi, come vedremo in seguito, o per
similitudine con gli alti bacini della stessa area.
Nell’ambito del progetto VAPI è stata valutata la dipendenza di
μ(Q) (in m3/s).da uno dei parametri più importanti, quale la
superficie S del bacino(in Km2) o, per tener conto anche della
permeabilità del bacino, dalla superficie ridotta Srid , che
rappresenta l’area del bacino depurata della frazione permeabile
(Km2).
Per la Campania si ha:
μQ = 1.19S 0,84
o:
0 , 715
μQ = 3,22S rid
In ambedue i casi, gli errori di stima risultano elevati e riducibili
mediante il ricorso ad un modello di stima afflussi-deflussi.
Dati relativi ai bacini Campani
Bacino
n° dati
Area
Km2
Area rid
Km2
μ(Q)
m3/s
Volturno ad Amorosi
Calore Irpino a Montella
Calore Irpino ad Apice
Tammaro a Pago Veiano
Tammaro a Paduli
Calore Irpino a Solopaca
Volturno a Ponte Annibale
Tusciano ad Olivano
Tanagro a Polla
Sele ad Albanella
Alento a Casalvelino
Busento a Caselli in Pittori
37
41
38
11
15
12
16
10
46
38
11
17
2015
106
533
556
673
2966
5542
95
659
3235
285
113
1652
34
448
535
659
2757
4877
44
567
2845
279
70
642
52
335
211
259
974
1291
40
221
1239
290
56
CAMPANIA
10000
1000
0.84
μ = 1.19 S
3
μ (m /s)
100
ρ = 0.90
10
10
100
1000
10000
S (Km2)
10000
1000
0.715
μ = 3.22 S rid
3
μ (m /s)
100
ρ = 0.97
10
10
100
1000
Srid (Km2)
10000
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DEL MASSIMO
L’incertezza su quale sia la distribuzione di probabilità che si adatta
meglio a interpretare quella delle massime piene pone l’esigenza di
determinare delle distribuzioni che siano giustificate statisticamente
a interpretare queste grandezze.
E’ questo il caso delle distribuzioni dei massimi.
Se infatti consideriamo:
z
variabile originaria (es. portate al colmo della singola piena)
Φ1{z}
Funzione di distribuzione di probabilità cumulata delle z
• In un campione di k valori indipendenti di z sia zk il massimo.
• Dalla popolazione delle z possono estrarsi infiniti campioni di
dimensione k.
• zk assumerà di volta in volta valori differenti.
• Si può quindi considerare la distribuzione del valore massimo zk
di un campione di dimensione k.
• La funzione di distribuzione Φ2{x}, del massimo valore x= zk,
indica la probabilità che, in un campione k dati, il massimo valore x
risulti inferiore o al più eguale ad un assegnato valore.
La distribuzione Φ2{x}, dei massimi su k estrazioni, potrebbe
essere dedotta da quella Φ1{z}, della variabile originale z, se si
conoscessero:
• il valore k delle estrazioni indipendenti;
• la distribuzione Φ1{z} della variabile originale.
Φ2{x = zk} = Φ1{z}k
ma:
• i valori k dei colmi indipendenti, in un anno, varia da anno ad
anno e sono sconosciuti;
• la distribuzione Φ1{z} è, di norma, sconosciuta.
Molte delle distribuzioni di probabilità Φ1{z}, per campioni di
grandi dimensioni (k sufficientemente grande), per i quali i valori zk
risultano spostati nel campo dei valori più grandi della x, possono
essere messe nella forma asintotica:
1
Φ1{z} = 1 − e −α ( x − ε )
k
dove ε è il valore atteso che ha probabilità di superamento di una
sola volta su k estrazioni.
In questo caso per k → ∞
−α ( x − ε )
e
−
Φ2{x} = e
che viene definita legge asintotica del massimo valore, o legge
doppio esponenziale, o legge di Gumbel.
LEGGE DI GUMBEL
x (variabile) massimo annuale delle portate al colmo di piena.
Benché le piene indipendenti z, in un anno, non siano più di 10÷20,
tuttavia si assume che i massimi x siano distribuiti secondo la legge
di Gumbel:
Funz.di Prob. Cum. Φ{x} = e
dove:
− e −α ( x − ε )
y = α ( x − ε ) variabile ridotta
−y
−
e
Φ{x} = Φ{y} = e
con funzione di densità di probabilità: ϕ{y} = e
−( y + e − y )
moda ~
y => ϕ{ ~
y } = max
ϕ ’{ ~
y}
=e
− ( y +e− y )
(e − y − 1) = 0
y =0
che si verifica per ~
~
y = α ( x − ε) = 0
per x = ε
da cui ε moda della variabile x
Inoltre
~
x =ε
Φ{ε } = Φ{0} = 0.368
Φ{0.36651} = 0.50
mediana ξy = y0.5 = 0.36651
media μ y = E( y) = 0.57722
σy =
Φ{0.57722} = 0.57
π
6
Ricordiamo che, nel caso di variabili dipendenti legate da una
relazione monotona crescente di tipo lineare, come t = a + b z, per
la stessa definizione dei momenti, valgono le relazioni:
μt = a + b μz
e
σt = b σz
Pertanto, poiché y = α ( x − ε ) , avremo:
μ y = α (μ x − ε )
σ y =α σ x
e
da cui:
0.57722 = α ( μ x − ε )
π
e
6
=α σ x
Ne consegue:
1
α
e
=
σx
1.28255
ε = μ x − 0.450 σ x
y = 0.57722 + 1.28255
(x − μ x )
σx
Φ{y} = 0.025
y0.025 = -1.305
Φ{y} = 0.975
y0.975 = 3.675
Formula approssimata:
T
Periodo di ritorno;
xT
massimo in T anni.
Φ{xT} = 1-1/T
poichè
−y
−
e
Φ{y} = e
avremo
yΦ = − ln ln
ma
yΦ = α ( x Φ − ε )
1
Φ{ y}
1
α ( x Φ − ε ) = − ln ln
Φ{ x}
da cui
T
⎞⎟
α ( xT − ε ) = − ln ln⎛⎜
⎝ T − 1⎠
x
T
con
=ε −
⎛ T ⎞
ln ln⎜
⎟=ε
α
⎝ T −1⎠
1
K '=
⎡
⎛ T ⎞⎤
−
1
K
'
log
ln
⎜
⎟⎥ ≅ ε (1 + K ' log T )
⎢
⎝ T − 1 ⎠⎦
⎣
1
0.4343ε α
DEFINIZIONE DELLE ZONE OMOGENEE
Coefficiente di variazione γ = cost. per una zona molto ampia
K'=
1
σ
σ
=
=
0.4343εα 0,4343ε 1,28255 0,557ε
pertanto K’ è confondibile con γ.
Fasce di K’
DOPPIA COMPONENTE
L’esperienza mostra che, in molti casi, nonostante che la legge di
Gumbel dovrebbe interpretare la distribuzione di probabilità dei
massimi, i dati registrati si distribuiscono, nella corrispondente
carta probabilistica, con andamento non coerente e niente affatto
casuale.
Questi casi sono stati interpretati, piuttosto che come una inadeguatezza della legge di Gumbel a interpretare la distribuzione di probabilità dei massimi, con l’ipotesi fisica che i massimi non sono estratti, a caso, da un'unica popolazione, ma da una miscela di due popolazioni, ciascuna con la sua distribuzione di probabilità:
Φ1{x} e
Φ2{x}
e con una percentuale dei dati della prima popolazione di p sul
totale.
Ne deriva che, se ciascuna delle due popolazioni è distribuita secondo la legge di Gumbel, la distribuzione della miscela sarà data
da:
Φ{x} = p Φ1{x} + (1-p) Φ2{x}
Con 5 parametri:
p, α1 ,ε1, α2 ,ε2
MODELLO POISSONIANO
Il modello Poissoniano è una diversa maniera di giustificare come
la distribuzione di probabilità di Gumbel si adatti bene ad
interpretare la distribuzione dei massimi.
Questo tipo di giustificazione permetterà poi di estendere il
ragionamento anche a miscele di più popolazioni.
La massima piena annuale X è il massimo di k variabili casuali
indipendenti x (portate al colmo di piena).
Se k è distribuito secondo la legge di Poisson:
M{k} = V{k} = λ
la distribuzione di probabilità Φ2{X}, del massimo X, sarà legata
alla distribuzione Φ1{x}, della variabile originale x, dalla relazione:
Φ 2 {X } = e − λ ( 1− Φ1 {x} )
Ipotizzato che la distribuzione di probabilità Φ1{x} sia di tipo
esponenziale, questa, per x sufficientemente grande, potrà essere
espressa nella forma:
Φ1{x} = 1 − e − x / θ
con θ = M{x}.
Pertanto risulta:
{
Φ 2 {X } = exp − λ e − x / θ
}
in cui i nuovi parametri λ e θ hanno un diverso significato fisico:
θ = M{x}
λ = M{k}
La relazione sopra riportata è identica alla legge di Gumbel solo
che si ponga:
Θ = 1/ α
Infatti:
{
ε /Θ
λ =e
}
{
}
Φ{x} = exp − λ e − x / θ = exp − e − x / θ ⋅ eln λ =
= exp{− e −1 / θ
( x −θ ln λ )
} = exp{− e α
−
( x −ε )
}
MODELLO TCEV
(Two - Component Extreme Value Distribution)
Φ{x} = p Φ1{x} + (1-p) Φ2{x}
con p =
λ1
λ1 +λ 2
avremo:
{
}
{
Φ{x} = p 1 − e − x / θ1 + (1 − p ) 1 − e
− x / θ2
}=
= p − pe − x / θ 1 + 1 − e − x / θ 2 − p + pe − x / θ 2 =
= 1 − pe − x / θ 1 + ( p − 1) e − x / θ 2 =
[
= 1 − pe − x / θ 1 + (1 − p) e − x / θ 2
posto λ = λ 1 + λ 2
]
avremo
p=
da cui
λ1
1− p =
e
λ
Φ {x} = 1 −
1
λ
[λ
1
λ2
λ
e − x / θ1 + λ 2 e
− x /θ 2
]
se ora passiamo alla distribuzione del massimo X di x avremo:
⎧⎪
Φ{X } = exp⎨− λ
⎪⎩
(
⎡
1
− X /θ
λ1e 1 + λ2 e − X / θ 2
⎢1 − 1 +
λ
⎢⎣
{
= exp − λ 1 e − X / θ 1 − λ 2 e − X / θ 2
che ha solo quattro parametri λ 1 , λ 2 ,θ 1 ,θ 2
}
⎤ ⎫⎪
⎥⎬ =
⎥⎦ ⎪⎭
)
REGIONALIZZAZIONE
{
Φ{X } = exp − λ1 e − X / θ1 − λ2e − X / θ 2
}
(1)
con parametri λ 1 , λ 2 ,θ 1 e θ 2
I° livello di regionalizzazione
θ* =
λ* =
θ2
θ1
= cos t
λ2
1/ θ *
λ1
= cost
(2)
(3)
in una stessa zona.
Le due ipotesi hanno un significato fisico sufficientemente
accettabile infatti:
• la prima ipotesi θ * =
θ2
θ1
= cos t implica un rapporto costante tra
l’ampiezza della prima e della seconda componente in una vasta
regione;
• la seconda ipotesi λ * =
λ2
= cost implica che il rapporto tra
1/ θ *
λ1
il numero di dati indipendenti della prima e della seconda
componente è costante.
Per la Campania è risultato:
θ * = 2.654
e
λ * = 0.350
II° livello di regionalizzazione
λ1 = cost
(4)
per ogni sottozona che indica che, in questa, il numero di dati
indipendenti della prima componente è costante.
Per la relazione (3) risulta costante anche λ
1/ θ
2
= λ1
Per la Campania, che risulta un'unica sottozona, è
λ1 = 13.11
da cui avremo
λ 2 = 0.923
*λ
*
Alcune Zone e Sottozone
III° livello di regionalizzazione
Occorre, infine, trovare il valore di un quarto parametro.
Noi conosciamo il valore della media
μ {X }, dei massimi annuali
delle portate al colmo.
Questa, però, è diversa da θ1e θ 2 , che sono le medie dei colmi,
della prima e della seconda componente, presenti nella relazione
(1).
Pertanto occorre trasformare l’espressione della distribuzione di
probabilità affinché, invece di θ1e θ 2 vi appaiano
μ {X }, e θ ∗ .
μ{X }
Consideriamo le nuove variabili K = μ {X } e η = θ
1
X
X
X
per cui avremo: K = μ{X } = η θ => X = K η θ1
1
sostituendo nella (1) si avrà:
η ⋅θ1 ⋅ K
η ⋅θ1 ⋅ K
⎧⎪
⎫
−
−
θ1
θ2 ⎪
Φ{K } = Φ{X } = exp⎨− λ1e
− λ2e
⎬=
⎪⎩
⎪⎭
η ⋅K ⎫
⎧
−
⎪
⎪
= exp⎨ − λ e −η ⋅ K − λ e θ * ⎬
2
⎪ 1
⎪
⎩
⎭
In cui, siccome la relazione tra
μ {X }, e K è monotona crescente,
avremo che Φ{X } = Φ{K }
Per la Campania si ha η = 3.906
I valori di KT, riportati in tabelle in funzione di F( ) o T, vengono
definiti Funzione Probabilistica di Crescita o Curva di Crescita e
sono unici per ogni sottozona.
Determinazione del miglior Modello probabilistico
Affinché due distribuzioni di probabilità cumulata o, il che è
lo stesso, funzioni di ripartizione siano uguali occorre che
coincidano tutti i momenti.
Abbiamo visto finora che, nelle funzioni di ripartizione a
due parametri, facciamo coincidere, tra f.d.r. e campione
solo due momenti: la media μ e la varianza σ2.
Il
Momento
del
terzo
ordine,
rispetto
alla
media,
adimenzionalizzato, è il coefficiente di asimmetria o skewness.
γ1= M3μ/ σ3
Per la distribuzione Logaritmico normale:
γ1[x] = 3CV + CVx3 ≠ 0
Con CV = coefficiente di variazione = γ = σ/μ
Per la distribuzione di Gumbel:
γ1 = cost. = 1,1395
Esaminando lunghe serie, registrate in tutto il mondo, si è
riscontrata una notevole variabilità del coefficiente di asimmetria e
una sua relazione con il coefficiente di variazione CV, diversa da
quella della legge log-normale del caso, come è mostrato dalla
figura.
Log normale
GUMBEL
NORMALE
Modello probabilistico MG
La gran parte delle funzioni di probabilità cumulata, a due
parametri, dei massimi possono essere messe nella forma (Chow,
1951):
Q/µ = 1 + K(T) CV
(1)
Dove :CV = γ = σ/μ è il coefficiente di variazione e
K(T) è un fattore di crescita.
Per la Legge di Gumbel:
⎛ T ⎞
K (T ) = −(0,45 + 0,779 ln ln⎜
⎟
⎝ T − 1⎠
K (T ) = −0,45 + 1,79 log(T )
)
(2)
In base a quanto sopra riscontrato, si è ipotizzato di cambiare di
volta in volta la funzione di ripartizione, per tener conto del diverso
coefficiente di asimmetria, senza, introdurre un nuovo parametro,
ma modificando la funzione di ripartizione (1) nella forma:
QT/µ = 1 + γK(T)α CVβ,
con i valori di α, β e γ da ricavare sperimentalmente e in cui
l’espressione di K(T) è quella della distribuzione di Gumbel (2).
Esaminando i massimi valori di tutte le sezioni istallate, in Italia,
dal SIMI, con più di 20 anni di osservazione, si è ricavata
l’espressione empirica:
QT/µ = 1 + 1,73 K(T)0.80 CV1.35
Inoltre, partendo da considerazioni fisiche, (metodo cinematico) i
valori di μQ e σQ sono stati espressi in funzione di:
S = superficie del bacino (km2)
Φ = coefficiente di afflusso medio sul bacino, calcolato nel mese in
cui si verificano maggiormente gli eventi di piena)
μh e σh = media e varianza dei massimi annuali delle piogge
giornaliere,
dalle relazioni:
μQ = Cμ ⋅ μ hα ⋅ S β ⋅ Φ γ
μ
μ
μ
σ Q = Cσ ⋅ σ hα ⋅ S β ⋅ Φ γ
σ
σ
σ
AREE IDROLOGICAMENTE OMOGENEE
I bacini italiani sono stati ripartiti in aree omogenee
con valori eguali dei coefficienti e degli esponenti.
Cμ
αμ
βμ
γ μ Cσ α σ
βσ
γσ
Bacino del Po
0,014 1.46 0,64 0,56 0,86 0,80 0,54 0,74
Liguria e
0,840 0,48 0,70 0,81 5,78 0,34 0,48 1,05
Toscana
Emilia e Marche 0,038 1,12 0,69 0,00 0,10 1,07 0,70 0,00
Campania
Calabria e
Puglie
4,50
0,00 0,76 1,41 10,3 0,00 0,55 1,04