FAM
Serie 11: Meccanica IV
C. Ferrari
Esercizio 1 Centro di massa: sistemi discreti
Determina il centro di massa dei seguenti sistemi discreti.
1. Sistema composto da quattro PM come nella tabella seguente
Pi [m]
mi [kg]
P1 = (5,1,3)
2
P2 = (4,0, − 2)
5
P3 = (−3, − 3,4)
2
P4 = (7,2,2)
1
2. Nella molecola di ammoniaca (NH3 ) schematizzata nella figura qui sotto, tre
atomi di idrogeno formano un triangolo equilatero, il cui centro si trova a
distanza 9,4 · 10−11 m da ciascun atomo di idrogeno. L’atomo di azoto è al
vertice di una piramide retta della quale i tre atomi di idrogeno formano la
base. La distanza azoto-idrogeno è 10,14 · 10−11 m e il rapporto delle masse
azoto/idrogeno è 13,9. Scegliendo l’origine in corrispondenza dell’atomo di
azoto, determina le coordinate (xG , yG , zG ) del centro di massa della molecola
di ammoniaca.
N
z
y
x
H
H
H
3. Considera due PM di massa m1 e m2 ad una distanza d tra loro. Verifica che
m2
il rapporto tra le distanze d1 e d2 tra i due PM e il centro di massa vale dd12 = m
.
1
Applicazione numerica: sistema Terra-Sole.
1
Esercizio 2 Momento meccanico
Considera la situazione in cui due PM ad una distanza d fissata e posti in P1 e P2
subiscono una forza di stessa intensità F ma verso opposto (il PM in P1 subisce una
forza F~ e quello in P2 una forza −F~ ).
1. Fai un disegno della situazione (il più generale possibile).
2. Determina la forza totale sul sistema composto dai due PM, ossia
può parlare di condizione di equilibrio in generale?
P ~
α Fα . Si
3. Dimostra che il momento (meccanico) totale vale
−→
~ tot = −
M
P2 P1 ∧ F~
in questo caso1 si dice che il sistema composto dai due PM subisce una coppia
~ tot .
di momento M
4. Verifica che la condizione di equilibrio è
X
X
F~α = ~0
~xα ∧ F~α = ~0 .
α
α
→
~A = M
~B + −
5. Dimostra che M
AB ∧ F~ . (Ciò che mostra la dipendenza esplicita
del momento dal punto rispetto al quale esso viene calcolato).
Esercizio 3 Equilibrio
1. Il sistema della figura è in equilibrio con il tratto centrale del cavetto di sostegno esattamente orizzontale. Trova le tensioni T1 , T2 , T3 e l’angolo β, sapendo
che α = 35◦ , F1 = 40 N e F2 = 50 N.
β
α
T1
F~1
1
T3
T2
F~2
In generale nei casi in cui la risultante delle forze è nulla.
2
2. La porta blindata di una cassaforte pesa 53,4 kN ed è sorretta in due punti A
e B. Determina le componenti orizzontali dei vettori forza di reazione in A e B.
A
G
b
B
a
Applicazione numerica: a = 1016 mm, b = 1270 mm.
Esercizio 4 Equilibrio
1. Determina la forza F~ minima necessaria per sollevare una ruota di massa
150 kg e di diametro 2 m sopra uno scalino di 40 cm di altezza con l’aiuto di
un cavo e il valore massimo della forza (intensità) esercitata dallo scalino.
Indicazione: Considera che ad ogni istante la ruota (=cilindro) è in equilibrio
e che essa non slitta sul punto di contatto.
F~
2. Come mostra la figura una tavola omogenea di lunghezza L = 6 m e peso 440 N
è appoggiata sul terreno e su un rullo privo di attrito fissato al bordo di un
gradino di altezza h = 3 m. Essa rimane in equilibrio per qualsiasi valore di
θ ≥ 70◦ , ma scivola via per θ < 70◦ . Trova il valore del coefficiente di attrito
statico fra la tavola e il terreno.
h
θ
3
Esercizio 5 Equilibrio
Calcola la forza F affinché la massa m = 10 kg sia in equilibrio. Dati: r1 = 0,75 m,
r2 = 2 m, r3 = 0,5 m e r4 = 1,5 m.
r2
r4
r3
r1
F~
m
Esercizio 6 Momento angolare
Consideriamo un punto materiale in moto rispetto al sistema di riferimento R. La
grandezza vettoriale
~ O = ~x ∧ p~ ,
L
−→
dove ~x = OP è il vettore posizione del PM, è chiamata momento angolare2 del PM
rispetto al punto O.
1. Dimostra che per ogni punto O fissato nel sistema di riferimento R si ha
~O
dL
~O
=M
dt
questo risultato è noto come Teorema del momento angolare.
Osservazione: Per un PM l’equazione precedente e la seconda legge di Newton
non sono indipendenti.
2. Determina il momento angolare di un PM in MCU a velocità v rispetto al
centro O della circonferenza che descrive la traiettoria.
= 0.
3. Una grandezza fisica A è chiamata una costante del moto se verifica dA
dt
~ O è una costante del moto.
Verifica che per un MCU il momento angolare L
4. Una forza F~ è detta centrale se esiste un punto O fissato in R tale che
−→
F~ = F (r)~er
dove
~x = OP = r~er .
Dimostra che se la forza è centrale allora il momento angolare è una costante
del moto.
5. Fai degli esempi di forza centrale.
2
A volte chiamato momento cinetico.
4
Esercizio 7 Teorema del momento angolare
Un pendolo conico è costituito da un punto materiale di massa m sospeso ad un filo,
di massa nulla e lunghezza ℓ, fissato ad un punto A sull’asse z. Il corpo gira attorno
all’asse z con una velocità angolare costante su di un cerchio di centro O e raggio
R. Il filo fa un angolo α con l’asse z.
z
ω
A
α
ℓ
R
O
Determina il periodo T del moto utilizzando il teorema del momento angolare
~B
dL
~ est
=M
B
dt
scegliendo in modo appropriato il punto B.
Esercizio 8 Collisioni
1. Un protone, alla velocità ~v0 di valore 500 m/s, urta elasticamente un altro
protone a riposo. Il primo protone viene deviato a 60◦ dalla sua direzione
primitiva.
(a) Quali sono la direzione ed il verso vettore velocità del protone bersaglio
dopo l’urto?
(b) Quali sono le norme dei due vettori velocità dopo l’urto?
(c) Deduci che in un urto elastico tra due particella di stessa massa esse si
allontanano sempre con un angolo di 90◦ ad eccezione del caso in cui
l’angolo è 180◦ .
Indicazione per a): Calcola v02 = ~v0 · ~v0 con le informazioni ottenute dalla
conservazione della quantità di moto.
2. Durante una collisione, una particella di massa m1 e velocità ~v1 è catturata
da un nucleo immobile di massa m. Quest’ultimo emette quindi una particella
di massa m2 con una velocità ~v2 perpendicolare a ~v1 ; il resto del nucleo ha
una velocità finale ~v. Determina la variazione di energia cinetica tra lo stato
iniziale e lo stato finale. Calcola poi il lavoro delle forze interne.
5
Esercizio 9 Sistema a più corpi
1. Dimostra che la quantità
PN di moto di un sistema di N PM di massa mi è data da
~p = M~vG dove M = i=1 mi e ~vG è la velocità del centro di massa. Interpreta
questo risultato.
2. Deduci il teorema del centro di massa.
Consideriamo ora due PM P1 e P2 di massa m1 e m2 , che subiscono unicamente la
forza d’interazione reciproca.
m1
G
~x
~x1
m2
~xG
~x2
O R
3. Verifica che la quantità di moto e il momento angolare del sistema totale è una
costante del moto.
~ verifica che il momento meccanico delle forze interne è
Indicazione: Per L
nullo.
4. Determina l’evoluzione temporale del centro di massa.
Esercizio 10 Teorema del centro di massa
1. Un proiettile di massa M lanciato dall’origine del sistema di coordinate cartesiane ad un angolo di α con una velocità v0 raggiunto il punto più alto si
rompe in due frammenti di massa m. Determina le coordinate d’impatto dei
due frammenti, sapendo che la distanza tra di loro è d e che atterrano assieme.
2. Una persona di massa mp e posta ad un estremità di una barca di massa
mb e lunghezza 2L. La barca galleggia sulla superficie dell’acqua, l’attrito
barca-acqua può essere trascurato. Il sistema di riferimento è quello terrestre
e si pone l’origine del sistema di coordinate in corrispondenza della posizione
iniziale della persona. Determina la posizione finale della persona una volta
che raggiunge l’estremità opposta della barca.
Indicazione: Supponi che il centro di massa della barca sia in corrispondenza
del baricentro geometrico e assimila quindi la barca ad un singolo PM.
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