Scheda - 07 - Corsi di Laurea a Distanza

Schede di Elettrotecnica
Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N
Diploma Universitario Teledidattico in
Ingegneria Informatica ed Automatica
Polo Tecnologico di Alessandria
A cura di Luca FERRARIS
Scheda N° 7
Reti in Corrente Continua:
• Transitori del 1° ordine
Scheda N° 7 - Reti in Corrente Continua:
Transitori del 1° ordine
RETI IN REGIME VARIABILE
Relazioni per i bipoli:

1 t
v
t
=
i C ( t )dt + V0
(
)
 C
C −∞
C
i t = C ⋅ dv C ( t )
 C ( )
dt
∫
v R ( t ) = R ⋅ i R ( t )

R
v R (t)
i R ( t ) =
R


1 t
i
t
=
v L ( t )dt + I 0
(
)
 L
L −∞
L
v t = L ⋅ di L ( t )
 L ( )
dt
∫
Nell’ipotesi che resistenze, condensatori ed induttanze siano costanti, le equazioni che risolvono la
rete sono differenziali lineari a coefficienti costanti.
TRANSITORI AD UNA SOLA COSTANTE DI TEMPO E GENERATORI IN CONTINUA
Il transitorio è causato dall’aprirsi o chiudersi di interruttori; una qualsiasi tensione o corrente nel
circuito sarà data da:
t

−
v ( t ) = V + − V∞ ⋅ e τ + V∞
0


t
−

τ
i( t ) = I 0 + − I ∞ ⋅ e + I ∞
(
(
)
)
dove:
• V0+ e I0+ sono la tensione e la corrente nell’istante immediatamente successivo all’apertura o
chiusura dell’interruttore. I condensatori non possono avere discontinuità di tensione (che
richiederebbe una corrente infinita) e gli induttori non possono avere una discontinuità di corrente
(che richiederebbe una tensione infinita); per questo motivo si possono valutare le condizioni
iniziali sostituendo:
• ai condensatori dei generatori di tensione costante, pari alla tensione ai loro capi prima
della manovra dell’interruttore;
• agli induttori dei generatori di corrente costante, pari alla corrente che li attraversa prima
della manovra dell’interruttore.
• V∞ e I∞ sono la tensione e la corrente finali nel lato considerato; in pratica è la soluzione in regime
continuo, che si ottiene sostituendo:
• ai condensatori dei circuiti aperti
• agli induttori dei corto circuiti
• τ è la costante di tempo del circuito, che a seconda del tipo di bipolo conservativo presente nel
circuito vale:
Condensatore τ = R eq ⋅ C

L
Induttore
τ=

R eq

dove Req è la resistenza equivalente vista ai morsetti del condensatore o dell’induttore (si
calcola in modo analogo a quella del generatore equivalente di Thevenin).
1
Scheda N° 7 - Reti in Corrente Continua:
Transitori del 1° ordine
ESERCIZIO 7.1
Nel circuito in corrente continua rappresentato in figura l'interruttore viene aperto all'istante t = 0.
Determinare l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0.
R1
Dati
R1 = 10
R2 = 10
R3 = 10
L=1
E = 100
Ω
Ω
Ω
H
V
E
+
R3
R2
L
i(t)
Soluzione
(
)
i( t ) = i 0 + − i ∞ ⋅ e
−
t
τ
+ i∞
(soluzione generale)
R eq = R 2 + R 3 = 20 Ω
⇒
τ=
L
1
=
s
R eq 20
i0+ = ?
Dopo l’apertura dell’interruttore, la corrente che fluiva nel ramo con L non può far
altro che richiudersi nel ramo con R2, per cui i0+ = - iL(0+) (= iL(0-))
1
100
i 0 + = −3,33 A
−i 0+ = i L 0+ = i L 0− = ⋅
= 3,33 A ⇒
2 10 + 10 ⋅ 10
10 + 10
i ∞ = lim t →∞ i( t ) = 0 A
( ) ( )
per cui si può scrivere l’espressione della corrente nel ramo con R2:
i( t ) = −3,33 ⋅ e −20⋅ t
4
3
2
i(t)
1
0
-0,05
-1
0
0,05
0,1
0,15
-2
-3
-4
t [s]
2
0,2
Risultati
I0- = 3,333333
I0+ = -3,33333
I∞ = 0
τ = 0,05
Scheda N° 7 - Reti in Corrente Continua:
Transitori del 1° ordine
ESERCIZIO 7.2
Nel circuito in corrente continua rappresentato in figura l'interruttore viene chiuso all'istante t = 0.
Determinare:
a) l'energia immagazzinata nel circuito prima della manovra;
b) l'energia immagazzinata nel circuito a transitorio estinto;
c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0.
R
E = 1200 V
R = 250 Ω
L = 40 mH
+
E
L
R
iL t
Soluzione
a) l'energia immagazzinata nel circuito prima della manovra è tutta contenuta nell’induttanza:
iL(0-): la L a regime equivale ad un corto circuito, per cui la corrente che la attraversa vale:
E
i L 0− = = 4,8 A ⇒
WL 0 − = 0,4608 J
R
( )
( )
b) l'energia immagazzinata nel circuito a transitorio estinto è ancora tutta contenuta nell’induttanza:
iL(∞): il circuito è lo stesso di prima:
E
i L (∞) = = 4,8 A ⇒ WL (∞) = 0,4608 J
R
c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente iL(t) a partire dall'istante t = 0 è:
(
)
i L (t) = I 0+ − I ∞ ⋅ e
( )
−
t
τ
+ I ∞ dove:
i L 0+ = 4,8 A
i L (∞) = 4,8 A
τ=
quindi:
L
R eq
con R eq = R / / R = 125 Ω ⇒ τ = 3,2 ⋅10 -4 s
iL(t) = 4,8 A
in pratica la manovra dell’interruttore non produce alcuna variazione nella corrente iL.
3
Scheda N° 7 - Reti in Corrente Continua:
Transitori del 1° ordine
ESERCIZIO 7.3
Nel circuito in corrente continua rappresentato in figura l'interruttore viene chiuso all'istante t = 0.
Determinare:
a) l'energia immagazzinata nel circuito prima della manovra;
b) l'energia immagazzinata nel circuito a transitorio estinto;
c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0.
R1
E = 1200 V
R1 = R2 = R3 = 250 Ω
C = 4 nF
vC(0) = 1000 V
E
R3
+
R2
vC
C
i(t)
Soluzione
a) energia immagazzinata nel circuito prima della manovra:
1
1
W '= CV02 = 4 ⋅ 10−9 ⋅ 1000 2 = 2 ⋅ 10−3 J
2
2
b) a transitorio estinto il C equivale ad un circuito aperto, per cui nel ramo con R3 e C non scorre
corrente ⇒ VC = VR2
1
1
W ' = CVC2 = 4 ⋅10 −9 ⋅ 600 2 = 0,72 ⋅ 10−3 J
2
2
c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0 è:
(
)
i L (t) = I 0+ − I ∞ ⋅ e
−
t
τ
+ I ∞ dove:
E
= 2, 4 A
R1 + R 2
I0+: all’istante 0+ dopo la chiusura il condensatore è carico a 1000 V, per cui applicando Millman:
1200 1000
+
V
250
250 = 733,33 V ⇒
VAB =
I 0+ = AB = 2,93 A
1
1
1
R2
+
+
250 250 250
R
τ = R eq ⋅ C con R eq = + R = 375 Ω ⇒ τ = 375 ⋅ 4 ⋅10-9 = 1,5 ⋅ 10 −6 s
2
I∞: a regime il C è un circuito aperto ⇒ I ∞ =
t
τ
+ 2,4
3
2,9
2,8
2,7
2,6
i(t)
i( t ) = ( 2,93 − 2, 4) ⋅ e
−
Risultati
I02,4
I0+ 2,933333
Ioo
2,4
τ 1,5E-06
4
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2
-0,000002
0
0,000002
0,000004
t [s]
0,000006
0,000008
0,00001
Scheda N° 7 - Reti in Corrente Continua:
Transitori del 1° ordine
ESERCIZIO 7.4
Dato il circuito rappresentato nella figura, determinare l’andamento della corrente i(t) al chiudersi
dell’interruttore.
R1
Dati
R1
R2
R3
C
E
VC 0
10 Ω
20 Ω
15 Ω
0,000001 F
200 V
50 V
+
E
R3
R2
i(t)
v0
C
Soluzione
7
6,5
i(t)
6
5,5
5
4,5
4
-4E-05 -2E-05
0
2E-05
4E-05 6E-05 8E-05 0,0001 0,0001 0,0001
t [s]
Risultati
I0- = 6,666667
I0+ = 5,384615
Ioo = 6,666667
τ = 2,17E-05
5
Scheda N° 7 - Reti in Corrente Continua:
Transitori del 1° ordine
ESERCIZIO 7.5
Dato il circuito rappresentato nella figura, determinare l’andamento della corrente i(t) dopo
l’apertura dell’interruttore.
Dati
R1
R2
L
E
I
20 Ω
10 Ω
5 mH
250 V
10 A
R2
I
R1
L
E
i(t)
+
Soluzione
9
4
-0,0004 -0,0002
-1
0
0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014
-6
-11
-16
Risultati
I0+ = -15
Ioo = 10
τ = 0,00025
6