Conservazione della quantità di moto relativistica
v
–v
Supponiamo che le due masse 1 e 2, entrambe uguali a m, con
velocità v e – v rispetto alla terra (T), si urtino in un urto
completamente anelastico. Dopo l’urto esse rimangono ferme
rispetto alla terra.
La quantità di moto si conserva: mv m(v) 0
T
1 2
v’
Mettiamoci ora nel riferimento della massa 2, la quale sarà ferma
rispetto al sistema scelto. La massa 1 si avvicinerà a quella ferma
con velocità v’.
La quantità di moto prima dell’urto era q=mv’. Dopo l’urto
completamente anelastico le due masse attaccate si sposteranno
verso destra con velocità v e la quantità di moto è q’ = 2mv , da
cui ricaviamo v’ = 2v.
2
v
Eppure questa relazione non è consistente con la composizione relativistica delle velocità
Se analizziamo la situazione dal punto di vista della massa 2 possiamo considerare che la massa 1 viaggi
con velocità v rispetto al sistema solidale alla terra, il quale “viaggia” con velocità v verso la massa 2.
Prima dell’urto la velocità di 1 misurata da 2 è
vv
2v
2mv
2v
mv'
2mv
2
2
per cui, confrontando le quantità di moto, si ha
v
v
v2
1 2 1 2
1 2
c
c
c
La quantità di moto non si è conservata.
Se vogliamo che valga il principio di conservazione della quantità di moto e la legge di composizione
delle velocità dobbiamo imporre (oppure rassegnarci ad accettare) che la massa non sia una costante ma
dipenda dal sistema di riferimento in cui viene eseguita la misura, ossia dal suo stato di moto. Come
possiamo fare? Supponiamo che sia m mv cioè che m nel sistema S dipenda dalla velocità v che la
massa ha rispetto al sistema S.
Prendiamo un urto perfettamente elastico fra due particelle di uguale massa che viaggiano in direzione
uguale e contraria con la medesima velocità
v'
S
2
2
Scegliamo come sistema di riferimento S un riferimento
rispetto al quale i due cammini risultino simmetrici
(per qualche passo seguiremo le pagine di Feynman)
Conservazione della quantità di moto relativistica
Sia ux la componente orizzontale delle velocità rispetto a S, uguale per entrambe, cambia solo il verso.
2
Scegliamo ora come riferimento S’ un sistema con gli assi orientati come quelli di S che viaggi verso
destra con velocità ux .
S’
Per S’ l’urto assume la forma del disegno a sinistra, ossia la massa 1
si muove su e giù lungo l’asse y’ con velocità u’y mentre la massa 2
viaggia “molto velocemente” verso sinistra (con velocità
u u
2u x
u ' x x 2x
2
u
u ).
1 x2 1 x2
c
c
È come se la massa 2 viaggiasse verso sinistra con velocità u’x . La relazione
tra le velocità delle due masse in direzione y’ calcolare da un osservatore
solidale con S’ si ricava dalle
u ' y1
y ' 2 y '1
y '2 y '1
1
u' y 2
2
2
2
t '2 t '1
u ' x ossia
u' x
u' x
t
'
t
'
1
1
1
2
1
c2
c2
c2
Si ricordi che in S’ il tempo “dilata” ( t 2 ' t '1 ) per il viaggiatore in movimento rispetto al viaggiatore
“fermo” e che la velocità trasversale della massa in movimento aumenta ( u ' y 2 u ' y1 ) rispetto a quella
“ferma”
Accade l’inverso nella situazione perfettamente simmetrica di un osservatore solidale al sistema S’’ che
viaggia verso sinistra rispetto a S con velocità – ux .
L’urto che si vede da S’’ è quello della figura di destra.
S’’
Adesso è il tempo per il viaggiatore in movimento (massa 1) che “dilata”
( t 2 ' t '1 ) rispetto al viaggiatore “fermo” (massa 2) e la velocità trasversale della massa
in movimento aumenta ( u ' y1 u ' y 2 ) rispetto a quella “ferma”.
In entrambi i casi (sia in S’ sia in S’’) la variazione della quantità di moto
della particella che si muove solo “verticalmente” è p 2mu ' y u ' y
mentre la componente verticale della variazione della quantità di moto della massa che si muove anche
2
orizzontalmente è p 2mv u ' y 1 u x2
c
Se vogliamo che la quantità di moto si conservi in direzione “verticale” dovrà essere
2
u
mu ' y mv 1 x2
c
Ora, se facciamo tendere a zero le componenti verticali delle velocità (cioè se u ' y1 0 e dunque anche
u ' y 2 0 ), allora u ' x v : una delle due masse risulterà ferma (m0) e l’altra – con velocità v rispetto ad
essa – risulterà avere massa
m
m0
1
v2
c2
Conservazione della quantità di moto relativistica
Con questa nuova definizione di massa, la quantità di moto diventa:
m0
q
v2
1 2
c
v
dove m0 è la massa
a riposo. Vediamo che, con questa nuova definizione di massa, nell’urto prospettato all’inizio la quantità
di moto si conserva.
Nel riferimento della massa 2, prima dell’urto, la massa 1 ha quantità di moto
mv'
m0
1
2
v'
c2
v'
m0
2v
v2
1 2
1 c2
c
2
m0
2v
2v
2
2
2
v
v2
4
v
c
1 2
1 2
1 2
c
c
(c v 2 ) 2
Dopo l’urto le due masse attaccate hanno quantità di moto
Mv
Uguagliando le due espressioni di ottiene che deve essere
quando
M0 2
m0
(c v )
(c 2 v 2 ) 2
M0
v2
1 2
c
2
2 2
2m0
2v
v
2
c v
v2
1 2
c2
c
2
v
2 m0
M0
v
v
2
2
v
v
1 2
1 2
c
c
e questo succede
m0
1
v 2 da cui si deduce che M 0 2m0 cioè la massa classicamente definita non si
c2
conserva più, bensì si conserva la massa relativistica: mv ' m0 M v (verificare!)
Tale principio non è altro che una nuova formulazione della conservazione dell’energia (è l’energia
cinetica nelle due masse a trasformarsi in massa).
