- quarta g

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CAPITOLO
2
PUNTI, RETTE, PIANI NELLO SPAZIO
ESERCIZI
Parte A
1
Siamo nello spazio costituito da un reticolo a maglie cubiche e A, B, C sono i punti indicati in ¢gura; quanti sono i cammini di lunghezza minima che portano da A a
B? e da A a C?
Il numero dei cammini minimi che portano in un nodo N
e' dato dalla somma dei cammini minimi che possono
giungere nei nodi che stanno immediatamente prima di
N lungo i cammini minimi, allora .....
2
Nella ¢gura sono segnati in azzurro i 12 punti che nel reticolo 2 2 2 hanno distanza 2a dal punto O, dove a
e' la lunghezza dello spigolo di ciascuna cella cubica. Se
vediamo il reticolo esteso in tutte le direzioni, quanti sono i punti del reticolo che hanno da O distanza 2a?
3
Rimaniamo nel reticolo a maglie cubiche esteso in tutte
le direzioni. Indicata con ala lunghezza del lato di una
cella, quanti sono i punti che hanno da un nodo O distanza 3a?
4
Descrivere la ¢gura costituita dall’intersezione della super¢cie di un cubo con la super¢cie sferica che ha centro in uno dei vertici del cubo e raggio uguale alla lunghezza dello spigolo del cubo.
5
Possiamo a¡ermare che esiste una super¢cie sferica a cui appartengono tutti gli otto
vertici di un cubo, ovvero che il cubo e' inscrittibile in una super¢cie sferica ? Giusti¢care la risposta.
La super¢cie sferica che contiene tutti i vertici di un poliedro e' detta super¢cie
sferica circoscritta al poliedro e il poliedro e' detto inscritto in quella super¢cie
sferica.
6
Un parallelepipedo rettangolo e' inscrittibile in una super¢cie sferica ? Giusti¢care la
risposta.
7
Indicata con d la distanza di un piano dal centro O di una super¢cie sferica S che
ha raggio r, cosa si puo' dire dell’intersezione fra S e a seconda che d sia maggiore, uguale o minore di r? Giusti¢care le risposte.
Conviene considerare il punto H in cui la perpendicolare a condotta da O incontra il
piano stesso.
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CAPITOLO
2
PARTE A
l punto H e' detto piede della perpendicolare condotta da O a o anche proiezione di O su .
8
Sotto quali condizioni un prisma retto e' inscrittibile in una super¢cie sferica ?
9
Perche¤ possiamo a¡ermare che un tetraedro regolare e' inscrittibile in una super¢cie
sferica ? Individuare il centro di tale super¢cie e determinare la misura del suo raggio
in funzione della misura adello spigolo del tetraedro.
Possiamo pensare al cubo da cui abbiamo fatto nascere il tetraedro..
10
Dare una giusti¢cazione dell’esistenza di una super¢cie sferica circoscritta ad un ottaedro regolare. Calcolare la misura del raggio di tale super¢cie in funzione della misura
dello spigolo dell’ottaedro.
ESERCIZIO SVOLTO
11
Consideriamo il parallelepipedo retto ABCDEFGH dove gli spigoli hanno la stessa
lunghezza e le basi ABCD ed EFGH sono rombi con gli angoli in A, in C, in E,
in G di =3.
Questo solido puo' essere pensato
ottenuto dalla deformazione di un
cubo. Quali delle proprieta' gia' osservate nel cubo si conservano ? quali
vengono meno ?
Le quattro facce laterali, sono ancora quadrati, infatti tutti gli spigoli
hanno uguale lunghezza e sono perpendicolari ai piani delle basi. Vediamo cosa si puo' dire delle diagonali. Sono ancora quattro, due a due sono diagonali di parallelogrammi, si dimezzano scambievolmente e quindi tutte passano per
uno stesso punto, che e' il punto di mezzo comune.
Le quattro diagonali sono uguali due a due, indicata con a la lunghezza comune
degli spigoli del parallelepipedo:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
2
2
AG ¼ AE þ EG ¼ a2 þ ða 3Þ2 ¼ 2a
ed e' anche AG ¼CE¼ 2a
Le altre due diagonali,
pffiffiffi BH e DF, sono diagonali di BDHF che e' un quadrato, ed e'
percio' BH ¼DF¼ a 2.
Possiamo dire che i vertici opposti corrispondenti agli angoli di base che hanno
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CAPITOLO
2
PUNTI, RETTE, PIANI NELLO SPAZIO
ampiezza maggiore distano fra loro meno di quanto distano i vertici delle altre
coppie.
Il tetraedro BDEG non e' piu' regolare,
le sue facce infatti non sono poligoni
regolari. Nell’esercizio 4A del precedente capitolo avevamo riconosciuto che
nel tetraedro regolare inscritto nel cubo
la diagonale AG era perpendicolare alla faccia BDE nel punto Z, centro della
faccia stessa, che era un triangolo equilatero. Che ne e' di questa proprieta' ?
Consideriamo i segmenti di perpendicolare condotti rispettivamente dai vertici A e
G al piano BDE: sono le altezze delle piramidi ABDE e BDEG rispetto alla base
comune BDE. Interessa vedere se le perpendicolari suddette incontrano BDE nello stesso punto o in punti diversi.
La faccia BDE e' un triangolo isoscele non equilatero.
Con qualche calcolo, che lasciamo al lettore (ved. esercizio 13A ) si trova:
pffiffiffi
pffiffi
a 7
2
, area triangolo BDE¼ a 4 7 e, assumendo E
EK ¼
2
pffiffiffi
a3 3
.
come vertice, il volume della piramide ABDE e'
12
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
a3 3
4
a 21
'
'
p
ffiffiffi
Percio la distanza AP del punto A dal piano BDE e AP ¼ 3 ¼
12 a2 7
7
Il punto P, piede della perpendicolare condotta da A al piano BDE, detto anche
proiezione di A su BDE, dove si trova ?
Dato che triangoli rettangoli APB, APD, APE hanno l’ipotenusa e un cateto uguali,
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
u
pffiffiffiffiffiffi!2
pffiffiffi
u
a 21
2a 7
t
2
.
¼
sara' anche PB ¼ PD ¼ PE ¼ a 7
7
Il punto P, equidistante dai vertici del triangolo BDE, e' il
circocentro del triangolo stesso e si trova sull’asse EK
del lato BD.
Indicata con Q la proiezione di G sul piano BDE, il segmento GQ e' l’altezza della piramide BDEG rispetto alla
base BDE.
Il volume di BDEG puo' essere calcolato togliendo dal volume del prisma p
iniziale
il voluffiffiffi
a3 3
me di quattro piramidi ed e'
, percio' :
6
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
a3 3
4
2a 21
pffiffiffi ¼
GQ ¼ 3 . Anche Q si
6
7
a2 7
trova su EK perche¤ equidistante da B e da
D, ma e' distinto da P infatti:
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CAPITOLO
2
PARTE A
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u
pffiffiffiffiffiffi!2
pffiffiffi
u pffiffiffi
2a 21
3a 7
2
t
¼
EQ ¼ ða 3Þ 7
7
Dunque le perpendicolari condotte rispettivamente da A e da G al piano BDE sono distinte; ne consegue che AG non puo' essere perpendicolare al piano BDE.
Conosciamo la distanza del punto P da A, calcoliamo la sua distanza da G ricorrendo al tetraedro BDEG; si ha:
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi!2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u
u
3a 7 2a 7
2a 21 2 a 91
2
2
PG ¼ PQ þ QG ¼ t
þð
Þ ¼
7
7
7
7
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
a 21 a 91
> 2a ¼ AG. Questo signi¢ca che per
Risulta AP þ PG > AG perche¤
þ
7
7
andare da A a G passando per P si compie un tragitto piu' lungo, infatti P non appartiene ad AG. Considerazioni analoghe possono essere fatte per il punto Q.
Andiamo avanti con le nostre scoperte. La diagonale AG unisce punti che appartengono a regioni opposte rispetto al piano BDE, ci si aspetta allora che tale diagonale incontri il piano in un punto, quale ?
Nel caso del cubo la diagonale AG era perpendicolare a BDE nel punto Z; percio'
Z era proiezione sia di A che di G sul piano BDE e punto di intersezione fra questo piano e la diagonale AG. Inoltre Z era per il triangolo equilatero BDE, circocentro, ortocentro, baricentro, incentro. Nel caso che stiamo trattando il triangolo
BDE non e' equilatero e i quattro ‘‘punti notevoli’’ del triangolo non coincidono
piu' ; ma come abbiamo visto il circocentro P e' proiezione di A, il punto Q, proiezione di G, e', come si potra' veri¢care (vedi es. 15. A ) ortocentro del triangolo. Viene l’idea che il punto in cui la diagonale AG incontra il piano BDE sia il baricentro
o l’incentro. Proviamo!
Indichiamo con R il baricentro del triangolo; anche il punto R si trova su EK, che e'
mediana, e sappiamo che
pffiffiffi
2
a 7
ER ¼ EK ¼
3
3
Calcoliamo le distanze di R da A e da G, ricorrendo ancora ai tetraedri ABDE e
BDEG.
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi ffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 21 2
a 7 2a 7 2 2
2
2
Þ ¼ a
AR ¼ AP þ PR ¼ ð
Þ þð
3
7
3
7
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CAPITOLO
2
PUNTI, RETTE, PIANI NELLO SPAZIO
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
RG ¼ RQ þ QG ¼
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
3a 7 a 7 2
2a 21 2 4a
Þ þð
Þ ¼
ð
7
3
7
3
Ma allora AR þ RG ¼ 2a ¼ AG. Questo signi¢ca che AG incontra il triangolo BDE
nel suo baricentro.
Gli esercizi 12, 13, 14, 15 che seguono, si riferiscono al parallelepipedo retto considerato nel precedente problema 11A, dove a e' la misura di ciascuno degli spigoli del parallelepipedo.
12
Determinare l’ampiezza degli angoli C^AG, E^AG, CEG, BHF.
Puo' essere utile ricordare la lunghezza delle diagonali.
13
Calcolare il volume della piramide ABDE.
14
Calcolare il volume del tetraedro BDEG e il rapporto fra tale volume e quello del parallelepipedo rettangolo. Cosa si osserva ripensando al cubo e al tetraedro regolare
in esso inscritto ?
Si puo' partire dal volume del parallelepipedo ...
15
Veri¢care che l’ortocentro T del triangolo BDE coincide con il punto Q, proiezione di
G sul piano BDE
Puo' essere utile riconoscere la similitudine di una coppia di triangoli.
16
Sia VABCD una piramide che ha per base il quadrato ABCD e tale che il vertice V
abbia come proiezione sul piano di base il centro O del quadrato (piramide retta).
Si sa inoltre che VO ¼ AB=2. Determinare
a l’ampiezza della sezione normale del diedro formato dalle facce laterali con il piano
di base.
b l’ampiezza della sezione normale del diedro formato da due facce laterali che hanno uno spigolo in comune.
17
Collochiamo una piramide uguale a quella considerata nell’esercizio precedente su
ciascuna faccia di un cubo che abbia le facce uguali alla base della piramide. Il solido
ottenuto dall’unione del cubo e delle sei piramidi e' detto dodecaedro rombico; quali
motivi spiegano questa denominazione ?
Il modello in cartoncino dei sette solidi considerati e' quasi indispensabile.
18
Disponiamo sei piramidi uguali a quella considerata nell’esercizio 16A con il vertice in
comune; cosa otteniamo ? Perche¤ ?
19
Consideriamo un tetraedro regolare ABCD e ¢ssiamo il
punto medio di ciascuno spigolo come indicato in ¢gura:
Togliamo dal tetraedro ABCD i quattro tetraedri AMQP,
BMNR, CNPS e DQRS:
a descrivere il solido che resta; e' una ¢gura nota ?
b Qual e' il rapporto fra il volume del solido rimasto e
quello del tetraedro ABCD?
Nel libro I modelli matematici di Cundy e Rollett (ed. Feltrinelli) sono presentati alcuni
problemi che gli autori chiamano rompicapi. Eccone due.
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CAPITOLO
2
PARTE A
20
Si costruiscano tre solidi aventi lo sviluppo disegnato nel
diagramma: essi possono venire adattati l’uno all’altro in
modo da ottenere un cubo.
Perche¤ ? ci domandiamo noi.
21
Un po’ piu' di⁄cile e' la scomposizione di un tetraedro in
quattro pezzi congruenti. Qui viene dato lo sviluppo di
uno di essi: se ne costruiscano quattro; non e' molto di⁄cile metterli insieme.
EØ utile e interessante esaminare le caratteristiche
del solido di cui viene dato lo sviluppo; si puo' per
esempio osservare che esso risulta dall’unione di
due tetraedri particolari che abbiamo gia studiato.
Quali ?
22
Esaminare il tetraedro che ha lo sviluppo illustrato in ¢gura, dove ABC e' un triangolo equilatero e gli altri triangoli sono isosceli e rettangoli rispettivamente in D, E e F.
Quanti diversi tipi di poliedri convessi e' possibile ottenere unendo due dei tetredri considerati ?
a Quante facce presenta ciascun tipo di solido ?
b Come spiegare la diversita' osservata ?
c Si tratta di poliedri regolari ?
ESERCIZIO SVOLTO
23
Consideriamo una piramide a base quadrata con gli spigoli tutti uguali e un tetraedro regolare con gli spigoli uguali a quelli della piramide. Quante facce ha il poliedro ottenuto unendo i solidi dati in modo che abbiano in comune una delle facce
triangolari ?
Anche questa volta conviene costruire il modello della piramide quadrangolare e
del tetraedro. Se uniamo, come indicato, i modelli dei due solidi, ci si accorge
che il solido ottenuto ha, forse, 5 facce soltanto e non 7, tante quante sono le facce ‘‘libere’’.
EØ una ‘‘impressione’’ dovuta all’imprecisione dei modelli oppure due coppie di facce sono complanari ?
Ricorriamo ad una ingegnosa dimostrazione sintetica. Consideriamo una seconda
piramide quadrangolare uguale a quella data e disponiamo le due piramidi con le
basi complanari e un lato di base in comune (vedi ¢gura).
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CAPITOLO
2
PUNTI, RETTE, PIANI NELLO SPAZIO
Riferiamoci alle lettere usate in ¢gura. Si osserva che VV 0 ¼ OO0 ¼ AB, percio' il
tetraedro VV 0 BC ha gli spigoli di lunghezza uguale a quelli della piramide ed e'
quindi il tetraedro dato. Le rette VV 0 e AB sono parallele perche¤ entrambe parallele alla retta OO0, ma se parallele sono complanari, dunque i quattro punti V, V 0,
A, B e i triangoli VAB e VV 0 B appartengono allo stesso piano.
Analogo ragionamento vale per le facce VCD e VV 0 C.
Il solido ottenuto e' un prisma che ha come basi due triangoli equilateri.
24
Dato un cubo ABCDEFGH, considerare la ¢gura costituita dall’unione dei due tetraedri BDEG e ACFH. Soltanto un modellino, costruito ad esempio con cannucce, puo'
mettere in luce tutta la ‘‘ricchezza’’ di questa ¢gura, che e' detta stella ottangula.
Quando avremo il modellino fra le mani potremo domandarci, ad esempio:
a da quali e quanti poliedri regolari e' composta la stella ?
b quali e quanti solidi, tutti dello stesso tipo dobbiamo accostare alla stella per ottenere il cubo di partenza ?
c indicata con a la misura dello spigolo del cubo di partenza, qual e' l’area della super¢cie della stella ? quale il suo il volume ?
E potremo osservare tanti altri fatti ....
Parte B
ESERCIZIO SVOLTO
1
Una retta a passante per il centro O incontra una sfera
esattamente in due punti.
Su ciascuna delle due semirette di origine O appartenenti alla retta a esiste un punto che ha da O distanza uguale al raggio della sfera A10. Questi due punti, ed essi soli, costituiscono l’intersezione fra la retta a e la sfera.
Il segmento che congiunge i due punti e' detto diametro della sfera.
2
Ogni corda di una super¢cie sferica che non passa per il centro ha lunghezza minore
del diametro.
3
Che cosa si puo' dire della minima distanza di un punto P dai punti di una super¢cie
sferica con centro O e raggio r? e che cosa dire della massima distanza di P dai punti
della stessa super¢cie ?
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40
CAPITOLO
2
PARTE B
4
Se un piano taglia un lato di un triangolo e non passa per alcuno dei suoi vertici allora taglia anche uno, e uno soltanto,degli altri due lati.
5
Se una retta r non giace su un piano ed e' ad esso parallela allora e' tutta contenuta
in uno dei due semispazi che hanno come bordo .
6
Se una retta r incontra un piano in un punto M, le due semirette di origine M stanno in semispazi opposti rispetto a .
7
Se una retta r taglia la retta a in M, le semirette di r opposte rispetto a M, nel piano
individuato dalle due rette, sono in semipiani opposti rispetto ad a.
8
Se il piano e' parallelo al piano e distinto da , allora e' contenuto in un semispazio di bordo .
ESERCIZIO SVOLTO
9
Individuare le regioni in cui lo spazio viene diviso da due piani paralleli distinti.
Siano e i due piani paralleli. Indichiamo con il semispazio generato da che contiene e con il semispazio generato da che contiene . L’intersezione fra e non e' vuota: basta pensare al fatto che esiste almeno un punto P
che appartiene ad un segmento che ha un estremo su e l’altro su . La ¢gura intersezione fra e e' detta strato racchiuso da e ; e' una ¢gura convessa. Il bordo o contorno dello strato e' dato da [ .
Lo spazio risulta allora dall’unione di cinque insiemi disgiunti: i due piani e , lo
strato e i due semispazi rispettivamente opposti a e .
10
Se due rette a e b sono parallele e distinte, la retta b e' contenuta in un semispazio
che ha come bordo un generico piano che passa per a, ma che non contiene b.
11
2 Se due piani distinti e si intersecano lungo una retta r, i semipiani in cui e' diviso da r appartengono a semispazi opposti rispetto ad .
12
3 Se P e Q sono due punti rispettivamente dell’una e dell’altra faccia di un diedro (diremo che PQ e' una corda del diedro), allora ogni semipiano interno al diedro taglia
il segmento PQ.
ESERCIZIO SVOLTO
13
Date due rette sghembe e su ciascuna retta una coppia di punti, descrivere il poliedro che ha per vertici i quattro punti.
Siano r e s le due rette sghembe, A e B i due punti
appartenenti a r, C e D quelli appartenenti a s. I
quattro punti non sono complanari, non lo sono
percio' neppure i quattro triangoli ABC, BCD,
BDA e ACD.
Consideriamo i quattro semispazi generati ciascuno da una delle terne di punti e che contiene il
quarto punto; l’intersezione di questi quattro semispazi non e' vuota: sia Q un pun-
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CAPITOLO
2
PUNTI, RETTE, PIANI NELLO SPAZIO
to interno al triangolo ABC, un punto P del segmento DQ e' interno al semispazio
che ha il piano ABC come bordo e che contiene D, lo stesso punto P si trova come Q, rispetto al piano ABD nello stesso semispazio di C, e cos|' via. L’intersezione dei quattro semispazi e' un poliedro convesso che ha 4 facce (i triangoli considerati prima), 6 spigoli e 4 vertici. I sei spigoli sono due a due opposti e appartenenti a rette sghembe. ( Es. 2B del Cap. 1). Il poliedro ottenuto e' il tetraedro
che abbiamo gia' incontrato nella parte operativa.
14
Studiare la ¢gura data dall’intersezione dei tre strati individuati da tre coppie di piani
paralleli, tutti distinti e aventi giaciture diverse: e 0, e 0, e 0.
La ¢gura ottenuta e' detta parallelepipedo.
15
Se tre rette sono a due a due sghembe, allora esiste ed e' unico il parallelepipedo che
le ha come spigoli. Le tre rette devono pero' rispettare una condizione, quale ?
16
I quattro punti O, A, B, C non sono complanari. Esiste uno e un solo parallelepipedo
che ha i segmenti OA, OB, OC come spigoli.
17
Tre piani distinti passano per una stessa retta. Trovare la suddivisione dello spazio in
regioni convesse determinate da essi.
18
Tre piani distinti si tagliano due a due, ma non hanno punti a comune. Trovare la suddivisione dello spazio in regioni convesse, determinate da tali piani
19
Quattro piani sono quelli delle facce di un tetraedro. Contare e descrivere le regioni
convesse in cui i quattro piani suddividono lo spazio.
20
Un piano taglia un lato di un tetraedro e non passa per alcuno dei vertici. Quanti possono essere i punti in cui questo piano incontra gli altri spigoli del tetraedro ?
21
Un piano non passa per alcuno dei vertici di un tetraedro, quanti lati del tetraedro
puo' secare ?
22
Il piano contiene il vertice A del tetraedro ABCD e incontra in E lo spigolo BC del
tetraedro stesso; in quali situazioni puo' trovarsi rispetto agli spigoli del tetraedro ?
23
Descrivere e giusti¢care una de¢nizione di parallelepipedo circoscritto ad un tetraedro.
Tenere conto dell’esercizio 13B.
24
Dimostrare che i quattro punti medi degli spigoli AD, AB, CB, CD di un tetraedro
ABCD sono complanari. Cosa dire del quadrilatero che ha come vertici i suddetti
punti medi ?
25
Studiare come variano il perimetro e l’area della sezione di un tetraedro con un piano
parallelo a due spigoli opposti.
41