∫ ∫ ∫ ∫

Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
CAMPO MAGNETICO BLEGGE DI AMPÉRE
C1. Un conduttore cilindrico cavo, di raggio esterno a = 2.0 cm e raggio interno
b = 1.6 cm, è percorso da una corrente I0 = 100A, distribuita uniformemente sulla
sua sezione. Calcolare il modulo del campo magnetico B per r = 1.8 cm
(all’interno del conduttore). Disegnare il grafico di B(r).
(A) 5.2(104) T
(D) 4.5(104) T
(B) 0 T
(E) 1.8(104) T
(C) 3.2(104) T
a
r
b
SOLUZIONE: Per la simmetria cilindrica le linee di forza del campo magnetico sono delle
circonferenze concentriche al conduttore, e B è tangente a esse. Applichiamo la legge di Ampère su
una circonferenza di raggio r. Il cilindro divide lo spazio in 3 regioni: 0 < r <b, b < r < a, r > a.
Per r  b (nella zona cava del conduttore) si ha
 B  dl   B dl  2    r  B  
0
 I conc  0  B  0
perché la corrente concatenata Iconc è zero.
Per b  r  a (all’interno del conduttore), la corrente concatenata si ricava moltiplicando la densità
di corrente (rapporto fra la corrente I0 e la sezione del conduttore) per la superficie del conduttore
πr 2  πb 2
r 2  b2

I
;quindi
0
πa 2  πb 2
a2  b2
0 I 0 r 2  b 2
r 2  b2
 2π r B( r )   0 I 0 2
 B( r ) 
2π r a 2  b 2
a  b2
compresa nel cerchio di raggio r, cioè I conc  I 0 
 B dl   I
0 conc
Per la distanza r = 1.8 cm specificata, sostituendo i calori numerici si trova
(
)
Per r  a (zona esterna al conduttore) la corrente concatenata è I0, quindi:
 B dl   I
0 conc
 2π r B(r )   0 I 0

B( r ) 
0 I 0
2π r
1
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ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
C2. Sei fili conduttori entrano perpendicolarmente nel foglio
come in figura. Ogni filo è attraversato, nella direzione
specificata in figura, dalla corrente In = n I0, dove n è il numero
associato ad ogni filo. Calcolare
(D)  0 I 0
2
 B  d l lungo la linea chiusa
continua, percorsa nella direzione indicata dalla freccia.
(A) 6 0 I 0
(B)  30 I 0
(C)  9 0 I 0
3
6
5
1
4
(E) 0
SOLUZIONE. La linea chiusa si avvolge intorno alle correnti 2,3,4,6. Le correnti entranti 2 e 4
generano un campo B con lo stesso verso di percorrenza della linea chiusa, mentre le correnti
uscenti 3 e 6 generano un campo B con verso opposto. Applicando la legge di Ampère, l’integrale
vale:
 Bdl   I
0
conc
 0 (6  2  3  4) I 0  3 0 I 0 .
C3. Due lunghi fili posti lungo gli assi cartesiani portano le correnti I1 = 3 A lungo +x e I2 = 4 A
lungo –y. Il modulo del campo B nel punto di coordinate P(4 m, 3 m) vale:
(A) 0 T
(B) 0.12 T
(C) 0.40 T
(D) 0.42 T
(E) 0.20 T
SOLUZIONE. Ambedue le correnti danno contributi B1 e B2 perpendicolari al piano
del disegno; nel punto P appartenente al primo quadrante i vettori B1 e B2 hanno verso
uscente dal piano del foglio (regola della mano destra) e perciò si sommano. Per
quanto riguarda i moduli, si ha:
2k  I
3
4
B1, 2  m 1, 2  B1  2(107 ) T  0.20 μT; B2  2(107 ) T  0.20 μT  B  0.40 μT
d
3
4
P
O
y
I
1
SOLUZIONE. Il campo magnetico sull’asse di una spira circolare di raggio r a distanza d dal suo
centro è
r
r 2  I
2
d2
1
x
1
I
C4. Due avvolgimenti circolari coassiali sono
I
percorsi dalla stessa corrente diretta in verso opposto
20 cm
30 cm
50 cm
50 cm
e si trovano a distanza l  1 m; il primo avvolgimento
consiste di N1  360 spire di 20 cm di diametro
(r1  0.1 m); il secondo avvolgimento ha un diametro di 30 cm (r2  0.15 m). Entrambi gli
avvolgimenti sono molto compatti, cioè hanno una lunghezza trascurabile rispetto al loro raggio.
Quante spire N2 deve avere approssimativamente il secondo avvolgimento perché il campo B si
annulli nel punto medio della congiungente i centri delle due spire?
(A) 160
(B) 240
(C) 172
(D) 540
(E) 237
B  2  km 
I

3/ 2
Poiché gli avvolgimenti sono molto compatti, si può considerare d (distanza tra il centro di ogni
spira e il punto medio della congiungente i due avvolgimenti) costante per tutte le spire
2
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
dell’avvolgimento, pertanto il campo di ogni avvolgimento di spire è la somma dei campi generati
da ciascuna spira alla distanza d = l/2:
BNspire  2  k m 
r 2  I  N
r
2

 360
0.12  (0.152  0.52 ) 3 / 2
 171.68  172
0.152  (0.12  0.52 ) 3 / 2
3/ 2
d2
Utilizzando la regola della mano destra si vede che i campi magnetici prodotti dai due avvolgimenti
hanno verso opposto. Imponendo l’uguaglianza dei moduli dei due contributi a B e semplificando le
costanti si ha:
r
2
1
N1r12
d2

3/ 2

r
2
2
N 2 r22
d2

3/ 2
 N 2  N1
r
r
2
2
d2
2
1
d2


3/ 2
3/ 2
 r12
 r22
C5. In un punto della superficie terrestre dove la componente orizzontale del
campo magnetico vale BT = 50 T, una piccola bussola viene posta
orizzontalmente nel centro di un avvolgimento circolare che appartiene al piano g
individuato dalla verticale e dalla direzione del Nord magnetico. Se
l’avvolgimento consiste di N  50 spire di raggio R  40 cm, in corrispondenza
di quale intensità di corrente l’ago magnetico defletterà di 45° rispetto alla
direzione del Nord magnetico?
(A) 0.314 A
(B) 0.64 A
(C) 0.80 mA
(D) 1.56 mA
(E) 27.4 mA
Nord
SOLUZIONE. Poiché l’ago della bussola si orienta lungo la direzione del
y
campo magnetico terrestre, scegliendo l’asse x lungo la direzione Nord
geograficoSud geografico (che equivale alla direzione Sud magneticoNord
magnetico) la situazione è rappresentabile come in figura, dove BT,O rappresenta
BS
45° x
la componente orizzontale del campo magnetico terrestre. Poiché le dimensioni
della spira sono minime rispetto a quelle della Terra e il campo magnetico
I
z
terrestre è con ottima approssimazione parallelo alla superficie della Terra,
BT,O
possiamo trascurare la componente verticale di BT. Il campo BS generato
dall’avvolgimento ha la direzione dell’asse y, e verso positivo (come scelto in figura) o negativo a
seconda del verso della corrente. Affinché la deflessione dell’ago magnetico sia pari a 45° rispetto
alla sua posizione iniziale, BT,O e BS devono (teorema di Pitagora) essere uguali. Pertanto:

C6. Un cavo di rame isolato, rettilineo e verticale, è percorso da una corrente I = 30 A diretta verso
il basso. Tenendo conto della presenza del campo magnetico terrestre, diretto verso Nord e del
valore BT =0.45(104) T, a quale angolo rispetto al Nord punterà l’ago di una bussola, se questa
viene posta in un piano orizzontale e con il centro in un punto a d = 20 cm a Sud del filo? (angolo
positivo in senso antiorario, ovvero verso Ovest).
(A) 23°
(B) 34°
(C) 0°
(D) 23°
(E) 34°
3
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
SOLUZIONE. Le due figure sono differenti rappresentazioni della situazione. Poiché d è
trascurabile rispetto al raggio terrestre, il piano orizzontale
N
I
N
BT
su cui è posta la bussola si può considerare a tutti gli
effetti perpendicolare al filo. In questo piano orizzontale, i
BF

F
BT
punti cardinali e i campi magnetici di terra (BT) e filo (BF)
P
O
E
sono rappresentati nella parte destra della figura. F è il
Btot F d
punto in cui il filo entra nel piano, P è la posizione della
P
BF
bussola; l’ago della bussola si orienterà lungo la risultante
S
dei due campi Btot. Pertanto:
S
( )

(
)
C7. Un primo filo verticale è percorso da una corrente I1 = 1 A nel verso ascendente. Un secondo
filo, parallelo al primo e distante da questo d = 1 m, è percorso da una corrente I2 = 2 A in senso
ascendente. A che distanza dal primo filo il campo B sarà nullo?
(A) 0.25 m
(B) 0.33 m
(C) 0.5 m
(D) 1 m
(E) 2 m
SOLUZIONE. La situazione è rappresentata in figura. La somma B1+B2 può annullarsi solo
quando i due campi hanno la stessa direzione, verso opposto e uguale intensità:
I1
I2
questa condizione è verificata solo in un punto P tra i due fili a distanza d1 dal
d
primo filo tale che
P
B2
(
)
B1


C8. Tre lunghissimi fili quasi complanari, percorsi ciascuno da una
corrente I =2 A nei versi indicati nella figura, si incrociano nei tre punti
A, B, C che si trovano ai vertici di un triangolo equilatero con lato lungo
L =1.73 m. Nel baricentro O del triangolo equilatero il campo di
induzione magnetica vale in modulo:
(A) 0 T
(B) 1.2 T
(C) 2.4 T
(D) 3.6 T
(E) 0.8 T
C
O
B
A
SOLUZIONE. Il filo passante per CA e quello passante per AB producono in O campi magnetici
uscenti dal piano del triangolo, mentre il filo passante per BC produce in O un campo magnetico
entrante. Poiché i tre fili sono equidistanti dal baricentro, i tre campi sono uguali in modulo e in O
la loro risultante è il campo uscente prodotto da un solo filo. L’altezza del triangolo equilatero vale
(
)
√
√
√
√
C9. Due fili verticali indefiniti, il primo percorso da una corrente I1 = 6 A uscente dal piano del
disegno, il secondo da una corrente I2 = 8 A entrante nel piano del disegno, sono distanti d = 10 cm.
4
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ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
C
Nel punto C del disegno, distante h = 5 cm dalla congiungente i due fili P1P2
ed equidistante da questi, il campo B vale in modulo:
(A) 28.28 T
(D) 39.6T
(B) 16.97T
(E) ______
5 cm
P1
(C) 22.63T
P2
10 cm
I1
SOLUZIONE. Per la geometria del problema, il triangolo P1CP2 è rettangolo
in C e isoscele (P1C = P2C) con  = 45°. I campi B1 e B2 sono
C
B1
B2
rappresentati in figura e
5 cm
P1

10 cm
I1
√
√
P2
(
√
)
√
I2
(
I2
cm
)
√
cm
C10. Sei lunghi fili rettilinei complanari percorsi tutti da una corrente I = 1 A nei
versi indicati delimitano una regione esagonale di lato l = 10 cm. La componente
di B perpendicolare al piano nel centro O dell’esagono vale
(+  verso uscente dal foglio;  verso entrante nel foglio)
(A) 13.86 T
(B) 9.24T
(C) 0 T
(D) 9.24 T
(E) _____T
l
O
SOLUZIONE. Si verifica con la regola della mano destra che tutti i fili
producono in O un campo entrante nel piano del foglio e perpendicolare al piano.
Il triangolo AOB è equilatero e la distanza di ciascun filo da O vale quindi
(
)
B
A
l
√
O
Pertanto, detto BF il modulo del campo prodotto in O da ciascun filo, si ha
√
√
C11. Un filo indefinito lungo l’asse z porta una corrente If = 10 A. Sul
piano xy vi è una spira di raggio R = 5 cm percorsa da una corrente
Is = 5 A il cui centro si trova nel punto di coordinate (0, 7 cm, 0). Nel
punto P di coordinate (0, 7 cm, 1 cm) il modulo del campo B vale
(A) 66 T
(B) 103 T
(C) 138 T
(D) 172 T
(E) 179 T
P
z
I
O
y
x
SOLUZIONE. Il filo genera in P un campo Bf parallelo all’asse y e di verso opposto; la spira
genera in P (che appartiene al suo asse) un campo Bs parallelo all’asse z e con verso dipendente dal
verso della corrente nella spira. In ogni caso, Bf e Bs sono perpendicolari, dunque
√
√
(
(
)
)
√
(
(
)
)
5
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
C12. Un filo rettilineo sottile, percorso da una corrente If = 20 A, corre lungo l’asse di un lungo
solenoide di raggio R = 3 cm con N = 500 spire al metro portanti una corrente Is = 7 A. Il modulo
del campo magnetico in un punto del solenoide a d = 2 mm dall’asse del solenoide è pari a:
(A) 1.9 mT
(B) 2.7 mT
(C) 3.7 mT
(D) 4.8 mT
(E) 6.5 mT
SOLUZIONE. Il solenoide produce in ogni suo punto interno un campo Bsol uniforme,
parallelo al suo asse e quindi al filo; il filo produce invece in P un campo Bf perpendicolare al
filo stesso. Indipendentemente dal verso delle correnti, Bf e Bsol sono perpendicolari, dunque
P
√
√
(
√
)
C13. Due lunghi solenoidi coassiali con asse lungo x sono così costituiti:
 solenoide interno: N1 = 1500 spire al metro, corrente I1, raggio R1 = 0.3 m;
 solenoide esterno: N2 = 3500 spire al metro, corrente I2 , raggio R1 = 0.5 m.
Se, a distanza d = 0.1 m dall’asse dei solenoidi, il modulo del campo B vale 12.57 mT e se la
corrente I1 è di 2 A e fluisce nello stesso verso di I2, il rapporto I2/I1 vale, in valore assoluto:
(A) 1.00
(B) 1.86
(C) 3.14
(D) 3.71
(E) indeterminato
SOLUZIONE. Il punto a distanza d dall’asse dei solenoidi è interno a entrambi; poiché le correnti
che circolano nei due solenoidi sono equiverse, il campo B in ogni punto interno ai due solenoidi è
la somma dei campi B1 e B2, uniformi, equiversi e diretti lungo l’asse x:
) 
(

C14. Un anello sottile di raggio r = 0.6 m è formato da N = 175 spire percorse da una corrente di
intensità I. Se tale corrente crea un campo magnetico di modulo B = 0.12 mT al centro dell’anello,
la corrente I vale:
(A) 2 A
(B) 1.3 A
(C) 1.0 A
(D) 0.65 A
(E) _____
SOLUZIONE. Poiché l’anello è sottile, il centro dell’anello coincide con buona approssimazione
con il centro di ciascuna spira, e il campo totale al centro dell’anello è la somma dei campi prodotti
dalle N spire:

C15. Un filo di rame di diametro D = 4 mm è percorso da una corrente I = 12 A di densità
uniforme. Utilizzando la legge di Ampère si trovi il modulo del campo magnetico B all’interno del
filo a distanza d = 1 mm dal centro.
(A) 1(104) T
(B) 6(104) T
(C) 0 T
(D) 12(104) T
(E) 4(104) T
6
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ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
SOLUZIONE. La figura rappresenta il filo visto in sezione. Applichiamo la legge di Ampère a una
circonferenza di raggio OP: il campo B a distanza d dal centro del filo di rame sarà
d
tangente alla circonferenza di centro O e raggio d, dunque
D P
∮
O
BP
dove I
rappresenta la corrente interna alla circonferenza di raggio OP. Poiché la
conc
corrente concatenata, essendo uniforme la densità di corrente J, è proporzionale al quadrato del
raggio della circonferenza, deve essere
( )
( )
Sostituendo l’ultima relazione nella precedente si trova

( )
C16. Tre lunghi fili percorsi da correnti giacciono nel
piano x,y e si incontrano nell’origine degli assi
cartesiani come da figura. I valori delle correnti e
dell’angolo  sono

30°
I1
2A
I2
3A
y
I3
I2
I3
4A

Il valore di |B| nel punto P(3 m,4 m) è di circa
(A) 0.127 T
(B) 0.139 T
(C) 0.464 T
(D) 0.488 T
y
d

I2

I1
O
La distanza tra P e il filo 2 è
(
)
oppure, senza usare troppa trigonometria,
(
)
Pertanto
(
P
I3
√
)
x
(E) 0.937 T
SOLUZIONE. P è posizionato come in figura, con tan() = 4/3 
  53.13°. Il filo 3 genera in P un campo entrante nel piano xy (verso
opposto all’asse z della terna cartesiana, segno ); il filo 1 e 2
generano invece campi uscenti dal piano xy (stesso verso dell’asse z
della terna cartesiana, segno +). La lunghezza del segmento OP è
(
I1
)
(
(
√
)
)
(
)
C17. Due anelli identici di raggio r = 0.7 m e formati da N = 1200 spire hanno assi coincidenti e
sono percorsi da corrente equiversa di uguale intensità I = 0.8 A. Se la distanza tra i due centri è
l = 1.4 m, il modulo del campo B nel centro del primo anello vale
(A) 8.6(104)T
(B) 6.1 (104 )T (C) 3.3 (104 )T (D) 9.4(104)T
(E) ____
7
x
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ESERCITAZIONE C: CAMPO MAGNETICO
SOLUZIONE. Poiché le correnti nei due anelli sono equiverse, il campo
nel centro O dell’anello A1 sarà la somma dei campi generati dai due
anelli, entrambi diretti come l’asse x (segno + nel caso del verso delle
correnti scelto in figura). Detti B1 e B2 i moduli dei campi generati in O da
A1 e A2 si ha
(
[
(
A2
[
)
)
x
O
A1
(
)
]
]
C.18. L’espressione di un campo B in un riferimento cartesiano è B  A yi  xj  0k ) . Calcolare
rot B e la circuitazione di B lungo una circonferenza C posta sul piano xy, di raggio R e centro
nell’origine cartesiana.
SOLUZIONE. Per definizione,
(
(
)
)
(
)
(
)
La circuitazione di B lungo la circonferenza C è pari al flusso di rot B attraverso a una qualunque
superficie avente per contorno C: poiché rot B è perpendicolare alla circonferenza:
∮
C19. Una lastra conduttrice indefinita spessa s = 1 cm è
percorsa da corrente unidirezionale con densità uniforme
J = 200 A/m2. Il campo magnetico in un punto posto
h = 0.4 cm sopra il punto centrale O vale circa
J
(A) 0.00 T
(B) 2.51 T
(C) 1.26 T
p
(D) 1.0 T
(E) 3.78 T
SOLUZIONE. Applicando la legge di Ampère, si ottiene
l
che una lastra indefinita genera un campo magnetico
uniforme nello spazio esterno con direzione parallela alla lastra, perpendicolare a J, indipendente
dalla distanza da questa e pari in modulo a
8
s