Leghiamo l`energia al campo magnetico, localizzandola nello

Leghiamo l’energia al campo magnetico,
localizzandola nello spazio in cui esiste
un campo magnetico
Consideriamo un tratto di lunghezza d di un
solenoide indefinito
2
2
1 2 1
B
B
2
2
U L = Li = (µ0 n Σd )i =
Σd =
τ
2
2
2 µ0
2 µ0
La densità di energia risulta
2
B
um =
2 µ0
Densità di energia magnetica
In un volume τ intorno ad un punto P in cui
il campo magnetico vale B
2
B
dU m = um dτ =
dτ
2 µ0
2
B
Um =
dτ
τ 2 µ0
Capacità di un condensatore piano
σ
E = un
ε0
σ
q
V1 − V2 = Eh = h =
h
ε0
ε 0Σ
q
ε 0Σ
C=
=
V1 − V2
h
Ue di un condensatore piano
CV
1 ε 0Σ 2 2
Ue =
=
E h
2
2 h
1
1
2
2
= ε 0 E Σh = ε 0 E τ
2
2
2
Densità di Ue
Ue
1
2
ue =
= ε0E
τ 2
In una regione dello spazio in cui è definito
un campo elettrostatico l’energia contenuta in
un volume infinitesimo, al cui interno il
campo valga E, è
1
2
dU e = ε 0 E dτ
2
Energia totale del campo elettrostatico
1
2
U e = dU e = ε 0 E dτ
τ2
Questa energia corrisponde al lavoro speso
per costruire la distribuzione di cariche che
dà origine al campo
1
2
U e = ε 0 E dτ
τ2
2
B
Um =
dτ
τ 2 µ0
Induzione mutua
Φ1, 2 (B1 ) = B1 • un dΣ 2
Φ 2,1 (B2 ) = B2 • un dΣ1
Φ1, 2 (B1 ) = M 1, 2i1
Φ 2,1 (B2 ) = M 2,1i2
In base alla legge di Faraday si ha una
f.e.m. indotta in un circuito dalla
variazione di corrente dell’altro
dΦ 2,1
di2
f1 '
=−
= − M 2,1
dt
dt
dΦ1, 2
di1
f2 '
=−
= − M 1, 2
dt
dt
Considerazioni energetiche
Portiamo i1 a regime, i2 =0
1 2
U1 = Li1
2
Considerazioni energetiche
Portiamo i2 a regime, i1 =cost
1 2
U 2 = Li2
2
di2
U 2,1 = − f1 '
i1dt = M 2,1 i1dt =M 2,1i1i2
dt
Considerazioni energetiche
In totale il lavoro speso dai generatori
trasformato in energia legata alla presenza del
campo magnetico è:
1 2 1 2
Li1 + Li2 + M 2,1i1i2
2
2
Considerazioni energetiche
In totale il lavoro speso dai generatori
trasformato in energia legata alla presenza del
campo magnetico con procedimento inverso è:
1 2 1 2
Li1 + Li2 + M 1, 2i1i2
2
2
Considerazioni energetiche
Poiché i due stati finali sono uguali ciò implica:
M 1, 2 = M 2,1
Due circuiti per i quali M≠0 si dicono
accoppiati, M si definisce induttanza
mutua e si misura in H
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
1 2 1 2
U m = Li1 + Li2 + Mi1i2
2
2
Corrente di spostamento
dq d (CV )
is =
=
=
dt
dt
d ΣV
d
dΦ (E )
= ε0
= ε 0 (ΣE ) = ε 0
dt h
dt
dt
B • ds = µ 0 i =
= µ 0 j • u n dΣ
Σ
Equazione di continuità
Conservazione della carica sotto forma differenziale
q(t ) = ρdτ
τ
dq(t ) d
∂ρ
=
ρdτ =
dτ
τ ∂t
dt
dt τ
La variazione della carica nell’unità di tempo per la
conservazione della carica deve uguagliare la carica che
nello stesso dt ha attraversato la superficie S che racchiude
quel volume
Σ
∂ρ
j • un dΣ = −
dτ
τ ∂t
Per il teorema della divergenza
Σ
j • un dΣ = ∇ • j dτ
τ
∂ρ
∇• j +
=0
∂t
∇• j = 0
Condizione di stazionarietà
∂ρ
∇• j +
=0
∂t
1
∇•E = ρ
ε0
∂E
∂E
js = ε 0
∇ • j + ε0
=0
∂t
∂t
∇ • ( j + js ) = 0
Il vettore j + js è solenoidale
∇ × B = µ0 j
diventa ∇ × B = µ0 ( j + js )
In forma integrale
B • ds = ∇ × B • un dΣ =
Σ
µ0 j • un dΣ +µ0 js • un dΣ =
Σ
Σ
∂Φ (E )
∂
µ0 i + ε 0
E • un dΣ = µ0 i + ε 0
∂t
∂t Σ
Legge di Faraday
Un campo magnetico variabile crea un campo elettrico.
dΦ (B )
E • ds = −
dt
L’integrale è esteso ad una qualunque linea chiusa e Φ(B) è il
flusso d’induzione concatenato con quella linea.
∂B
∇× E = −
∂t
Legge di Faraday
dΦ ( B )
E • ds = −
dt
∂B
∇× E = −
∂t
Hanno validità generale; esse sona valide anche quando il campo
elettrico è creato sia da campi magnetici variabili che da cariche
elettriche; infatti in tal caso il campo elettrico è dato da
E = Es + Ei
∇ × Es = 0
∂B
∇ × Ei = −
∂t
Legge di Ampere-Maxwell
Una corrente elettrica, sia essa di conduzione o di spostamento,
crea un campo magnetico; o anche un campo elettrico variabile
crea un campo magnetico
dΦ ( E )
B • ds = µ 0 i + ε 0
=
l
dt
µ0
( j + j s ) • u n dΣ
Σ
Ove js è la densità di corrente di spostamento, l una qualunque
linea chiusa ed Σ una qualunque superficie avente per contorno
quella linea
Legge di Ampere-Maxwell
∇ × B = µ 0 ( j + js )
∂E
js = ε 0
∂t
Legge di Gauss
Fornisce la relazione tra il campo elettrostatico e le cariche che
lo creano.
E • un dΣ =
q
∇•E =
ε0
1
ε0
ρ
Queste relazioni, sebbene stabilite in elettrostatica hanno
validità generale: sono valide anche quando il campo è creato
sia da cariche elettriche che da campi magnetici variabili infatti
in tal caso il campo elettrico è dato da:
E = Es + Ei
Legge di Gauss
E = Es + Ei
∇ • Es =
1
ε0
ρ
∇ • Ei = 0
Solenoidalità del vettore B
B • u n dΣ = 0
∇•B = 0
Equazioni di Maxwell in forma integrale
E • un dΣ =
q
ε0
B • u n dΣ = 0
dΦ (B )
E •ds = −
dt
dΦ ( E )
B •ds = µ0 i + ε 0
dt
Equazioni di Maxwell in forma locale
∂B
∇× E = −
∂t
∇•B = 0
∇•E =
1
ρ
ε0
∇ × B = µ 0 ( j + js )