Introduzione
Esercitazioni di statistica
Calcolo delle probabilità
Stefania Spina
Universitá di Napoli Federico II
[email protected]
11 Novembre 2014
Stefania Spina
Esercitazioni di statistica
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Introduzione
Esempi
Se l’esito di un ESPERIMENTO è il SESSO di un NASCITURO,
allora:
S = {M, F }
dove F indica una FEMMINA e M un MASCHIO.
Se l’ ESPERIMENTO consiste nel LANCIARE DUE MONETE
annotando se ESCE TESTA o CROCE, allora:
S = {(T , T ), (T , C), (C, T ), (C, C)}
L’esito è (T, T) se entrambe le monete mostrano testa, (T, C) se la
prima moneta mostra testa e la seconda croce, (C, T) vale il
viceversa e (C, C) se escono due croci.
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Introduzione
I postulati del calcolo delle probabilità
Anche nel calcolo delle probabilità esistono, accanto ai concetti
primitivi, i postulati che sono delle affermazioni che non vengono
dimostrate. Nel calcolo delle probabilità i postulati (o assiomi) sono
cinque.
1 POSTULATO
Gli eventi generati da una prova formano una algebra di Boole completa.
2 POSTULATO
Dato un evento A qualsiasi appartenente ad una algebra di Boole, la sua
probabilità è unica e non negativa
3 POSTULATO
La probabilità dell’evento certo è sempre pari ad uno
4 POSTULATO
Se A e B sono eventi incompatibili la probabilità della loro unione è uguale alla
somma delle probabilità di ciascuno di essi
5 POSTULATO
Dati i due eventi A e B si dice che B condiziona A, e si scrive (A|B), se il
verificarsi di B altera la probabilità del verificarsi di A
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Primo postulato del calcolo delle probabilità
1 POSTULATO
Gli eventi generati da una prova formano un’ algebra di Boole
completa.
Gli eventi sono delle frasi, delle proposizioni e quindi se vogliamo
sottoporle a manipolazioni bisogna utilizzare un’algebra diversa da
quella ben nota dei numeri: l’algebra che utilizzeremo è quella di
Boole.
Nell’algebra di Boole le operazioni fondamentali sono tre e
precisamente:
unione, indicata con il simbolo ∪;
intersezione, indicata con il simbolo ∩;
negazione, indicata con il simbolo ¯.
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Esempio UNIONE
Nell’esperimento del LANCIO DI DUE MONETE con
S = {(T , T ), (T , C), (C, T ), (C, C)}
A = {(C, T ), (C, C)} = {CROCE AL PRIMO LANCIO}
B = {(C, C), (T , T )} = {NEI DUE LANCI SI HA LO STESSO RISULTATO}
Si ha:
A ∪ B = {(C, T ), (C, C), (T , T )}
formato da tutti gli esiti dell’esperimento che stanno o in A o in B
o in entrambi, cioè si verifica se si verifica
AoB
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Esempio INTERSEZIONE
SE
A = {(T , T ), (T , C)} = {LA PRIMA MONETA E 0 TESTA}
B = {(C, C), (T , C)} = {LA SECONDA MONETA E 0 CROCE}
Si ha:
A ∩ B = {(T , C)}
è l’evento in cui la prima moneta è testa e la seconda è croce, quindi
è formato da tutti gli esiti dell’esperimento che sono sia in A che
in B.
Questo significa che l’intersezione si verifica se si verificano sia A che
B:
AeB
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Evento complementare o negazione
La negazione di un evento A è l’evento F, denominato anche A che si
verifica quando non si verifica A.
Formalmente si scrive:
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Esercizio
Poniamo
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
B = {4, 6}
C = {1, 4}
Determina:
A∩B
B∪C
A ∪ (B ∩ C)
(A ∪ B)c
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Introduzione
Esercizio
Poniamo
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
B = {4, 6}
C = {1, 4}
Determina:
A∩B
B∪C
A ∪ (B ∩ C)
(A ∪ B)c
A∩B =∅
B ∪ C = {1, 4, 6}
A ∪ (B ∩ C) = A ∪ {4} = {1, 3, 4, 5}
(A ∪ B)c → (A ∪ B) = {1, 3, 4, 5, 6} → (A ∪ B)c = {2}
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Eventi incompatibili
Due eventi A e B sono eventi incompatibili se
A∩B =∅
così A e B non si verificano simultaneamente e quindi o si
presenta l’uno, o si presenta l’altro.
Come si può notare dalla figura, i due eventi incompatibili non hanno
aree in comune fra di loro, sono completamente disgiunti.
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Definizioni
2 POSTULATO
Dato un evento A qualsiasi appartenente ad una algebra di Boole, la sua
probabilità è unica e non negativa
In simboli si ha
P(A) ≥ 0
3 POSTULATO
La probabilità dell’evento certo è sempre pari ad uno
P(Ω) = 1
4 POSTULATO
Se A e B sono eventi incompatibili la probabilità della loro unione è uguale alla
somma delle probabilità di ciascuno di essi
In simboli abbiamo:
se A ∩ B = ∅ allora risulta P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Quinto postulato del calcolo delle probabilità
5 POSTULATO
Dati i due eventi A e B si dice che B condiziona A, e si scrive
(A|B), se il verificarsi di B altera la probabilità del verificarsi di A.
L’evento condizionato (A|B) si legge anche: A dato B. L’evento A è
detto evento condizionato mentre B viene detto condizionante.
Osserviamo che affinché A sia condizionato da B questo secondo
evento deve verificarsi prima di A per cui vi è un ordinamento
temporale da B ad A.
Da un punto di vista geometrico effettuare il condizionamento B
significa restringere lo spazio da Ω a B e quindi interessarsi a come A
si comporta nel nuovo spazio B. L’evento certo si riduce da Ω ad Ω∗ =
B e l’evento condizionato (A|B) è dato dal comportamento di A
all’interno del nuovo evento certo B. In simboli:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
con P(B) > 0
P(B)
quindi A e B sono due eventi dipendenti.
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Eventi indipendenti
Due eventi sono indipendenti se la probabilità che un evento si
verifichi in una data prova di un esperimento non è modificata dal
verificarsi dell’altro evento.
P(A|B) = P(B)
Una diversa definizione di eventi indipendenti si ottiene
sostituendo il risultato di questa uguaglianza nell’espressione del
quinto postulato:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
= P(A)
P(B)
Definizione: La probabilità di A dato B, indicata P(A|B), è uguale alla
probabilità congiunta di A e B divisa per la probabilità dell’evento B.
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Eventi indipendenti
Da P(A|B) =
P(A ∩ B)
= P(A)
P(B)
si ricava immediatamente che A è indipendente da B se e solo se
risulta
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
e quindi se e solo se il prodotto logico si trasforma nel prodotto
aritmetico.
Da questa ultima espressione segue immediatamente che se A è
indipendente da B anche B è indipendente da A.
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Esercizi
A e B sono incompatibili
P(A) = 0.35
P(B) = 0.40
Calcolare:
P(A)
P(A ∩ B)
P(A ∪ B)
P(A ∪ B)
P(A ∩ B)
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Esercizi
A e B sono incompatibili
P(A) = 0.35
P(B) = 0.40
Calcolare:
P(A)
P(A ∩ B)
P(A ∪ B)
P(A ∪ B)
P(A ∩ B)
incompatibili = A ∩ B = ∅
P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.35 = 0.65
P(A ∩ B) = P(∅) = 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.35 + 0.40 = 0.75
P(A ∪ B) = P(A ∩ B) = 1 − P(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − P(A) − P(B) = 0.25
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Esempio
Un negozio accetta sia la carta di credito American Express che
la VISA.
Il 22% dei clienti porta con sè l’American Express, il 58% una
VISA e il 14% entrambe. Qual è la probabilità che un cliente
abbia con sè almeno una di queste carte di credito?
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Esempio
Un negozio accetta sia la carta di credito American Express che
la VISA.
Il 22% dei clienti porta con sè l’American Express, il 58% una
VISA e il 14% entrambe. Qual è la probabilità che un cliente
abbia con sè almeno una di queste carte di credito?
P(A) = 0.22
P(B) = 0.58
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.22 + 0.58 − 0.14 = 0.66
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Esempio
Un negozio accetta sia la carta di credito American Express che
la VISA.
Il 22% dei clienti porta con sè l’American Express, il 58% una
VISA e il 14% entrambe. Qual è la probabilità che un cliente
abbia con sè almeno una di queste carte di credito?
P(A) = 0.22
P(B) = 0.58
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.22 + 0.58 − 0.14 = 0.66
Il 66% della clientela del negozio porta con sè almeno una delle
carte di credito accettate dal negozio stesso.
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Esercizio
Si stima che il 30% di tutti gli adulti degli USA siano obesi e che il
3% siano diabetici. Se il 2% degli adulti sono sia obesi che
diabetici, quale percentuale degli adulti sono obesi o diabetici?
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Esercizio
Si stima che il 30% di tutti gli adulti degli USA siano obesi e che il
3% siano diabetici. Se il 2% degli adulti sono sia obesi che
diabetici, quale percentuale degli adulti sono obesi o diabetici?
P(OBESI) = 0.30
P(DIABETICI) = 0.03
P(OBESI ∩ DIABETICI) = 0.02
P(OBESI ∪ DIABETICI) = P(OBESI) + P(DIABETICI) −
P(OBESI ∩ DIABETICI) = 0.30 + 0.03 − 0.02 = 0.31
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Introduzione
Esercizio
Si stima che il 30% di tutti gli adulti degli USA siano obesi e che il
3% siano diabetici. Se il 2% degli adulti sono sia obesi che
diabetici, quale percentuale degli adulti sono obesi o diabetici?
P(OBESI) = 0.30
P(DIABETICI) = 0.03
P(OBESI ∩ DIABETICI) = 0.02
P(OBESI ∪ DIABETICI) = P(OBESI) + P(DIABETICI) −
P(OBESI ∩ DIABETICI) = 0.30 + 0.03 − 0.02 = 0.31
Il 31% degli adulti degli USA sono obesi o diabetici.
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Esercizio
Sia data una prova consistente nel lancio di un dado e si considerino
i seguenti tre eventi:
1. A = si ottiene un punteggio maggiore di 2;
2. B = si ottiene un punteggio dispari;
3. C = si ottiene un punteggio divisibile per 3 o per 5.
Si calcoli:
1. La probabilità degli eventi A, B, C;
2. La probabilità P(C | A).
3. I tre eventi sono indipendenti?
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Esercizio
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1. La probabilità degli eventi A, B, C:
P(A) =
4
= 0.6
6
P(B) =
3
= 0.5
6
P(C) = P(punteggio divisibile per 3) + P(punteggio divisibile per 5)−
P(punteggio divisibile per 3 e per 5) =
2
1
+ − 0 = 0.5
6
6
2. La probabilità P(C | A).
P(C|A) =
P(C ∩ A)
=
P(A)
3
6
4
6
= 0.75
3. I tre eventi sono indipendenti?
P(C ∩ B) =
2
3 3
6= ∗ = P(C) ∗ P(B)
6
6 6
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Introduzione
Esercizio
Una ditta vuole verificare l’efficacia di una campagna pubblicitaria per
un nuovo prodotto. Per ogni prodotto venduto, viene chiesto
all’acquirente se ha effettuato l’acquisto in seguito all’annuncio
pubblicitario oppure in modo indipendente.
Da un’indagine precedente è noto che la probabilità che il potenziale
acquirente abbia visto l’annuncio è 0.8 e che la probabilità che la
vendita si realizzi con successo, posto che l’individuo abbia visto la
pubblicità, è 0.7, mentre la probabilità che la vendita si realizzi, posto
che il soggetto non abbia visto l’annuncio, è pari a 0.3.
Si calcoli la probabilità che un acquirente scelto a caso effettui
l’acquisto
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Introduzione
Esercizio
S={evento il cliente ha visto l’annuncio pubblicitario}
A={evento il cliente ha effettuato l’acquisto}
P(S) = 0.8
P(A|S) = 0.7
P(S) = 0.2
P(A|S) = 0.3
P(A) = P(A ∩ S) + P(A ∩ S) = P(S) ∗ P(A|S) + P(S) ∗ P(A|S) =
= 0.8 ∗ 0.7 + 0.2 ∗ 0.3 = 0.62
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Esercizio
Un’inchiesta sulla popolazione di una certa città ha fornito i seguenti
dati: il 10% della popolazione è ricco, il 5% è famoso e il 3% è ricco e
famoso.
Per una persona scelta a caso da suddetta popolazione:
1
qual è la probabilità che la persona non sia ricca?
2
qual è la probabilità che sia ricca ma non famosa?
3
qual è la probabilità che sia ricca o famosa?
4
se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa sia anche
ricca?
5
se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa non sia
ricca?
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Esercizio
F = {la persona e0 famosa}
R = {la persona e0 ricca}
F c = {la persona non e0 famosa}
R c = {la persona non e0 ricca}
Allora i dati del problema si traducono in:
P(R) = 0.10
P(F ) = 0.05
P(R ∩ F ) = 0.03
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Esercizio
1
qual è la probabilità che la persona non sia ricca?
P(R c ) = 1 − P(R) = 1 − 0.10 = 0.90
2
qual è la probabilità che sia ricca ma non famosa?
P(R ∩ F c ) = P(R) − P(R ∩ F ) = 0.10 − 0.03 = 0.07
3
qual è la probabilità che sia ricca o famosa?
P(R∪F ) = P(R)+P(F )−P(R∩F ) = 0.10+0.05−0.03 = 0.12
4
se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa sia anche
ricca?
P(R ∩ F )
0.03
P(R|F ) =
=
= 0.6
P(F )
0.05
5
se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa non sia
ricca?
P(R c |F ) = 1 − P(R|F ) = 1 − 0.6 = 0.4
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Esercizio
Osserviamo che le probabilità totali possono essere inserite in una
matrice in cui la somma estesa a tutti i suoi elementi è pari a 1:
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Esercizio
1) qual è la probabilità che la persona non sia ricca?
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Esercizio
2) qual è la probabilità che la persona sia ricca ma non famosa?
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Esercizio
3) qual è la probabilità che la persona sia ricca o famosa?
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Esercizio
4) se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa sia anche
ricca?
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Esercizio
5) se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa non sia
ricca?
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