Cinematica

Esercizio 1
Fisica Generale L-A
a ( t ) = kt 2 , con k =
2. Esercizi di Cinematica
http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/galli/stuff/
trasparenze/AE02-Cinematica.pdf
Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una guida
rettilinea.
Al tempo t = 0 il punto materiale si trova in quiete.
Il punto materiale accelera con accelerazione:
Trovare la velocità istantanea raggiunta e lo spazio percorso
dopo:
2ξ + 1
s
100
ξ = 775
.
17/01/2005
Esercizio 1 (II)
t
v ( t ) = a ( t ′ ) dt ′ = kt ′2 dt ′ =
∫
∫
0
0
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 2
Domenico Galli
Esercizio 1 (III)
La velocità raggiunta si trova integrando l’accelerazione:
t
ξ +1
m s4
1000

k

t′
3
3
t


0
3
t
=k
3
Lo spazio percorsot si trova integrando la velocità:
t
4 t
 t′ 
t ′3
t4
⌠
′
′
′
s ( t ) = ∫ v ( t ) dt =  k dt =  k  = k
12
⌡0 3
 12  0
0
Da cui:3
t
15.513
= 0.776
= 965 m s
3
3
15.514
t4
s = k = 0.776
= 3740 m
12
12
v=k
Nel nostro caso:
ξ +1
775 + 1
m s4 =
m s 4 = 0.776 m s 4
1000
1000
2ξ + 1
2 × 775 + 1
t=
s=
s = 15.51s
100
100
k=
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 3
Domenico Galli
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 4
Domenico Galli
Esercizio 2
Esercizio 2 (II)
Un punto materiale è vincolato a una guida circolare di raggio
r = 3 m, su cui può scorrere senza attrito.
Esso si muove secondo la legge oraria
s
 at = 
s 2

=
a
n


r
s ( t ) = kt 3
con
k=
ξ +1
200
m/s 3
Calcolare la componente tangenziale e la componente normale
dell’accelerazione dopo 1 s.
ξ = 384.
r
ξ +1
200
m/s 3 = 1.925 m/s3
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 6
Domenico Galli
Esercizio 3
Avremo perciò:
 at ( t ) = s ( t ) = 6kt

s 2 ( t ) 9k 2t 4

=
=
a
t
 n( )

Troviamo le derivate di s:
s ( t ) = kt 3
s ( t ) = 3kt 2
s ( t ) = 6kt
Nel nostro caso:
k=
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 5
Domenico Galli
Esercizio 2 (III)
Le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione si
scrivono:
r
 at ( t ) = 6 × 1.925 × 1 = 11.6 m s


9 × 1.9252 × 14
= 11.1m s 2
 an ( t ) =
3

2
Un punto materiale viene lanciato dalla superficie terrestre con
velocità v0 = 100 m/s, a un angolo di θ = 1009 ξ ° rispetto alla
verticale.
Calcolare il raggio di curvatura del punto materiale subito dopo il
lancio.
ξ = 239.
θ
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 7
Domenico Galli
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 8
Domenico Galli
v0
Esercizio 3 (II)
Come per tutti i corpi liberi in prossimità della superficie
terrestre, l’accelerazione ha modulo g = 9.81 m/s2 ed è diretta
lungo la verticale, verso il centro della terra (vedi figura).
L’accelerazione si può pertanto scomporre in due componenti
ortogonali: la componente tangenziale at, con la stessa direzione
della velocità e la componente normale an, con direzione
perpendicolare alla velocità.
La componente normale è legata al raggio di curvatura dalla
relazione:
an =
v2
ρ
θ
Conoscendo an si può quindi calcolare
il raggio di curvatura.
at = g cos θ
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 9
Domenico Galli
θ
an
100 × 100
= 2780 m
3.60
=
θ
at = g cos θ
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 10
Domenico Galli
a=g
Il modulo dell’accelerazione è costante: a = 2k.
Il modulo dell’accelerazione cresce con il tempo, secondo la legge:
a = stˆ +
s 2
ρ
an = g sin θ
θ
a=g
nˆ
Essendo i versori n̂ e tˆperpendicolari tra loro, si ha:

s 2

ρ
a 2 = a i a =  stˆ +
=s +
2
s
4
 
s 2
 
ρ
nˆ  i  stˆ +

ρ
nˆ  = s 2 tˆ i tˆ +

1
s 4
2
nˆ i nˆ + 2
s
1
ρ2
s 2
ρ
nˆ i tˆ =
0
Da questa relazione possiamo ricavare il raggio di curvatura:
a 2 − s2 =
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 11
Domenico Galli
v0
Esercizio 4 (II)
Nella sua espressione intrinseca, l’accelerazione si può scrivere
come:
4
t
 , con T = 7 s
T
 
v2
Trovare il raggio di curvatura della traiettoria nei due seguenti
casi:

ρ=
an = g sin θ
Un punto materiale si muove in un piano seguendo la legge oraria:
a ( t ) = 2k 1 + 
an = g sin θ = 9.81× sin ( 21.51° ) = 3.60 m s 2
s ( t ) = kt 2 , con k = 0.25 m s 2
9
9
θ = 100
ξ ° = 100
239° = 21.51°
v0
Esercizio 4
Esercizio 3 (III)
Nel nostro caso abbiamo:
s 4
ρ
2
⇒
ρ=
s 2
a 2 − s2
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 12
Domenico Galli
Esercizio 4 (III)
Nel nostro esercizio, abbiamo:
s ( t ) = kt 2 , con k = 0.25 m s 2
Esercizio 4 (IV)
Nel secondo caso il modulo dell’accelerazione aumenta col tempo
secondo la legge:
s ( t ) = 2kt
s
( t ) = 2k
ρ=
a 2 − s2
=
4k 2 t 2
Avremo:
ρ=
a 2 − 4k 2
Nel primo caso l’accelerazione è costante (a = 2k) e avremo:
ρ=
s2
4
t
 , con T = 7 s
T
 

a ( t ) = 2k 1 + 
4k 2 t 2
a 2 − 4k 2

→∞
a→2 k
4 k 2t 2
a 2 − 4k 2
ρ = 2kT 2 = 2 × 0.25
m
s
2
t
T





−

4k 2
4k 2 t 2
t2
2k 2
T
= 2kT 2 ≡ cost
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 14
Domenico Galli
Esercizio 5
Un punto materiale si muove in un piano.
A partire da un certo istante i moduli della velocità e
dell’accelerazione diminuiscono con il tempo secondo le leggi:
v (t ) =
49 s 2 = 24.5 m
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 15
Domenico Galli

4k 2  1 + 
4
=
Poiché il raggio di curvatura è costante, la traiettoria è
circolare.
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 13
Domenico Galli
k = 0.25 m s 2
T = 7s
4k 2 t 2

Poiché raggio di curvatura è infinito, la traiettoria è rettilinea.
Esercizio 4 (V)
Il raggio di curvatura è dato da:
=
L
kL
, a (t ) =
2
t +T
(t + T )
Trovare:
la legge oraria.
la forma della traiettoria per tutti i valori ammissibili di
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 16
Domenico Galli
k.
Esercizio 5 (II)
Troviamo innanzitutto la legge oraria:
s ( t ) = v ( t ) =
Esercizio 5 (III)
Troviamo ora la traiettoria. Ricordiamo dall’esercizio 4 che:
L
t +T
ρ=
t
s ( t ) = ∫ s ( t ′ ) dt ′ = ⌠

t
L
0
 t +T 
=
 T 
= L ln 

s ( t ) = L ln  1 +

t
T
dt ′ =  L ln ( t ′ + T )  0 = L ln ( t + T ) − L ln T =
t
⌡0 t ′ + T

L ln 1 +

t
T






s 2
a 2 − s2
In questo esercizio:
L

 s ( t ) = v ( t ) = t + T


kL
a ( t ) =
2

(t + T )

ρ=
s2
a − s
2
2
=
s (t ) =
⇒ L2
(t + T )
2
2
k L
(t + T )
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 17
Domenico Galli
Esercizio 5 (IV)
ρ=
k 2 −1
⇒
Come si vede, per k ∈ ]−1,1[
k 2 − 1 < 0 il raggio di curvatura
risulterebbe immaginario, per cui non si ha né una traiettoria, né
un moto reale.
Per k = ±1 si ha:
ρ=
L
L
k 2 −1

→∞
k →±1
il raggio di curvatura è infinito, e la traiettoria è rettilinea.
Per k ∉ ]−1,1[ il raggio di curvatura è costante e finito e la
traiettoria è circolare.
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 19
Domenico Galli
dv
L
=−
2
dt
(t + T )
4
+
2
=
2
L
(t + T )
L
k 2 −1
4
Fisica Generale L-A. 2. Esercizi di cinematica. 18
Domenico Galli