Cap.4
gas di Fermi
un sistema di fermioni deve ubbidire al Principio di Esclusione di Pauli: 2 particelle non
possono avere lo stesso stato quantico
descriviamo il sistema nello spazio delle fasi, interviene anche il Principio di
Indeterminazione di Heisemberg, il prodotto delle incertezze su posizione e momento
deve essere maggiore di h: ∆x∆px > h
3
ogni cella di volume ∆V = ∆x∆y∆z∆px ∆py ∆pz = h
può contenere al più s particelle, s essendo il numero di stati di spin (s=2 per elettroni,
protoni, neutroni)
∆px
∆x
gas di Fermi
pF
per una distribuzione sferica di particelle compresa
entro un raggio massimo R ed un momento
massimo pF il numero di particelle sarà:
N =s
la densità di particelle è:
N
4π ! pF "3
n = 4π 3 = s
3
h
3 R
il momento massimo della
distribuzione si chiama momento
di Fermi e cresce con la densità:
"1/3
!
pF =
4π 3 4π 3 1
R
p
3
3 F h3
3 n
4π s
∆x/2
∆x
h
∆px
2∆px
gas di Fermi
1
p2F
=
EF =
2m
2m
!
3 n
4π s
"2/3
l’energia di Fermi è anch’essa
funzione crescente della densità
h2
! pF p2
2
4πp
dp
1 p5F /5
3
3 p2F
0! 2m
=
=
EF
=
E=
pF
3 /3
2
2m
p
5
2m
5
4πp dp
F
0
se tutti i fermioni occupano stati con energia <EF il gas si dice degenere e si ha la
pressione di degenerazione:
energia per
unità di volume
%
&2/3
!"#$
3
2
1
pd = nE =
h2 n5/3
3
5m 4πs
γ−1
gas di Fermi
queste particelle seguono la statistica di
Fermi-Dirac, descritta dalla distribuzione:
fF (E, T ) =
la degenerazione degli elettroni si instaura
quando questi non sono abbastanza caldi da
occupare gli stati con momento maggiore
1
e
E−EF
kT
+1
ad alte densità EF e pF sono alti e il
comportamento è come per T~0
vita e morte delle stelle normali
Teorema del Viriale
kT !
1 GM mp
10 R
la stella è calda per sostenersi
c’è un flusso di energia continuo
dalla stella all’Universo
CALDO
FREDDO
non è possibile perciò l’equilibrio
termodinamico con l’Universo
ma: le sorgenti di energia nucleare prima o poi terminano (
η ∗ M c2 ) e la stella muore
che cosa resta? ci sono 4 possibilità:
1) non resta niente, c’è un’esplosione totale e la dispersione della stella nel mezzo interstellare
vittoria della
Termodinamica
2) la stella espelle il suo inviluppo come Nebulosa Planetaria e il nucleo di Carbonio e
Ossigeno forma una Nana Bianca che si sostiene attraverso la pressione degli elettroni
degeneri e poi si raffredda tendendo all’equilibrio termodinamico con l’ambiente
pareggio
3) il nucleo di Ferro di una stella di grande massa collassa in una Stella di Neutroni che si
sostiene attraverso la pressione dei neutroni degeneri e come prima può raffreddarsi
4) se tale nucleo ha massa troppo grande. anche la pressione dei neutroni degeneri può
risultare insufficiente e la stella collassa in un Black Hole
pareggio
vittoria
della Gravità
pressione degli elettroni degeneri
1
pd =
5me
!
3
8π
"2/3
h2 n5/3
non dipende dalla Temperatura
(è grande anche se la stella è relativamente fredda)
confrontata con la pressione ordinaria p=2nkT
diviene importante quando è grande il
rapporto n5/3 /nkT
!
n ≥ nQ =
cioè quando
(fattore 2 per la presenza di elettroni e protoni)
2πme kT
h2
"3/2
(densità degli stati quantici)
anche per temperature relativamente alte gli elettroni
sono degeneri se la densità è sufficientemente alta
piano
ρ−T
equilibrio idrostatico:
GM ρ
dp
=− 2 ⇒
dr
r
equazione di stato:
T ∝
M
ρ
R
p ∝ ρT
p∼
}⇒
p
M
M
2/3 1/3
∼
M
ρ
∼
∼
ρ
R
(M/ρ)1/3
condizione di degenerazione:
2/3
Tdeg ∝ nQ ∝ ρ2/3
una stella non degenere che ha esaurito il combustibile
nucleare si contrae lungo un percorso ρ1/3
ρ1/3
necessariamente prima o poi incontra il limite di
degenerazione
ρ2/3
a questo punto la perdita di energia non provoca
ulteriore contrazione perché la stella è sostenuta dagli
elettroni degeneri; l’evoluzione prosegue con un
raffreddamento a densità costante
massa minima di una stella
l’intersezione fra le 2 rette (nel piano log-log) ρ1/3 e ρ2/3
dipende dal valore di M. La Temperatura corrispondente può essere insufficiente
∼
per accendere reazioni nucleari, questo succede per
M < 0.1M"
l’oggetto così formato si chiama nana bruna, si sostiene con la pressione degli
elettroni degeneri ma non genera energia e non è una stella; il percorso evolutivo
in tal caso proviene direttamente dal collasso di una nube protostellare
massa massima di una stella
LE = 1.3 1038 M/M!
dalla Luminosità di Eddington
LE
M
= 3.4 104
L!
M!
L
!
L!
e dalla relazione M-L
si trova
!
M
M!
"2.2
!
M
M!
log L
oppure
"3.2
LEdd
! 3.4 104
MM ax ! (3.4 104 )1/2.2 ≈ 100M!
log M
relazione massa-raggio per le nane bianche
equilibrio idrostatico:
pressione di
degenerazione:
M2
p∼ 4
R
M 5/3
5/3
∼ (ρ/mp )
∝
R5
GM ρ
dp
=− 2 ⇒
dr
r
5/3
pd ∝ n
}
⇒ R ∝ M −1/3
R ! 9 108 (M/M! )−1/3 cm
al crescere di M diminuisce R e cresce la densità
per data M le Nane Bianche sono dinamicamente stabili
raffreddandosi tendono all’equilibrio termodinamico con l’ambiente
R = cost,
tempo di
raffreddamento
p.es.:
T ↓,
L = 4πR2 σTe4 ↓
tW D =
M = 1M! ,
2·
3 M
2 mp kT
L
5
∝ T −3
T = 10 K → L " 14L! ,
tW D " 7000 yr
T = 104 K → tW D " 7 106 yr
caso relativistico
se ne è molto alta, pF diventa relativistico:
EF ! me c2
!
E = c p2 + m2e c2 ! pc
(cf. caso classico: p2/2m)
p ! me c ≈ 9 10−28 · 3 1010 # 3 10−17 g cm/s
"1/3
!
8π ! pF "3
3
n=
! 1030 cm−3
n
pF =
h
3
h
8π
ρ ! mp n ! 1.6 106 g/cm3
! pF
p 4πp2 dp
p4F /4
3
0
=
=
pF
p = ! pF
3 /3
2 dp
p
4
4πp
F
0
pressione di degenerazione:
pd,rel
"1/3
!
3
8π
}
⇒
1
1 3
c
= nE = n cpF =
3
3 4
4
hn4/3
massa limite di Chandrasekhar
consideriamo nuovamente l’equilibrio idrostatico:
M2
p∼ 4
R
4/3
pd,rel ∝ ρ4/3 ∼
M
R4
p
∝ M 2/3
pd
il rapporto non dipende dal raggio, ma solo dalla massa
se la massa è troppo grande, la pressione di degenerazione
non basta per sostenere la stella, che allora collassa
si trova:
per Z/A=0.5 si ottiene
Mch
Mch ! 1.46M!
"3/2
! "2 !
hc
Z
= 0.20
mp
A
Gm2p
neutronizzazione
il neutrone libero in condizioni ordinarie decade spontaneamente in
n → p + e− + ν̄
in condizioni di alta densità ( ρ
per superare la soglia
τ ∼ 900 s
decadimento beta
! 107 g/cm3 ) l’energia di Fermi degli elettroni è sufficiente
∆E = (mN − mp − me )c2 " 0.79 MeV
[
e diventa attivo il processo beta inverso
p + e− → n + ν
mN = 1.6749 · 10−24 g ! 939.6 MeV
mp = 1.6726 · 10−24 g ! 938.3 MeV
me = 9.1 · 10−28 g ! 0.511 MeV
cattura elettronica
(Z, A) + e− → (Z − 1, A) + ν
il decadimento beta avviene anch’esso in parte, ma bastano pochi decadimenti (~0.5% dei neutroni)
per saturare i livelli energetici disponibili per gli elettroni e i rimanenti neutroni non decadono.
8
3
quando ρ ! 3 10 g/cm l’energia è sufficiente per vincere anche l’energia di legame
~6.5 MeV/nucleone e liberare i neutroni, che poi, fra 1011e 1014 g/cm3, vanno a formare un
fluido di neutroni
interno di una stella di neutroni
pressione dei neutroni degeneri
caso non relativistico: E=p2/2m
EF (neutroni) !
1
EF (elettroni)
1800
se la densità è abbastanza alta anche il gas di neutroni è degenere
1
pd =
5mN
!
3
8π
oppure si ha il caso relativistico se
pd,rel
c
=
4
!
"2/3
h2 n5/3
ρ > 2.5 1014 g/cm3
3
8π
"1/3
(EF > mN c2 )
hn4/3
valgono considerazioni simili al limite di Chandrasekhar, ma l’equazione di stato in queste
condizioni estreme non è ben nota. il collasso si arresta se la massa non supera un valore
critico, il limite di Oppenheimer-Volkoff, fra 2 e 3 masse solari. il valore preciso non si
conosce ma si assume M ≈ 2.5M!
se il limite non è superato si forma una Stella di Neutroni, sostenuta per l’appunto dalla
pressione di degenerazione dei neutroni
Stelle di Neutroni
ci aspettiamo
<
M ∼ 2.5M!
ρ ≈ 1014 g/cm3
inoltre, come per le Nane Bianche, si trova la relazione massa-raggio
WD
(Nane Bianche: White Dwarfs)
R = 0.114
NS
h2
5/3
Gme mp
! "5/3
Z
M −1/3 ! 9 108 (M/M" )−1/3 cm
A
(Stelle di Neutroni: Neutron Stars)
R = 0.114
h2
8/3
Gmp
M −1/3 ! 1.5 106 (M/M" )−1/3 cm
Geminga
Stelle di Neutroni
le Stelle di Neutroni sono molto calde (T~106K) e hanno il
massimo dell’emissione termica nella banda X (kT< ~1 keV).
sono state osservate in anni recenti.
Cassiopeia A
esempio: T=106 K
E(keV) = hν = 2.8 kT =
2.8 × 1.4 · 10−16 × 106
=
1.6 · 10−9
� 0.25 keV
5x105 K
2x106 K: hot spot
molto prima (1967-68) sono state scoperte come Pulsar, radiosorgenti pulsanti.
le Pulsar si formano grazie al fatto che il collasso amplifica sia la rotazione sia il campo magnetico
[J = Iω = cost ∝ R2 ω]
[Φ(B) = πR2 B = cost]
ω ∝ R−2
B ∝ R−2
Brief Article
Author
Brief Article BriefThe
Article
Pulsars
B
Brief
Article
November 17, 2005
la più nota e meglio studiata è la Crab Pulsar (Pulsar della Nebulosa del Granchio)
The Author
segnali radio periodici con periodo
molto breve: P = 0.033 s
The Author
Ė � 2.4 1038
November 17, 2005 The Author
erg/s
November 17, 2005
essa è immersa in un SNR
→(Crab Nebula) anche molto studiatoNovember 17,
38
Ė � 2.4 10 erg/s
Ė � 2.4 1038 erg/s
dati:
38
L � 2 10
erg/s
→
Ė � 2.4 1038 erg/s
a) cinematica della espansione (accelerata)
γ = 102 − 107
L � 2 1038 erg/s
Ė �→2.4 1038 erg/s
2005
Ė � 2.4 1038 erg/s
L � 2 1038 erg/s
= 0.1
−
GeV
γ=
− oltre che diErighe,
b)
emissione,
di continuo
con forte polarizzazione lineare → radiazione di
38
sincrotrone L � 2 10 erg/s generata da elettroni con γ = 102 − 107 ed
E = 0.1 − 104 GeV in B � 10−3 Gauss
102
107
104
→
problema: ci deve essere una sorgente attuale di energia: da dove proviene?
soluzione: dalla Pulsar !
N
= 2102 −
10
7
γ =γγ10
= 10−
−10
107
E
B � 10−3 Gauss
GeV
→ E = 0.1 −
B � 10−3 Gauss
4
E = 0.1 − 104 GeV ∆P � 0
E=
E 0.1
= 0.1
104 GeV
GeV
=
−38−10
L � 2 10
erg/s
∆P � 0
−3
B � 10 Gauss
periodiB �
10−3
104
Gauss
∆P
P
B � 10−3 Gauss
E = 0.1 − 10 GeV
E =4 0.1 − 104 GeV
0.1 − 10 GeV
−3
B � 10
B�
10−3
2 − 107
∆P
γ = 10−3
B � 10−3 Gauss
B
�
10
Gauss
3
P
oggi sono note circa 10 Pulsars, ma ∆P
la lista si allunga
ogni anno. almeno una fa
∆P � 0
∆P
� 00�
� 10−13 − 10−16
∆P
0
P
4
∆P
�
parte di un
sistema
binario.
E = 0.1 − 10 GeV
∆P
−13
−16
∆P ∆P
� 0 −3
∆P
P
� 10
√1
− 10
∆P � 0
Gauss
Gauss
∆P � 0
∆P
periodi: P
fraz
ms - ~ 5 s P � Gρ
B PP~
�∆P
10 di
Gauss
P
∆P
P � √1Gρ
P
P
∆P ∆P
∆P
−13 − 10−16
−16
GM
R
GM
∆P
−13
∆P
�
10
a
=
−
⇒
�
�
10
−
10
∆P
�
0
in molte
nei
limiti
osservativi,
ma
in
altre
è
misurabile:
� 10−13 − 10−16
2
2
2
R
τ
R
P P
P
∆P
−13 − 10
a −16
= − GM
⇒PτR2 � GM
R2
R2
�
10
∆P 1
−13
−16
P √11
1 √1
P
=
√
P
�
√
n
∆P � Gρ
−13
−16
P
�
n Gρ
P
in allungamento
Gρ − 10
Gρ
P � 10
Pn = n1 √1Gρ
1
√
P così
�GM2brevi
RR
GM
2 ≤ GM
GM
ωR
a
⇒
periodi regolari
si possono
dal moto di
2
2 �
2ottenere
Gρ
a=
=−
− GM
⇒
�
R
τ
R
Rsolo
1 ⇒ τR2 � GM
2
2
2
a = − GM
R
τ
R 2
√
R2
R2
ωR ≤ GM
in
entrambi
i
casi:
un corpo compatto in pulsazione o rotazione,
2
R
Gρ
� 10
− 10
P �
1 √1
P
1 GM
n =
n1 √Gρ
P
=
n
pulsazione: a =n −Gρ 2
R
GMGM
2
ωR 22 ≤ GM
R2
rotazione:
6 g/cm3 )
(ρ
R � 10 GM
anche Pn = n1 √1Gρ
6 g/cm
3)
⇒ (ρ
�
2
2
�
10
τ
R
ma con energia ridotta
(ρ � 1014 g/cm3 )
14 g/cm
altrimenti
ma3 )la rotazione può essere minore
ω R≤ ≤R2 2
ωR
(ρ � si
10spacca,
R
1
P �√
�4s
(ρ � 1066 g/cm33)
6.6 101−8 ·106
√
WD (ρ � 10 g/cm )
P �
�4s
troppo lunghi
−8
6
NS (ρ �
1014
g/cm3 )
P �
P �
6.6 10 ·10
1
� 0.4 ms
6.6 101−8 ·1014
√
� 0.4 ms
6.6 10−8 ·1014
collasso con J=cost
→ PN S
1
1
1
J
ω = ∝ 1R−2
I
J = Iω = cost
Sole: 27 giorni
OK
√
1
P! = 27 × 86400 " 2.5 106 s
!
"2
106
2.5 106 < −3
= P!
"
∼ 10 s
7 1010
5 109
1
1
allo stesso modo:
Erot
1 2
1 J2
= Iω =
∝ R−2
2
2 I
10
aumenta ~10 nel collasso
si osserva un rallentamento della Crab Pulsar: perdita di energia rotazionale
d
dt
!
1 2
Iω
2
"
1 d
= 4π I
P dt
d
dt
!
1 2
Iω
2
"
! 40 × 1045 ×
2
!
1
P
"
= −4π 2 I
1 dP
P 3 dt
(ω = 2π/P )
1
× 4 10−13 ! 5 1038 erg/s
3
(1/30)
in grado di spiegare l’energetica della Crab Nebula:
2.4 1038 erg/s
+2 1038 erg/s
accelerazione
emissione
meccanismo
come si sottrae Erot dalla Stella di Neutroni per riversarla nella Crab Nebula?
il materiale stellare è buon conduttore, allora: Φ(B) ! BR2 = cost
durante il collasso
9 10
viene amplificato di 10 -10
B ∝ R−2
12
B! !m102rotante
Gauss=
Gauss
S ∼ 10
�→
2mBN
oscillanti
m⊥ irotante =
� 2mi oscillanti
⊥
NS rotante e magnetizzata
m⊥ rotante =
� 2mi oscillanti
m
rotante
=
�
2m
i oscillanti
⊥
c
c
8
8
� 10 cm
r> =
r > � 10 cm
m⊥ rotante
ω� 2mi oscillanti
ω
J
m⊥ rotante =
� 2mi oscillanti
c
m soluzione di Hertz di dipolo magnetico
r c> � 108 cm
ω 8
10 cm
r> �
2p cos θ
2pωcos θ
Er =
E =
c r3 8 r
r3
a distanza r >
2p cos θ
� 10 cm
Er =
m⊥ rotante
=
� 2mi oscillanti
ω
2p cosrθ3
le linee di forza di B psarebbero
trascinate
=
E
rp sina θvelocità
sin θ
3
E
=
θ velocità
> c (cilindro della
sir
θ = Invece
3
r3 dellaEluce).
r
aprono e dànno luogo ad un’onda elettromagnetica
p sin θ
c ampiezza,
8 che
E
=
di bassa frequenza er grande
può
θ
> � 10 cm p sin rθ3
accelerare
ad alte energie
Br = 0
=
� 2mparticelle
Br = 0 m⊥ rotante
i oscillanti ω
Eθ =
Bθ = 0
r3
B
=
0
θ
r =0
Bφ = rcp̈2 sin θBφ = p̈2Bsin
θ
rc B = 0
θ
2p cos θ
Br = 0
c
p̈
Er =
Bφ = rc
r 2>sin θ� 108 cm
r3
Bθ = 0
ω
oscillatore
diθ Hertz
Er = 0
Bφ0 = rcp̈2 sin
Er =
p̈
Eθ = rc2 sin θE = p̈ sin θ
θ
2
rc
dipolo
elettrico
Er = 0
Eφ = 0
2p cos θ
p sin θ
E
=
0
a)φp=cost Eθ = p̈2Esin
Eθ =
r =θ
3
rc
Br = 0
r
r3
Er =E0φ = 0
Bθ = 0
Eθ = rcp̈2 sin θ
{
b) p(t) oscillatore di Hertz
Bφ = rcp̈2 sin θ
{
Eφ = 0
p sin θ
Eθ =
{
r3
∝ 1/r
Er = 0
Br = ∝
0 1/r {
Bθ = 0
Eθ = rcp̈2 sin θ
∝
1/r
Bφ = rcp̈2 sin θ
Eφ = 0
{
{
�
�
�
c c p̈ 2 2c ∝�1/r
c
p̈ 2 2
radiativi
E × BS== campi
sin
θ
r̂
S=
2 B=
θ r̂
�sin �
4π
4π4π Erc×
p̈ 2 2
c 4π rc2c
×B=
sin θ r̂
SE
=r = E
4π 0p̈
4π rc2
E = rc2 sin θ
2 p̈2 θ
2 p̈2
W =Larmor:
E
=
0
φ
3
W
=
3c
3 c3
dipolo magnetico
E → B,
W =
2
, p2 →
m 4
B → E, S2 m̈
invariato
2
W =
(m
sin
θ
ω
)
∝
ω
3 c3
2 m̈2
(m sin θ ω 2 )2 ∝ ω 4
m⊥ rotante
r>
c
ω
Er =
Eθ =
ω̇ = −
= − invariato
m ω =−
ω
1 2= −2 4⊥ dt 2mω̇⊥ =3 −
1 2 m̈
3 E, SIω
3 ⊥
3
E
→ B,
Bc�
→
�
3
3= −
=
−
m
ω
ω
Iω
3
3c
3Ic
dE
ω
3Ic
⊥
rot
2
3
Iω 3 c3
Iω 3c3 E → B, B
3Ic1→
2m⊥= Iω ω̇
1
E,1 S invariato
−
= − dt 3 t
−
2 2 ω2
2
ω
3Ic
o
dωrot 2 2m
�energia �rotazionale
2
⊥
dE
perdita di
della
Pulsar
2dt
m̈
21
2m
1 1
=−
dω 2 2 2m24
=
ω̇ =3 3 (m sin θ ω ) ∝ ω⊥
⊥ IωW
2m
dω
3
−
− ⊥ 2dt =ω−
t 3Ic
=−
dt
dt
=
−
3 c
2
3
2
3
23
ω3rot
32 ω 3Ic
3Ic
o 2 m̈ 3Ic2 1
dE
ω
2m2⊥ 3
1
1
2
2
2 m̈
2ω
4
2 4
potenza irraggiata:
W = = Iω
=
(m
sin
θ
ω
)
∝
ω
ω̇
ω̇
=
−
=
−
m
ω
=
−
ω
3 c3
ωIω=3ωco3
dt 3 c3
Iω 3c3 ⊥
3Ic3
1
dErot
� viene sottratta
� 2 m̈2�
tale potenza
alla 2energia
rotazionale:
Erot2m
= 2⊥Iω32
�
�
1
1
2
�
= Iω ω̇
2
4
1 ω̇1 = −1 ω = ω2m
2
2
m⊥ ω = 2m
−
o=1
⊥−
2m
1 13 ω 1
dt 2⊥
1
1
3
3
−
=
−
−
t
⊥ −
2 3 c
3 Iω 3c
=−
t
1=
2 − 3Ic
2 1ω 22 m̈ω2Iω
2t
2
2 3Ic3
2m2−
o − 1 3Ic
22 −
Iω
=
ω
ω
2Erot
4 2
3 1
⊥ 2
�
�
2m
dω
3
o
ω̇ = −
= −2 ω3 m⊥ ωω=
− 1 3 ω3Ic
ω̇= − ⊥3 dt
1
o1 2 3Ic
Iω 3 c3�
Iω 3c
3
2
ω 1 t2 m̈3Ic
�
−
− 2 =
2m2⊥
1 2 2 4
3
1 1
1 dω ω̇ 2m22 ω 2
ω
ω
ω̇
=
−
=
−
m
ω
=
−
ω
o
1 dt
3
3 ⊥
3
t ⊥
ω =variabili:
ω
separazione−
delle
Iω
3
c
Iω
3c
3Ic
o− 2 == −
2
3
2 ω
ωo ω 3 ω 3Ic3
� ω = ωo�
2m2⊥
dω
2m2⊥
1 1� 1
= t=0
− dove
dtω = ω�
integriamo
fra
3
3
o
�
�
−
=
−
−
t
3Ic
22
�ω �generico
�attuale ω
�e il tempo
2 ω dω 3Ic2m
3 2
�
�
t,
ω
2
ω
ω
2
�
�
<
o
1 1ω 1
2
= − ⊥3 dt
ω 2m
ωω̇1 t t =
<
1
−
∼
−
−
�
�
1
1
3
=
−
−
t 2= −ω 2 ω12−
3 − ∼ −2
=ω̇− ⊥ t ω1o 1
ωo�
1 2ω̇ω ω̇ 3Ic
sostituendo
2ω̇� o− dall’equazione
2
2 ωω
ωo2 22 ω̇ 3Ic3 −
− 2 = 3t
2
precedente
2m⊥ �
1 1 possiamo
1 � riscrivere
2
ω
ωo
ω
−
− 2 =−
t
�
�
2
3
ω
=
ω
�1
� 2 �ω � ω
ω̇
1 3Ic 1
2m2⊥
1 o1
1
2 o
ω2 − <2 ω −
ω
=
t
−
=
−
−
t
2�
2
3
2= ω seω 2 ω 2 �
3ω 2�
ω∼ −ω
1 − ωo � 2
t=−
2
ω
ω
3Ic
ω
o
ω
� �2
o o
o
2ω̇
ωo
2ω̇
ω
ω
<
ω
�1 −
� ∼−
t=−
= ωodella Crab Nebula
facciamo il conto per laωPulsar
ω̇ 2ω̇
2ω̇ 1 1 ωo1
=ω =
−
−con2il tempo
tωo
�ω�
da
confrontarsi
�
�
�
�
2
3passato
< �
� ω 2P� ω 21 10.033
2
ω
ω
ω
�
�
�
�
o
ω̇ 2 1 dall’esplosione
1 ω ��1 1200
t∼� �=o �
yr
P
0.033ω della SN osservata dagli
<10�−13
ω
ω∼
=
−
t
2ω̇
<
2Ṗ � 2−4.2
astronomi
cinesi:
anni
�
=
t
�2009-1054=955
1200 yr
2
2
3
�ωo
−13
∼−
t1 =1− 2 1 ω�� 21ω̇−
10�
ω̇ 2Ṗ ω 2 4.2
2
2
2ωω̇o ��ω 1 ��2 � 1 � ω̇
−
−2ω̇2 = 3 t ωo
2
�ω�
2
ω
ω
ω
ω 1 −< ω= t
ω
o
1 0.033 �
P
< �
−
�
�
2
3
1 − 2 ω 2 ∼ω−
t=−
�
t∼� �=
� 1200
� yr�2
o 2ω̇ ω
ωo
2ω̇
2 4.2 10−13
2Ṗ
ω 2ω̇
ω
ω
<
t=
� − � 1�−�
�∼ω−�2ω̇ P
spettro
2
2
ω̇
ω
1 0.033
o
<
� �
ω 2� �
ω
ω
< t ∼
� 1200
�2 �yr
�
�
ωo2∼
1−
− ω � 2ω̇ � =
t=−
−13
ω
ω
ω
4.2 10
<
2Ṗ t2=
2ω̇
ωo
2ω̇
2 − 2 1−
∼
−
spettro della Crab Nebula
ωo �2ωω̇
ωo
2ω̇
e spettro della radiazione
2
2
ωo � ω
pulsata
� ω �ωo2 � Pω2
1 0.033
� �
< �
�
ω2 � ω2
< � ω � � P12001 yr0.033o
�
t ∼ � � �� =
�
t ∼10� −13� =
� 1200 yr
P2Ṗ 1 20.033
ω�
−13
4.2
< 2
� ω̇
2
ω̇
2
4.2
10
2
Ṗ
�
t∼� �=
� 1200 yr
radiazione di� ω �
2ω̇ 1 2Ṗ0.0332 4.2 10−13
P
< �
�
sincrotrone:
�
t ∼ �per una
� 1200 yr
�=
2ω̇elettroni
2 4.2 10−13
2Ṗ
distribuzione di
a legge di potenza si
dimostra che l’emissione
è pure a legge di potenza
�ω�
1 0.033
P
� �
�
t∼� �=
� 1200 yr
2ω̇
2 4.2 10−13
2Ṗ
<
2
n(E) = E −p
→
I(ν) ∝ ν −α ; α =
p2 − 1
2
2
notare che la radiazione pulsata è energeticamente irrilevante <<dE/dt della Nebula,
ma è essenziale per segnalare la Pulsar e per misurare la sua dinamica (P, dP/dt)
2
t=−
ω
ωo
ω
1−
2ω̇
<
∼−
conclusioni
•
ωo2 � ω 2
ω
2ω̇
� �
�1 � 1 � 1 �
ω̇
t
ω
ω − 2 ω2 − ωωo2 2= ω<
3
1−
∼−
t=−
2ω̇
ωo
2ω̇
�
� �2 �
ω
ω
ω
<
una Stella di Neutroni rotante e magnetizzata
1 −molto bene∼la−fenomenologia:
t = − spiega
2ω̇ l’emissione
ωo del SNR 2ω̇
1) sorgente di energia per l’accelerazione e per
2
2
ω dopo l’esplosione di SN
ωo �
� esistenza
� ω 2)
di1 un 0.033
oggetto compatto resto del core
stellare
� etàPdel SNR
� 3)
della Pulsar
� e rallentamento
t∼� �=
� 1200
yr
2ω̇
2 4.2 10−13
2Ṗ
ωo2 � ω 2
<
asimmetria della magnetosfera rispetto all’asse di
• la radiazione pulsata richiede una
� �
•
rotazione, m e J formano un
1 0.033
P obliquo)
< angolo
� ω �(rotatore
�
=
t
∼
� 1200
�
�
�
�
2
7
1da parte
P
0.033
ω
< �
− 10
γ = 10
2ω̇
2
10−13
la radiazione
è non-termica,
emissione
di elettroni
2�� Ṗ
� 4.2
=
t ∼ � di sincrotrone
�
1200 yr
2ω̇
2 4.2 10−13
2Ṗ
relativistici
yr
al gamma, dovuta ad
• anche la radiazione del SNR è non-termica, estesa dal2 radio
77
2
elettroni relativistici
accelerati dalla Pulsar,
2
GM /R
10
= 10−−10
γ =γ 10
• la Crab nebula fornisce un ottimo esempio di come una sorgente cosmica possa
emettere energia elettromagnetica non derivata da processi stellari, ma
sostanzialmente derivata da energia gravitazionale GM 2 /R convertita in energia
rotazionale Iω 2 /2 durante il collasso e poi usata per accelerare elettroni
relativistici
Iω 2 /2
2
la scoperta delle Pulsar
2
Le Pulsar furono scoperte nel 1967 da Susan Bell, studentessa di dottorato presso il radiotelescopio
di Cambridge. La scoperta fruttò il Nobel nel 1974 a Martin Ryle, direttore del radiotelescopio, e
Antony Hewish, supervisore della Bell. La mancata inclusione della
2 Bell nel Nobel fu considerata
subito da molti come uno scandalo. Infatti in seguito fu riconosciuto che il merito
dell’interpretazione era dovuto in gran parte alla studentessa.
Hewish e Bell stavano investigando la scintillazione interplanetaria delle
radiosorgenti extragalattiche, un fenomeno dovuto alla diffrazione da
irregolarità nel plasma interplanetario e che causa piccole fluttuazioni
irregolari sulla scala temporale di qualche secondo.
Invece Bell trovò un segnale periodico con periodo ~1.3 s.
Hewish disse che a causa della brevità del periodo doveva
essere un segnale di origine umana. Il più breve periodo
stellare noto era infatti ~1/3 di giorno. Furono però escluse
sorgenti terrestri o segnali provocati da satelliti artificiali o
da riflessioni dalla Luna o da pianeti, infatti non c’era
evidenza di parallassi maggiori di ~100 secondi d’arco,
pertanto la distanza doveva essere maggiore di 1/100 di pc
~ 1000 AU.
Per qualche tempo si pensò alla possibilità di un segnale intelligente extraterrestre, che fu
battezzato LGM (little green men). Poi Bell trovò un’altro segnale con periodo diverso ~1.2 s e
concluse che questo escludeva la possibilità dei LGM, perché c’erano due diversi periodi da due
diverse posizioni. Perciò ovviamente doveva trattarsi di un qualche tipo di stella molto rapida.
Iω 2 /2
2GM
c2
Rs =
black holes
Se la massa supera il limite di Oppenheimer-Volkoff (∼ 2 − 3M⊙ ) , la gravità della Stella di
Neutroni non può più essere bilanciata dalla pressione2GM
di degenerazione
dei neutroni e il collasso
2GM
Rs =
Rs Hole.
=
continua indefinitamente fino a formare un Black
2 2GM
2
Rsc=
c
∼
1.5M
2GM
⊙
c2
2GM
2GM
R
=
2
s
Un Black Hole
caratterizzato dal Raggio
di Schwarzschild
2GM
Rs =
c2
Rsè =
c2
Rs =
c2
c2
2GM�Laplace∼l’aveva
Occorre la Relatività Generale per dimostrarlo ma già nel
introdotto in
∼ 1.5M 1800
⊙
1.5M1.5M
⊙
1 2 GM Rs = ⊙ 2 ∼2GM
termini newtoniani.
10
c
vf = ∼ 1.5M⊙⇒ vf c=
� 1.6 10 cm/s >
2
R
R
2
⊙ massa ∼ 1.5M e raggio ~15 km 2GM
Consideriamo∼
una1.5M
NS con
e calcoliamo
la velocità di fuga,
⊙
�
R
s =
�GM
velocità che deve avere un corpo per sfuggire 1al campo
gravitazionale
2 e raggiungere
c
2GM distanza 10
2
�
vf = �
⇒ c�
vf = 10
� 1.6
10 cm/s >
GM
c
1 2
2GM
infinita:
R
R >
2c
1 2 vfGM
1 ⇒ =GM
vf22GM
�
10> c cm/s
=
=∼ 1.5M
10 1.6 2GM
10
2GM
2GM
2GM
⊙
v�
⇒v 2 v=
� 1.6
10
cm/s
f
R
R
2
⇒
v
�
1.6
10
=
cm/s
>
f 2=
f
⇒ R2R
2
R
2 f 10 vRf =Rc = c R
R =s =c2 c2
2
GM
1 2
2GM
�
vf =
⇒ vf =
� 1.6 10 cm/s >
2
R
R
2 ∼ 1.5M⊙2GM
2GM
� c? �
In quali condizioni questa velocità di fuga diventa
⇒ R=
vf = c =
R
c2
2GM
� 2 2GM
GM
c
1 2
2GM
⇒ 2GM
=
v =c=
mvR�
/2
Proprio l’espressione
∼ cm/s
1.5M2GM
�
vf del
⇒ vf R=
1.6c21010
= Raggiof di Schwarzschild!
⊙>
R=
c massa
= Rm�è pari a c.⇒
f = di
2 la velocità
R di fuga
In queste condizioni
di un vcorpo
Può il ragionamento
2GM
2GM
22
R
c
R
=
= c =applicato ad un ⇒
vf essere
GM che anch’esso non2GM
c
1 per
fotone
concludere
supera la velocità di
fuga?
R
vf2 = c2
⇒ vf =
� 1.6 1010 cm/s >
No, per 2 ragioni:
2
R
R
2
�
� è1mv 2 /2GM
1) il fotone ha massa nulla e la sua energia non
ma hν
2GM
2) in questa situazione estrema non vale più la 2GM
gravitazione
Relatività Generale
vf2 = newtoniana
⇒2 ma2GM
vfla =
� 1.6 1010
R =/2 2
vf = c =
2 � ⇒
R mv
R
mv 2 /2
R
c
2GM
hν R
2GM
R=
c2
�
2GM
⇒
=
mv 2 /2vf = chν
R
vf = c =
hν
redshift gravitazionale
⇒
R=
2
/2
Tuttavia il risultato è giusto e corrisponde alla Soluzione dimv
Schwarzschild,
soluzione delle
equazioni del campo gravitazionale di Einstein per una configurazione a simmetria sferica.
Il Raggioλdi Schwarzschild
una superficie
sferica
ideale detta
1 non è un limite materiale ma indica
mv 2 /2
1
λ
�
=
hν
l’orizzonte degli eventi. Se il corpo ha raggio inferiore ad Rs, se
� è contenuto all’interno
= cioè
λo
1 − Rs /r
λ
1 − R /r
o
dell’orizzonte degli eventi, esso risulta invisibile, perché nessuna
hν informaziones può uscire
dall’interno dell’orizzonte. In particolare nessun fotone emesso in un punto interno
all’orizzonte
hν
hν degli�eventi può oltrepassare l’orizzonte stesso.
λ
= del
1−
Rs /rgravitazionale: un
Si ha il fenomeno
redshift
=
hνo
fotone emesso dalla coordinata radiale r>Rλoe
s
diretto radialmente subisce uno spostamento
verso il rosso quando emerge all’infinito:
ν→0
hν
�
1
� hν = 1 − Rs /r
1
λ 1 hν
−�
oRs /r
=
λo
1 − Rs /r
λ
�
λo
1
=�
1 − Rs /r
L’effetto è dovuto alla distorsione dello spazio-tempo
opera
campo
ν→
0 gravitazionale, ma a
= hνad
1−
Rsdel
/r
�
grande distanza dal Raggio di Schwarzschild
il campo è debole) può essere interpretato in
hν(dove
o
= 1 − Rs /r
termini di energia persa dal fotone per risalire la buca
hνodi potenziale:
�
λ→∞
Fotoni provenienti da r=R vengono redshiftati a
s
Rs =
2GM⊙ M
M
�
3
km
c2 M⊙
M⊙
ν→0
hν
=
hνo
e
1 − Rs /r
λ→∞
come previsto, questa lunghezza è solo poco
inferiore al raggio tipico di una Stella di Neutroni
λ→∞
3
cm/s
2GM
c2
Rs =
2GM⊙ M
M
�
3
km
c2 M⊙
M⊙
∼ 3 − 10M1⊙ 2 GM
v =
2 classi di black holes, forse
2 f3 R
{
BH stellari
BH supermassivi
⇒
�
∼ 3 − 10M⊙
�2
∼ 106 − 109 M⊙
Un BH non è visibile direttamente ma può essere rivelato dalla
radiazione emessa dalla materia che cade hν
su di esso, radiazione sia
termica
che
non-termica,
dovuta
alla
presenza
di particelle relativistiche
3
e di campi magnetici.
1
λ caduta (accrescimento)
Nel caso di BH stellari la materia in
può
=�
provenire da una stella compagna λino un sistema
binario.
Ma lo stesso
1−R
s /r
fenomeno può verificarsi per accrescimento su una NS e i due casi
possono essere distinti se è possibile determinare la massa dai
�
hν
parametri orbitali.
= 1 − Rs /r
hνo
Nel caso dei BH supermassivi la materia in accrescimento
ν→0
proviene dalle parti centrali della galassia ospite e va
normalmente a formare un disco di accrescimento.
c p̈
2
×B=
sin θ r̂
2
4π rc
black holes supermassivi
Quasar e Nuclei Galattici Attivi (AGN)
2 p̈2
3 c3
λ→∞
Rs =
2GM⊙ M
M
�3
km
2
c
M⊙
M⊙
∼ 3 − 10M⊙
•
•
sono sorgenti di energia di grande potenza poste al centro delle galassie
•
nuclei attivi e nuclei inattivi: ci sono evidenze che la durata della attività
<
sia relativamente breve oppure intermittente ∆t ∼ 108 yr � 1% Ho−1
infatti si ha ampia evidenza di nuclei inattivi contenenti un BH
•
AGN vicini e AGN lontani: per studiare gli AGN lontani (cioè
3 di alto
redshift) è necessario studiarne l’evoluzione nel tempo cosmico, in
sintonia con l’evoluzione dell’Universo
ci ritorneremo dopo
aver introdotto la cornice cosmologica
6 rilascio
derivano tale potenza da accrescimento su BH giganti
con
∼ 10
− 109 M⊙di
energia gravitazionale
B → E, S invariato
m̈2
2GM
c
� 1.6 1010 cm/s >
R
2
�
2GM
Quasar
e
Nuclei
Galattici⇒
AttiviR = 2GM
vf = c =
R
c2
si cercano anche BH di massa intermedia:
forse legati
alle6 cosiddette
X-ray Sources”
∼ 10
− 109 M“Ultraluminous
⊙
2
39
e in /2
(LX>10 erg/s) osservate in ammassi stellari densi mv
regioni di alta formazione
stellare
3
∝ 1/r
W=
vf =
�
