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Capitolo
Induzione magnetica
B
1. Autoinduzione
fem
La forza elettromotrice indotta rappresenta il lavoro per unità di carica svolto dalle forze
che generano la corrente indotta. Essa è legata alla variazione del flusso magnetico F concatenato al circuito in cui si produce la corrente indotta dalla relazione:
fem = -
dF
dt
L’autoinduzione è il particolare fenomeno di induzione che ha luogo quando il campo magnetico all’origine del flusso concatenato al circuito, è il campo prodotto dalla stessa
corrente del circuito. Quindi ogni volta che si fa variare la corrente in un circuito, varia il
corrispondente campo magnetico e di conseguenza varia il flusso magnetico concatenato
a quello stesso circuito. Tali variazioni producono la corrente autoindotta, che ha verso
opposto a quella che l’ha originata, in quanto essa stessa produce un campo magnetico, in
verso tale da compensare le variazioni che l’hanno generato. Quindi se ad esempio in una
spira in un piano orizzontale aumentiamo la corrente in senso antiorario, stiamo tentando
di aumentare il campo magnetico verso l’alto (regola della mano destra). Si produrrà nel
circuito, accanto alla corrente che noi inviamo, una corrente indotta, avente verso orario, il
cui campo magnetico indotto è diretto in basso, così da annullare l’aumento del flusso
magnetico verso l’alto. Questo processo non è però istantaneo ma governato da una legge
di tipo esponenziale, che ricaveremo.
Consideriamo il caso in cui nel circuito sia inserito un dispositivo con una geometria
realizzata in modo tale da produrre un campo magnetico molto inteso. Si tratta di un solenoide, cioè un avvolgimento a forma di elica. È possibile dimostrare che il campo magnetico di un solenoide ha al suo interno direzione rettilinea ed intensità:
N
|B | = m0 i
Dove N è il numero di avvolgimenti del solenoide ed lunghezza trasversale del
solenoide (quindi non quella del filo). Il simbolo i indica la corrente, con la lettera minuscola perché supponiamo che possa variare. Indichiamo con A la superficie di una spira
del solenoide, il flusso magnetico concatenato al solenoide, prodotto dal suo stesso campo
è il prodotto dell’area totale concatenata NA per il campo:
1
N 2A
F = NA |B | = m0
i = Li
Abbiamo indicato con L = m0N 2A/ la quantità che moltiplica la corrente, e che come si
vede dipende solo dalla geometria del solenoide. Essa viene detta induttanza del solenoide, si misura in volt per secondo diviso ampere, unità a cui si dà il nome di henry. Quindi
1H = 1V ⋅ s/A . Calcolando la forza elettromotrice indotta si ottiene allora:
fem = -
d(Li )
di
= -L
dt
dt
2. Processo di carica di un’induttanza
-
e
+
L
-
Ricaviamo ora l’andamento della corrente nel circuito costituito a un solenoide di induttanza L , una resistenza R (sempre presente in qualunque circuito, ad indicare
l’imprescindibile resistenza dei fili), ed una batteria di forza elettromotrice e . Se il solenoide non ci fosse la corrente nel circuito si porterebbe subito al valore dato dalla legge di
Ohm:
R
I =
i(t )
+
e
R
Ci attendiamo invece che il processo del raggiungimento della corrente finale I nel circuito non sarà istantaneo, ma progressivo, in quanto il campo magnetico indotto funge da
ostacolo. Applicando la legge di Kirchhoff delle maglie al circuito si ottiene:
e - Ri - L di
dt
=0
Si tratta di un’equazione differenziale, cioè un’equazione in cui l’incognita non è un numero ma una funzione, in questo caso i(t ) , che contiene la funzione stessa e la sua derivata prima. Possiamo riscrivere:
L di
e
= -i
R dt
R
La quantità L /R si indica con la lettera greca tau t e viene detta costante di tempo del
circuito perché ha le dimensioni di un tempo:
é L ù é V ⋅ s/A ù
ê ú=ê
ú = ésù
ê R ú ê V/A ú êë úû
ë û ë
û
Sostituendo nell’equazione differenziale:
t
di
e
= -i
dt
R
Separando le variabili tempo, e corrente, ed i relativi differenziali si ha:
di
e /R - i
=
1
dt
t
Integriamo ambo i membri fra l’istante iniziale t = 0 (quello in cui l’interruttore del circuito viene chiuso ed iniziamo a costruire il campo magnetico all’interno del solenoide) e
il generico istante t . La corrente assumerà valori rispettivamente i(0) = 0 ed i(t ) :
2
i (t )
di
ò e /R - i
0
=
1
t
t
ò dt
0
L’integrale di sinistra è della forma in cui si ha una funzione al denominatore, cioè
e /R - i e la sua derivata, cioè +1 , cambiata però di segno, al numeratore. Pertanto:
i (t )
- éêln | e /R - i |ùú
ë
û0
=
t
t
Possiamo eliminare il modulo ad argomento del logaritmo in quanto
e /R > i
sempre
durante tutto il processo dato che I = e /R è il valore che avrebbe la corrente se
l’induttanza non ci fosse, quindi senz’altro sempre maggiore del valore che si ha con il
contrasto fatto da essa. Risulta:
éln(e /R - i )ù i(t ) = - t
ëê
ûú 0
t
ln
e/R - i(t ) = - t
t
e /R
e/R - i(t ) = e-t /t
e /R
e/R
E infine risolvendo rispetto alla corrente, se ne ottiene l’andamento:
e
i(t ) = (1 - e -t /t )
i(t )
0.63 e/R
i(t )=
R
L /R
3. Energia immagazzinata nel campo magnetico
La quantità rappresenta il lavoro per unità di carica che compiono le forze del campo
elettrico indotto quando tentiamo di aumentare la corrente nel solenoide della quantità
infinitesima di nel tempo infinitesimo dt . Se quindi moltiplichiamo questa quantità per
la carica infinitesima dq che facciamo passare nel solenoide durante dt , essendo:
dq = idt
otteniamo il lavoro elementare d svolto dalle forze del campo auto-indotto in relazione
al passaggio di dq :
d = -L
di
di
⋅ i dt = -Li di
⋅ dq = -L
dt
dt
Se vogliamo calcolare il lavoro complessivamente svolto dalle forze del campo autoindotto quando la corrente passa da essere zero al valore finale I dovremo sommare tutti
questo contributi d cioè integrare fra 0 e I :
I
=
I
ò -Li di = -L ò
0
0
é i 2 ùI
1
i di = -L êê úú = - LI 2
2
ëê 2 ûú 0
Questo è pertanto il lavoro di contrasto che complessivamente esercitano le forze del
campo elettrico autoindotto mentre tentiamo di costruire un campo magnetico all’interno
del solenoide. A mano a mano che il campo si genera, e le forze del campo indotto si op-
3
e (1-e- tt )
R
t
pongono, e l’energia che forniamo 1 LI 2 (opposta al lavoro resistente del campo autoin2
dotto) è immagazzinata nel solenoide e può essere da esso restituita nel momento in cui
facciamo ritornare a zero il campo magnetico al suo interno. Essa è anche detta energia
potenziale elettromagnetica U della corrente e per un solenoide lungo , con N spire,
ognuna di area A , vale:
U =
1
LI 2
2
|B |2
N 2A 2
N 2A |B |2
1
A
= m0
I = m0
=
2
(m N /)2
2m0
1
2
0
Ed essendo A il volume interno al solenoide, nel quale si ha campo magnetico, risulta
che l’energia per unità di volume nel solenoide uB = U /A vale:
|B |2
uB =
2m0
Questo valore rappresenta l’energia per unità di volume di qualunque campo magnetico,
in quanto il fatto che essa sia stata ricavata nel caso del solenoide non intacca la sua validità. Difatti, le proprietà fisiche di un campo magnetico in una regione dello spazio non possono per definizione dipendere dalla sorgente che lo ha generato, altrimenti non potremmo usare il concetto di campo. È istruttivo confrontare questa formula con quella trovata a
suo tempo per il campo elettrico (trovata anche in quel caso, calcolandola in una situazione particolare, cioè lo spazio fra le armature di un condensatore:
uE =
1
e0 |E |2
2
4
4. Generatore di corrente alternata
Consideriamo una spira di area A che ruota con velocità angolare w uniforme
attorno ad un asse perpendicolare al suo vettore normale, come in figura. Nel disegno l’asse è perpendicolare al foglio. Se poniamo la spira in un campo magnetico
uniforme B perpendicolare all’asse di rotazione, per effetto della legge
dell’induzione di Faraday-Neumann si produrrà nella spira stessa una corrente, che
alterna il suo verso con la stessa frequenza con cui ruota la spira. Infatti, il flusso magnetico concatenato alla spira vale:
F = A |B | cos J
w
J
n̂
B
dove J è l’angolo che il versore normale alla spira forma col campo magnetico. Supponendo che inizialmente il versore normale alla spira sia allineato al campo magnetico si ha che l’angolo iniziale J0 è zero e quindi, essendo w costante si ha:
J = J0 + wt = wt
Che sostituito produce:
F = A |B | cos wt
i(t )
Derivando rispetto al tempo si ottiene la forza elettromotrice indotta che compare
nella spira per effetto della variazione del flusso:
fem = -
dF
= wA |B | sin wt
dt
-
E se indichiamo con R la resistenza della spira, risulta che in essa si produce una
corrente alternata, avente la stessa pulsazione w con cui ruota la spira:
wA |B |
i(t ) =
sin wt
R
Come si vede, l’intensità massima raggiunta dalla corrente, cioè wA |B | /R , è tanto
maggiore quanto più rapidamente ruota la spira. Ciò in accordo con la legge di Faraday-Neumann, che lega la corrente indotta alla rapidità della variazione del flusso,
che evidentemente cresce con w .
wA |B |
R
wA |B |
t
R
V1
i1(t )
R1
trasformatore
I 1V1 =ITVT
iT (t )
RT
trasformatore
ITVT =I 2V2
i2 (t )
abitazioni
5
R2
