2.1
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Circuito trifase
Si consideri il seguente circuito trifase collegato a stella.
L I3 R
R
s
L
I1
-
M
s
6
6
V1
s
6
I
2
s
L
6
R
V0
s
V3
V2
s
s
s
Si scelgano come variabili di stato le tre correnti I1, I2 e I3 che circolano nelle
tre induttanze e si introducano le seguenti matrici:
0
L M M
R 0
I1
V1
V0
L = M L M , R = 0 R 0 , I = I2 , V = V2 , V0 = V0
M M L
0 0 R
I3
V3
V0
I parametri L ed M rappresentano i coefficienti di auto e mutua induzione
delle tre induttanze presenti nel circuito. L’equazione differenziale che descrive
la dinamica della prima induttanza si ottiene imponendo che la derivata del
flusso Φ1 = LI1 + M I2 + M I3 concatenato con la prima induttanza sia uguale
alla caduta di tensione VL1 = V1 − V0 − RI1 ai capi dell’induttanza:
dΦ1
= VL1
→
LI˙1 + M I˙2 + M I˙3 = V1 − V0 − RI1
dt
Analoghe equazioni differenziali si possono scrivere per le altre due induttanze.
Organizzando in forma matriciale le tre equazioni differenziali si ottiene la
seguente equazione differenziale matriciale:
˙
0 I1 V1 V0
L M M I1
R 0
M
L M I˙2 = − 0 R 0 I2 + V2 − V0
M M L
0 0 R
I3
V3
V0
I˙3
che puó essere espressa in forma vettoriale compatta nel seguente modo:
Lİ = −RI + V − V0.
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2.2
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Le variabili di stato I1, I2 e I3 sono vincolate dal seguente legame algebrico:
I1 + I2 + I3 = 0.
Tale legame può essere espresso in modo vettoriale nel seguente modo:
1 1 1
I1
I2 = 0
I3
v3T I
↔
=0
dove
1
v3 = 1 .
1
Il vettore di stato I(t) evolve nel tempo ma rimane sempre perpendicolare
al vettore v3. Il modo migliore per “inserire” questo vincolo all’interno della
descrizione matematica del sistema è quello di procedere ad una trasformazione
di coordinate I = T I nello spazio degli stati nella quale il versore v3 compaia
come uno dei vettori della nuova base:
2
1
1
√
√
√
0
3
6
3
v
−1
1
3
1
1
√
√
√
√
T = v1 v2 v3 = 6 2 3 ,
v3 =
= 3
|v3| √1
−1 −1
√
√
√1
6
2
3
3
I due versori v1 e v2 rendono ortonormale la matrice di trasformazione T. La
−1
matrice inversa T della matrice ortonormale T é uguale alla sua trasposta:
T
−1
=
√2
6
0
√1
3
−1
√
6
1
√
2
1
√
3
−1
√
6
−1
√
2
1
√
3
=T
T
Per sistemi che abbiano la struttura Lẋ = Ax+Bu vale la seguente proprietá.
Proprietà. Se al seguente sistema dinamico:
Lẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
si applica la trasformazione di coordinate x = Tx si ottiene il seguente sistema
equivalente:
Lẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
dove:
L = T−1LT,
A = T−1AT,
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B = T−1B,
C = CT.
A.A. 2015/2016
2.3
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Inoltre, se la trasformazione di coordinate è tempo variante, x = T(t) x, la
matrice A assume la forma seguente:
A = T−1AT − T−1LṪ
Prova. Per sostituzione di x = Tx nel sistema originario si ottiene:
L(Tẋ + Ṫx) = ATx + Bu
y = CTx + Du
→
LTẋ = (AT − LṪ)x + Bu
y = CTx + Du
e moltiplicando la prima equazione a sinistra per la matrice T−1 si ottiene:
L
z
}|
−1
A
}|
z
{
{
z
B
}| {
−1
T LT ẋ = (T−1AT − T−1LṪ) x + T B u
y = CT
| {z } x + Du
C
Il vantaggio di utilizzare rappresentazioni dinamiche del tipo “Lẋ = Ax+Bu”
sta nel fatto che è possibile operare delle trasformazioni nello spazio degli stati
senza dover “invertire” la matrice L e quindi è possibile trasformare il sistema
anche nei casi in cui la matrice L è singolare.
————–
Proprietà. Le matrici di trasferimento H(s) e H(z) dei seguenti sistemi
dinamici:
Lẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Lx(k+ 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
possono essere ottenute utilizzando le seguenti formule:
H(s) = C(L s − A)−1B + D,
H(z) = C(L z − A)−1B + D.
Prova. La matrice di trasferimento H(s) si calcola come segue:
H(s) = C(I s − (L−1A))−1(L−1 B) + D
= C(L−1(L s − A))−1 (L−1B) + D
= C(L s − A)−1 L (L−1B) + D
= C(L s − A)−1B + D
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2.4
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Applicando al sistema:
Lİ = −RI + V − V0
la trasformazione di coordinate I = T I si ottiene il sistema trasformato:
˙ = − (T RT) I + T (V − V )
LT)
I
(T
0
|
{z
}
|
{z
}
−1
−1
L
−1
R
−1
Essendo R proporzionale alla matrice identità, si ha che R = T RT = R.
−1
La matrice trasformata L = T LT ha invece la seguente struttura:
√2
6
−1
L = T LT =
0
√1
3
√2
6
=
=
0
√1
3
−1
√
6
1
√
2
1
√
3
−1
√
6
−1
√
2
1
√
3
−1
√
6
√1
2
√1
3
−1
√
6
−1
√
2
√1
3
L M M
M L M
M M L
2(L−M
√ )
6
−(L−M
√ )
6
−(L−M )
√
0
(L−M
√ )
2
−(L−M
√ )
2
6
(L − M )
0
0
0
(L − M )
0
0
0
(L + 2M )
−1
√2
6
−1
√
6
−1
√
6
−1
0
√1
2
−1
√
2
√1
3
1
√
3
1
√
3
(L+2M
√ )
3
(L+2M
√ )
3
(L+2M
√ )
3
−1
I vettori trasformati I = T I, V = T V e V0 = T V0 assumono la
seguente forma:
I=
2I1 −I
√ 2 −I3
6
I2√
−I3
2
I1 +I
√2 +I3
3
,
V=
2V1 −V
√ 2 −V3
6
V2√
−V3
2
V1 +V
√2 +V3
3
,
V0 =
0
3V0
√
0
3
Essendo I1 + I2 + I3 = 0, la terza componente I¯3 del nuovo vettore di stato I
è identicamente nulla: I¯3 = 0:
¯
I1
¯
I = I2 =
¯
I3
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2I1 −I
√ 2 −I3
6
I2√
−I3
2
0
A.A. 2015/2016
2.5
Capitolo 2. FORME CANONICHE
La nuova descrizione dinamica del sistema di partenza è ora la seguente:
2V1 −V
˙
√ 2 −V3
¯
¯
I1
I
R
0
0
1
L
−
M
0
0
6
V
−V
2
˙¯ = − 0 R 0 I¯2 +
√ 3
0 L−M
0
I
2
2
V1 +V2 +V3 −3V0
0
0 L + 2M
√
0 0 R
0
0
3
La terza equazione del sistema esprime un legame statico che permette di
determinare il valore V0 della tensione di centro stella:
V1 + V2 + V3
.
V0 =
3
Il sistema trifase di partenza ha quindi una dinamica interna del secondo ordine:
z
L}|b
L−M
0
0
L−M
İb
R
b { z I}|b {
z
z
}|
˙I¯
¯
R 0 I1
+
=
−
0 R
I¯2
I˙¯2
z }| {
{
1
V
b
}|
{
2V1 −V
√ 2 −V3
6
V2√
−V3
2
In forma compatta si può scrivere
Lb İb = −R Ib + Vb
↔
(L − M ) İb = −R Ib + Vb
Supponiamo ora che la terna di tensioni in ingresso sia equilibrata:
cos(θ)
V1
V = V2 = VM cos(θ − 2π
)
3
V3
cos(θ + 2π
)
3
e che l’unico grado di libertà per il controllo del sistema sia l’ampiezza VM
delle tensioni V1, V2 e V3. Si noti che le tre tensioni V1, V2 e V3 soddisfano lo
stesso vincolo algebrico delle correnti:
v3T V = 0
↔
V1 + V2 + V3 = 0
La terza componente del vettore V è quindi identicamente nulla. Ne segue
che anche V0 = 0. Il vettore Vb assume invece la seguente forma:
Vb =
2V1 −V
√ 2 −V3
6
V2√
−V3
2
= V
M
=V
M
3 cos(θ)
√
6
−2 sin(θ) sin( −2π
3 )
√
2
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi
)−cos(θ+ 2π
2 cos(θ)−cos(θ− 2π
3 )
√3
6
2π )
cos(θ− 2π
)−cos(θ+
3 √
3
2
= VM
r
cos(θ)
3
2 sin(θ)
A.A. 2015/2016
2.6
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Il sistema di partenza diventa quindi lineare tempo-variante in quanto la matrice
degli ingressi Bb è funzione del parametro θ:
|
L−M
0
0
L−M
{z
Lb
}|
v
u
u3
¯
I˙¯1
R
0
cos(θ)
I
u
1
+t
VM
=
−
0 R
I¯2
2 sin(θ)
I˙¯2
{z
İb
|
}
{z
Rb
} | {z }
Ib
|
{z
}
Bb
In forma compatta si ottiene la seguente equazione differenziale matriciale:
Lb İb = −Rb Ib + Bb VM
(1)
Gli autovalori di questo sistema sono λ1,2 =
−R
L−M ,
cioè due autovalori reali.
Posto θ = ωt è possibile applicare al precedente sistema (1) la seguente nuova
trasformazione di coordinate Ib = Tω Iω dove:
Tω =
cos ωt − sin ωt
,
sin ωt cos ωt
T−1
ω =
cos ωt sin ωt
.
− sin ωt cos ωt
Le matrici Tω e T−1
ω rappresentano due rotazioni nel piano di angoli, rispettivamente, θ = ωt e θ = −ωt. Applicando la trasformazione Ib = Tω Iω al
sistema (1) si ottiene il seguente sistema trasformato:
−1
−1
−1
−1
T
İ
Ṫ
L
T
=
(−
T
R
T
−
T
L
)
I
+
T
Bb} VM
b
ω
ω
b
ω
b
ω
ω
ω
ω
ω
|
|
|
| ω{z
{z
}
{z
}
{z
}
Lω
Rω
Aω
Bω
La matrice Tω è tempo variante per cui nel sistema trasformato compare anche
il termine Aω = T−1
ω Lb Ṫω . In questo caso il termine Aω ha la seguente forma:
0
−ω(L − M )
Aω = T−1
L
=
Ṫ
b ω
ω
ω(L − M )
0
Il vettore trasformato Bω assume la seguente forma:
v
u
u
−1 u
t
Bω = T−1
ω B b = Tω
r
3 cos(θ) 32
=
2 sin(θ)
0
Ora il vettore trasformato Vω = Bω VM é costante:
r
Vω = Bω VM = VM
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3
2
0
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2.7
Capitolo 2. FORME CANONICHE
La trasformazione Ib = Tω Iω ha reso il sistema lineare tempo-invariante:
Ī˙ ω =
−R
L−M
ω
−R
L−M
−ω
r
Īω +
1
3
2 (L−M )
V
0
M
(2)
I = TbTω Īω
dove con Tb si è indicata la matrice rettangolare formata dalla prime due
colonne della matrice T:
Tb = v 1 v 2 =
√2
6
−1
√
6
−1
√
6
0
√1
2
−1
√
2
Gli autovalori del sistema (2) sono complessi coniugati:
λ1,2 =
−R
± jω
L−M
La trasformazione di coordinate tempo-variante Ib = Tω Iω ha modificato “la
parte immaginaria dei poli” del sistema.
Il sistema (2) é un descrizione dinamica completamente equivalente al sistema
di equazioni differenziali iniziali:
˙
0 I1 V1 V0
L M M I1
R 0
˙
M
L M I2 = − 0 R 0 I2 + V2 − V0
M M L
0 0 R
I3
V3
V0
I˙3
ed ingloba giá al proprio interno il vincolo strutturale sulle correnti:
I1 + I2 + I3 = 0.
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2.8
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Simulazioni: spazio degli stati trifase statico
• Andamento temporale delle correnti I. Risposta al gradino VM = 100:
Correnti I1, I2 e I3
300
200
(A)
100
0
−100
−200
−300
0
0.1
0.2
0.3
Tempo [s]
0.4
0.5
• Traiettoria nello spazio degli stati:
300
200
I3
100
0
−100
−200
300
200
200
100
100
0
0
−100
−100
I2
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−200
−200
−300
I1
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2.9
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Spazio degli stati bifase statico
• Andamento temporale delle correnti Ib. Risposta al gradino VM = 100:
Correnti Ib1 e Ib2
400
300
200
(A)
100
0
−100
−200
−300
0
0.1
0.2
0.3
Tempo [s]
0.4
0.5
• Traiettoria nello spazio degli stati:
Trajettoria nello spazio degli stati (Ib1, Ib2)
400
300
200
Ib2
100
0
−100
−200
−300
−300
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−200
−100
0
Ib1
100
200
300
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2.10
Capitolo 2. FORME CANONICHE
Spazio degli stati bifase ruotante
• Andamento temporale delle correnti Iω . Risposta al gradino VM = 100:
Correnti Iw1 e Iw2
300
200
100
(A)
0
−100
−200
−300
−400
0
0.1
0.2
0.3
Tempo [s]
0.4
0.5
• Traiettoria nello spazio degli stati:
Trajettoria nello spazio degli stati (Iw1, Iw2)
0
−50
−100
Iw2
−150
−200
−250
−300
−350
−400
−50
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi
0
50
100
Iw1
150
200
250
A.A. 2015/2016
Capitolo 2. FORME CANONICHE
2.11
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Circuito_trifase.m
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all; clc; echo off
set(0,’DefaultFigureWindowStyle’,’docked’) %%%% Figures ’docked’ or ’normal’
MainString = mfilename;
% MainString
%%%%% Unit di misura
A=1; ohm=1; V=1; H=1; rad=1; sec=1; Stampa=1;
%%%%% Parametri del sistema
R=0.1*ohm;
% Resistenza di ogni singolo circuito
L=0.05*H;
% Autoinduttanza di ogni singolo circuito
M=0.04*H;
% Mutuainduttanza di ogni singolo circuito
w=50*rad/sec;
% Frequenza di rete
VM=100*V;
% Ampiezza della tensione in ingresso
%%%%% Matrici di sistema
MA=[ -R/(L-M)
w;
-w -R/(L-M)];
MB=[ sqrt(3/2)/(L-M); 0];
MC=[ 1
0; 0
1];
SYS=ss(MA,MB,MC,0);
% Sistema SYS nel riferimento ruotante
set(SYS,’InputName’,’V_M’)
set(SYS,’StateName’,[’Iw_1’; ’Iw_2’])
set(SYS,’OutputName’,[’Iw_1’; ’Iw_2’])
SYS
%%%%% Risposta al gradino del sistema SYS
[Y t X]=step(SYS);
X=X*VM;
% La risposta del sistema lineare rispetto
Y=Y*VM;
% all’ampiezza VM della tensione di ingresso
Iw1=X(:,1);
% Corrente bifase routante: prima componente
Iw2=X(:,2);
% Corrente bifase routante: seconda componente
Lw=1.2;
% Larghezza di linea
%
%%%%% Andamento temporale delle correnti Iw1 Iw2
figure(1); clf
plot(t,[Iw1 Iw2],’LineWidth’,Lw)
xlim([0 t(end)])
title(’Correnti Iw1 e Iw2’)
xlabel(’Tempo [s]’)
ylabel(’(A)’); grid
if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end
%
%%%%% Traiettoria (Iw1 Iw2) nel sistema ruotante
figure(2); clf; hold off
plot(Iw1,Iw2,’LineWidth’,Lw); hold on
Iw_ss=-inv(MA)*MB*VM;
% Valore a regime delle correnti Iw1 e Iw2
plot(Iw_ss(1),Iw_ss(2),’rx’,’LineWidth’,Lw)
axis square; grid
title(’Trajettoria nello spazio degli stati (Iw1, Iw2)’)
ylabel(’Iw2’)
xlabel(’Iw1’)
if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end
%
%%%%% La matrice di trasformazione Tw ha la seguente struttura:
%
Tw=[cos(w*t) -sin(w*t);
%
sin(w*t)
cos(w*t)];
% L’andamento delle correnti sul piano bifase statico il seguente:
Ib1=sum(([cos(w*t) -sin(w*t)].*[Iw1’;Iw2’]’)’)’;
Ib2=sum(([sin(w*t)
cos(w*t)].*[Iw1’;Iw2’]’)’)’;
%
%%%%% Andamento temporale delle correnti Ib1 Ib2
figure(3); clf
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A.A. 2015/2016
2.12
Capitolo 2. FORME CANONICHE
plot(t,[Ib1 Ib2],’LineWidth’,Lw)
xlim([0 t(end)])
title(’Correnti Ib1 e Ib2’)
ylabel(’(A)’); grid
xlabel(’Tempo [s]’)
if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]);
%
%%%%% Traiettoria (Ib1 Ib2) nel piano bifase statico
figure(4); clf; hold off
plot(Ib1,Ib2,’LineWidth’,Lw)
grid; axis square
title(’Trajettoria nello spazio degli stati (Ib1, Ib2)’)
ylabel(’Ib2’)
xlabel(’Ib1’)
if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]);
%
%%%%% La matrice di trasformazione Tb ha la forma seguente:
Tb=[
2/sqrt(6)
0;
-1/sqrt(6) 1/sqrt(2);
-1/sqrt(6) -1/sqrt(2)];
I=Tb*[Ib1’;Ib2’];
I1=I(1,:)’; I2=I(2,:)’; I3=I(3,:)’;
%
%%%%% Andamento temporale delle correnti I1, I2 e I3
figure(5); clf
plot(t,I,’LineWidth’,Lw)
xlim([0 t(end)])
title(’Correnti I1, I2 e I3’)
ylabel(’(A)’); grid
xlabel(’Tempo [s]’)
if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]);
%
%%%%% Traiettoria (I1 I2 I3) nel piano trifase statico
figure(6); clf; hold off
plot3(I1,I2,I2,’LineWidth’,Lw)
axis square; grid
zlabel(’I3’)
ylabel(’I2’)
xlabel(’I1’)
if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]);
return
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi
end
end
end
end
A.A. 2015/2016
