Sistemi Lineari - Definizione - forma compatta

Sistemi Lineari
- Definizione - forma compatta
- Teorema di Rouchè Capelli - Condizione di esistenza
delle/a soluzioni/e del sistema lineare
- Metodi risolutivi:
Cramer
Metodo dell’inversa
Un sistema lineare di m equazioni lineari in n incognite:
! a x + a x +.. + a x +... + a x = b
1j j
1n n
1
# 11 1 12 2
#
.........
#
" ai1 x1 + ai2 x2 +.. + aij x j +... + ain xn = bi
#
........
#
#$ am1 x1 + am2 x2 +.. + amj x j +... + amn xn = bm
Risolvere un sistema lineare significa determinare l'insieme
delle n-ple di numeri reali (x1,x2,…,xn) ∈ℜn che verificano
tutte le m equazioni.
Un sistema lineare può:
- essere impossibile (non ammettere soluzione),
- avere una soluzione oppure
- avere infinite soluzioni.
Se indichiamo con
!
#
#
#
A=#
#
#
#
#
"
a11
a12
...
a1 j
a21
a22
... a2 j
!
ai1
!
ai2
!
...
!
am1
!
!
!
am2 ... amj
!
aij
a1n $
&
... a2n & ! x1 $ !
& #
& #
!
! & # x2 & #
x=#
b=#
&
&
... ain
! & #
& #
!
! & #" xn &% #"
... amn &
%
...
b1 $
&
b2 &
&
! &
bm &%
A matrice dei coefficienti del sistema
x vettore delle variabili
b vettore dei termini noti.
Il sistema lineare può essere scritto in forma compatta come
Ax=b
Esempio:
A=
"
2x1 − x3 = 3
$
# x1 − x2 + 3x3 = −4
$
% 2x1 + 2x3 = 0
" 2 0 −1 %
$
'
1
−1
3
$
' x=
$# 2 0 2 '&
! x $
# 1 &
# x2 & b =
#
&
x
3
"
%
Ax = b
" 3 %
$
'
−4
$
'
$# 0 '&
Ax =
" 2x − x
1
3
$
$ x1 − x2 + 3x3
$
# 2x1 + 2x3
%
" 3 %
'
$
'
' = $ −4 '
'
$# 0 '&
&

2x1 − x3 = 3

 x1 − x 2 + 3x3 = −4

 2x1 + 2x3 = 0
! 1 0 0 $
#
&
A= # 0 1 0 & x=
#" 0 0 1 &%
 x =1
 1
 x2 = 2

 x3 = −1
! x $
# 1 &
# x2 & b =
#
&
x
" 3 %
" 1 %
$
'
2
$
'
$# −1 '&
Nota:
Def: x* è una soluzione del sistema
Ax = b ⇔ Ax*= b
Se x' e x" sono due soluzioni del sistema A x = b allora
Ax = b ha infinite soluzioni, cioè ogni punto della retta
x = x' + k (x"-x') k ∈ℜ
è soluzione del sistema Ax = b.
Dim:
Se x' e x" sono due soluzioni del sistema A x = b allora
A x' = b e A x" = b.
Se x = x' + k (x"-x') k ∈ ℜ è soluzione del sistema allora
A [x' + k (x"-x')] = b k ∈ ℜ
Per la proprietà distributiva
A [x' + k (x"-x')] = A x' + k A (x"-x')] =
= A x' + k A x" - k A x' = b + k b - k b = b