Sistemi Lineari - Definizione - forma compatta - Teorema di Rouchè Capelli - Condizione di esistenza delle/a soluzioni/e del sistema lineare - Metodi risolutivi: Cramer Metodo dell’inversa Un sistema lineare di m equazioni lineari in n incognite: ! a x + a x +.. + a x +... + a x = b 1j j 1n n 1 # 11 1 12 2 # ......... # " ai1 x1 + ai2 x2 +.. + aij x j +... + ain xn = bi # ........ # #$ am1 x1 + am2 x2 +.. + amj x j +... + amn xn = bm Risolvere un sistema lineare significa determinare l'insieme delle n-ple di numeri reali (x1,x2,…,xn) ∈ℜn che verificano tutte le m equazioni. Un sistema lineare può: - essere impossibile (non ammettere soluzione), - avere una soluzione oppure - avere infinite soluzioni. Se indichiamo con ! # # # A=# # # # # " a11 a12 ... a1 j a21 a22 ... a2 j ! ai1 ! ai2 ! ... ! am1 ! ! ! am2 ... amj ! aij a1n $ & ... a2n & ! x1 $ ! & # & # ! ! & # x2 & # x=# b=# & & ... ain ! & # & # ! ! & #" xn &% #" ... amn & % ... b1 $ & b2 & & ! & bm &% A matrice dei coefficienti del sistema x vettore delle variabili b vettore dei termini noti. Il sistema lineare può essere scritto in forma compatta come Ax=b Esempio: A= " 2x1 − x3 = 3 $ # x1 − x2 + 3x3 = −4 $ % 2x1 + 2x3 = 0 " 2 0 −1 % $ ' 1 −1 3 $ ' x= $# 2 0 2 '& ! x $ # 1 & # x2 & b = # & x 3 " % Ax = b " 3 % $ ' −4 $ ' $# 0 '& Ax = " 2x − x 1 3 $ $ x1 − x2 + 3x3 $ # 2x1 + 2x3 % " 3 % ' $ ' ' = $ −4 ' ' $# 0 '& & 2x1 − x3 = 3 x1 − x 2 + 3x3 = −4 2x1 + 2x3 = 0 ! 1 0 0 $ # & A= # 0 1 0 & x= #" 0 0 1 &% x =1 1 x2 = 2 x3 = −1 ! x $ # 1 & # x2 & b = # & x " 3 % " 1 % $ ' 2 $ ' $# −1 '& Nota: Def: x* è una soluzione del sistema Ax = b ⇔ Ax*= b Se x' e x" sono due soluzioni del sistema A x = b allora Ax = b ha infinite soluzioni, cioè ogni punto della retta x = x' + k (x"-x') k ∈ℜ è soluzione del sistema Ax = b. Dim: Se x' e x" sono due soluzioni del sistema A x = b allora A x' = b e A x" = b. Se x = x' + k (x"-x') k ∈ ℜ è soluzione del sistema allora A [x' + k (x"-x')] = b k ∈ ℜ Per la proprietà distributiva A [x' + k (x"-x')] = A x' + k A (x"-x')] = = A x' + k A x" - k A x' = b + k b - k b = b