XXVI. Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale
Introduzione
Si definisce funzione reale di variabile reale e s’indica con
f: A R
una funzione f = (F,A,B) avente dominio A R, codominio B
e grafico F A×B R×R.
La funzione f è dunque un elemento dell’insieme
Definizione
Algebra delle funzioni reali
Funzioni composta e inversa
Morfismi fra strutture
Funzioni monotone
Esempi
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Funzioni reali di variabile reale
Definizione
Definizione
Funzioni reali
di variabile reale
S
S
S
S
S
S
Funzioni reali di variabile reale
R
composto da tutte le funzioni definite in sottoinsiemi di numeri reali
ed a valori reali.
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Definizione
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Definizione
Si scrive in genere y = f(x) con
y = variabile dipendente
x = variabile indipendente
f(A) = Im f
R si chiama immagine di f.
Se X
A, si dice immagine di X tramite f l’insieme
se T
Im f, si chiama controimmagine di T tramite f l’insieme:
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Funzioni reali di variabile reale
Definizione
Funzioni reali di variabile reale
Definizione
Tre passi per conoscere una funzione:
2) Identificazione dell’immagine
1) Identificazione del dominio di una funzione
In questo contesto, si chiama codominio d’una funzione f un
qualunque insieme che contenga l’immagine della f. D’altro canto,
ogni insieme che contiene l’immagine può essere codominio di f.
È d’uso chiamare, in questo contesto, dominio d’una funzione il
massimo sottoinsieme di R su cui hanno senso le espressioni
analitiche che risultano nella definizione di funzione, ma può essere
anche più piccolo di questo sottoinsieme.
Ad esempio, la funzione y = ax si può considerare a valori in R, ma
anche in R+. Si sceglie R+ quando si vuole evidenziare che y = ax è
sempre positiva; si sceglie R quando questo è secondario.
Questo risulta importante nello studio delle proprietà globali d’una
funzione: limitatezza, monotonia, esistenza e valore del massimo e
del minimo.
La definizione del codominio è importante per definire i caratteri
globali della funzione.
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Definizione
3) Identificazione del grafico e dei suoi caratteri principali
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Definizione
...ma non sempre.
È possibile rappresentare graficamente una funzione su un piano
cartesiano ...
Esempio:
Sia y = f(x) la funzione di Dirichlet
Essa non è rappresentabile graficamente, perché comprende:
S tutti i punti dell’asse x (y = 0) con ascissa irrazionale e
S tutti i punti della retta y = 1 con ascissa razionale.
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Funzioni reali di variabile reale
Algebra di funzioni reali
Funzioni reali di variabile reale
Algebra di funzioni reali
Algebra di funzioni reali
Le funzioni reali di variabile reale aventi uguale dominio sono
un’algebra su R:
1) f + g si definisce come:
( x)( (f+g) (x) = f(x) + g(x))
e dà la struttura di gruppo commutativo
2) af si definisce come
( x) ((af) (x) = a f(x))
e dà la struttura di spazio vettoriale su R di dimensione infinita
(numerabile)
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Algebra di funzioni reali
3) f g si definisce come
( x)( (fg) (x) = f(x) g(x))
e dà la struttura d’anello commutativo. Non è un campo, perché
non sempre esiste la funzione 1 / f(x) tale che
(
Perché esista, occorre e basta che f(x)
sempre vera.
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0 per ogni x, cosa non
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Funzioni composta e inversa
Funzioni composta e inversa
Esempio:
Se f(x) = 3x per x (1, 6), allora esiste 1/f(x) = 1/3x;
se g(x) = 3x - 6, allora g(2) = 0, dunque 1/g(x) è definita solo in
(1,2) (2, 6).
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Date due funzioni f e g definite in modo tale che Im (f) sia contenuta
nel dominio di g, allora si chiama funzione composta la funzione
.
Esempio:
Date le funzioni
composte sono (ben diverse!)
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, le loro funzioni
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Funzioni reali di variabile reale
Funzioni composta e inversa
La composizione fra funzioni è associativa, in genere non
commutativa, esiste la funzione identica f(x) = x. L’inversa esiste se
e solo se la funzione è biiettiva.
Nota: occorre distinguere fra la funzione inversa nel senso della
composizione f -1 e la funzione 1 / f(x) inversa rispetto al prodotto fra
funzioni. Si tratta di due funzioni diverse, giacché
laddove f(x) * 1 / f (x) = 1, per ogni x.
Esempio: data y = f(x) = x2, la sua inversa è
mentre 1 / f(x) = 1 / x2.
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,
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Morfismi fra strutture
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Morfismi fra strutture
Morfismi fra strutture
Dati due insiemi dotati della stessa struttura, si chiamano morfismi
le funzioni fra di essi che ne conservano la struttura.
Esempi:
1) fra insiemi (senza struttura) le funzioni;
2) fra strutture d’ordine, le funzioni monotòne:
x y
f(x) f(y)
o
x y
f(x) f(y)
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Morfismi fra strutture
I morfismi possono essere
- morfismi se funzioni generiche;
- monomorfismi, se sono iniezioni;
- epimorfismi, se sono suriezioni;
- isomorfismi, se sono biiezioni.
3) fra strutture di gruppo, gli omomorfismi
f(x y) = f(x) f(y)
4) fra spazi topologici, le funzioni continue.
5) fra anelli: gli omomorfismi
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
5) fra spazi vettoriali, le trasformazioni lineari:
f(av + bw) = af(v) + bf(w)
6) fra spazi metrici le isometrie.
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Esempi:
L’esponenziale y = ax è un isomorfismo fra R(+) ed R +-{0} (.):
infatti ax+z = ax . az.
Il logaritmo y = loga x è un isomorfismo fra R+ -{0}(.) ed R(+):
loga (xz) = loga x + loga z.
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Funzioni reali di variabile reale
Funzioni monotone
Funzioni monotòne
Definizione
Una funzione f : A R si dice crescente se, per ogni coppia di punti
x 1, x 2 di A, con x 1 > x 2, risulta f(x1) f(x2).
Analogamente una funzione f : A R si dice decrescente se, per ogni
coppia di punti x1, x2 di A, con x1 > x2, risulta f(x1) f(x2).
Se poi vale sempre la disuguaglianza stretta, la f si dice strettamente
crescente (o strettamente decrescente).
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Funzioni monotone
Funzioni reali di variabile reale
Funzioni monotone
In quanto mantengono l’ordinamento, le funzioni crescenti e
decrescenti sono monotòne, quelle strettamente crescenti e
decrescenti si dicono strettamente monotòne.
Nota: le funzioni strettamente monotòne sono un esempio di funzioni
invertibili.
Esistono però, funzioni invertibili in un intervallo che non sono
monotòne.
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Esempi
Esempi
Consideriamo i
seguenti esempi di
funzioni reali di
variabile reale:
Esempio:
Esempio 1:
f(x) = ax + b
f è invertibile, ma non monotòna.
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Funzioni reali di variabile reale
Esempi
Esempio 2:
f(x) = sen x
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Esempi
Esempio 3:
f(x) = cos x
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Esempi
Esempio 4:
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Funzioni reali di variabile reale
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Esempi
Esempio 5:
f(x) = x2
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Funzioni reali di variabile reale
Esempi
Esempio 6:
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Esempi
Esempio 7:
f(x) = ax
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Esempi
Esempio 8:
f(x) = loga x
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Funzioni reali di variabile reale
Esempio 9:
f(x) = massimo intero
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Esempi
x
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Funzioni reali di variabile reale
Esempi
La costruzione del grafico d’una funzione è facilitata dalla
conoscenza dei grafici delle principali funzioni elementari.
Partendo, dunque, dal grafico della funzione y = f(x) s’ottengono i
grafici delle funzioni seguenti:
1) y1 = - f(x), il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse;
2) y2 = f(-x), il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate;
3) y3 = f(x - a), il grafico è spostato del valore a lungo l’asse delle
ascisse;
4) y4 = b + f(x), il grafico è spostato del valore b lungo l’asse delle
ordinate.
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Funzioni reali di variabile reale
Esempi
2)
D = [-50 , -25)
3)
[5 , 25]
x
4)
0, quindi
Dev'essere
({x
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0}
{x > 0}) - {1}
, quindi
cioè
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Funzioni reali di variabile reale
Esempi
Esempi:
Calcolare il dominio delle funzioni seguenti:
1)
Se x > 0 ci sono due determinazioni:
una funzione
x<0
?
quindi, se x
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R+
{0} allora y
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R+
, dunque non è
{0}.
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