spinta su superfici piane

Esercitazioni di meccanica dei fluidi – Laurea in Ingegneria Energetica a.a. 2013/2014
Daniela Molinari – Giovanni Porta
Statica
Distribuzione delle pressioni
La distribuzione delle pressioni all’interno di un fluido in quiete, pesante e incomprimibile, è
governata da:
z+p/γ= cost
LEGGE DI STEVIN
Il valore della costante è la quota zo in corrispondenza del quale la pressione è nulla. Tale piano
prende il nome di piano dei carichi idrostatici. Al di sopra del piano dei carichi idrostatici c’è il
vuoto (i fluidi non possono resistere a forze di trazione ma solo di compressione). Al di sotto la
pressione aumenta linearmente con la profondità essendo infatti
p=γ(zo-z)= γh
dove h è l’affondamento rispetto al piano dei carichi idrostatici
N.B. il coefficiente di proporzionalità è pari a γ
Nota la pressione in un punto, la legge di Stevin ci consente di individuare con facilità la
distribuzione delle pressioni nell’intera massa liquida.
La legge di Stevin può anche essere scritta con riferimento alle pressione relativa. In tal caso la
costante è la quota za in corrispondenza del quale la pressione relativa è nulla ovvero la pressione
è uguale a quella atmosferica. Al di sopra del piano dei carichi idrostatici relativi la pressione
relativa è negativa ovvero il fluido è in depressione. Ciò può accadere solo per fluidi contenuti in
recipienti chiusi. Al di sotto la pressione aumenta linearmente con la profondità secondo Stevin. La
distanza tra p.c.i. assoluto e relativo è pari alla differenza tra pressione assoluta e relativa, ovvero
alla pressione atmosferica, in termini di altezza piezometrica del fluido (per l’acqua pari a10.33 m).
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Spinta su superficie piana
Si definisce spinta idrostatica la forza esercitata da un fluido in quiete su di una superficie. La spinta
è quindi un vettore, la cui descrizione comporta la determinazione del modulo, della direzione e
della retta di azione.
La spinta è la risultante delle spinte elementari che agiscono ortogonalmente alla superficie in ogni
punto. In generale il modulo della spinta è quindi pari al volume del solido delle pressioni sulla
superficie stessa ed è applicata (sulla superficie) in corrispondenza del baricentro di tale volume
(i.e. retta di azione)
Applicando tali principi si ottiene che la spinta su di una superficie piana, comunque inclinata, è
una forza diretta normalmente alla superficie stessa con modulo pari al prodotto della pressione pG
nel suo baricentro per l’area della superficie.
S= pGA=γhGA
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Assumendo un riferimento cartesiano con asse x coincidente con una retta di massima pendenza
del piano in cui giace la superficie e asse y coincidente con la retta di sponda (intersezione tra il
piano dei carichi idrostatici e il piano della superficie), il punto di applicazione della spinta (detto
anche centro di spinta) avrà invece coordinate:
ξ=
I
M
η=
I xy
M
Essendo I il momento di inerzia della superficie rispetto alla retta di sponda, Ixy il momento
centrifugo della superficie rispetto agli assi x e y, M il momento statico della superficie rispetto alla
retta di sponda.
M = ∫ xdA = xG A
A
I = ∫ x 2 dA
A
I = ∫ xydA
A
Nel caso frequente di superficie rettangolare, intersecante la retta di sponda, con due lati di
lunghezza b, qualunque sia l’inclinazione della superficie:
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ξ = xG + ξ G = b
dove
ξG =
b
è la distanza lungo la coordinata x tra baricentro e centro di spinta.
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Si noti che il centro di spinta si trova sempre a una distanza dalla retta di sponda maggiore di
quella del baricentro.
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Esercizi
1) Sia dato un serbatoio a pareti verticali contenente acqua. Il livello del pelo libero all’interno del
serbatoio sia h. Si determini la pressione sul fondo e si disegnino i diagrammi delle pressioni.
2) Si consideri il serbatoio in figura. Determinare la distribuzione delle pressioni.
3) Sia dato un serbatoio a pareti verticali contenente tre strati di liquido di densità rispettivamente
ρ1, ρ2, ρ 3. Siano h1, h2 e h3 gli spessori dei tre liquidi. Si determini:
- la pressione sulle superfici di separazione dei liquidi e sul fondo del serbatoio.
- la posizione del p.c.i per i tre fluidi
- i diagrammi delle pressioni
4) Si consideri il serbatoio in figura. Determinare l’indicazione del manometro semplice e del
manometro metallico. (∆=0.86 m, n=1.59 bar)
5) Si consideri la situazione rappresentata in figura. Si determini la pressione sul fondo e sulla
sommità del serbatoio. (Psommità = 9.88 · 103 Pa, Pfondo = 2.09 · 104 Pa)
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6) Determinare l’indicazione del manometro differenziale (Δ = 0.40 m).
7) Con l’elevatore idraulico in figura si deve sollevare un carico di 500 kg versando olio (ρ=780
kg/m3) nel tubicino. Determinare il livello minimo h tra il menisco del tubicino e il piano di appoggio
superato il quale il carico incomincia a sollevarsi (h=0.53 m)
olio
h
500 kg
1,2 m
8) In due tubazioni orizzontali parallele scorrono acqua dolce e acqua di mare; esse sono
collegate con un manometro a doppia U. Calcolare la differenza di pressione tra gli assi delle due
tubazioni essendo la densità dell’acqua di mare e del mercurio, rispettivamente pari a 1035kg/m3,
13600 kg/m3 (3394 Pa).
aria
40 cm
acqua
dolce
acqua di
mare
60 cm
70 cm
10 cm
mercurio
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9) Sia dato il serbatoio in figura. Si calcoli la spinta esercitata dal fluido, il centro di spinta e la
distribuzione delle pressioni sulle tre pareti del serbatoio.
10) Si consideri il serbatoio dell’esercizio 3. Si calcoli la spinta ed il punto di applicazione sulla
superficie piana AA. (S= 1011032 N, ξG=3.6·10-3 m, ξ=1.005 m)
11) Determinare la reazione necessaria per mantenere chiusa la paratoia in figura (R=78867 N).
12) Determinare la spinta sulla superficie AA di sezione circolare. (S=1472 N).
13) Trovare la spinta totale e il centro di spinta che agisce su una paratoia rettangolare di
dimensioni a×b, sommersa come indicato nella figura. Siano h1=3 m, h2=2,5 m, b=1,8 m, γ=9806
N/m3, a=1m. ( S=8825 N, h-ξ=0.9 m). Determinare inoltre la distribuzione delle pressioni.
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14) Determinare il valore della spinta idrostatica e la posizione del centro di spinta sulla parete
rettangolare divisoria di larghezza b=1 m, θ=60° del serbatoio rappresentato in figura (γ1=γ2=10000
N/m3 , es. acqua di mare). (S=21939 N, ξ=1.64 m)
r.s.
s
x
r.s.
h1=2.4 m
γ1
θ
γ2
7
h2=1.4 m