Fisica generale

Fisica generale
Modulo 2: Elettromagnetismo
Registrazioni trascritte del corso di fisica 2 di
un’ingegneria di “bestie” [cit.]
Autore: A.P.
Anno 2011/2012
Questa è un’opera di fantascienza, ogni riferimento a nomi,
cose e città è puramente casuale. Non sono responsabile di
eventuali errori di battitura e/o argomento, gli appunti sono
completi e utilizzabili per sostenere l’esame. Ricordate di
spremere il tubetto di dentrificio dal basso e che la forza non è
con voi, ma muore come 1 su r.Autore: A.P.
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(Fisica 2)
elettrostatica e legge di coulomb(28/02/2012)
Nei prossimi capitoli verranno studiati campi costanti nel tempo generati da una certa distribuzione di
cariche. Prima caratteristica di quest’ultime è che possono respingersi o attrarsi al contrario delle forze
gravitazionali, mentre per quantizzare il tutto è possibile sfruttare uno strumento ideato nel 1780 da
Alessandro Volta: l’elettroscopio a foglie.
La carica indotta dall’asticella, permette alle due foglie di caricarsi e respingersi; il sistema prima o poi trova
un nuovo equilibrio dettato dall’annullamento del momento della forza elettrostatica con quello della forza
peso. Questo strumento permise di calcolare l’effettiva forza agente tra le due lamine, misurata in
Coulomb; quest’ultima si origina grazie alla presenza di particelle elementari quali gli elettroni ed i protoni
(anche se si è dimostrato che quest’ultimo è scomponibile in particelle ancora più semplici). La carica
dell’elettrone è pari a:
In precedenza si è parlato di carica indotta, in particolare l’ induzione elettrostatica, o fenomeno
dell'influenza, è un metodo che consente di utilizzare un oggetto caricato elettricamente per caricare
elettricamente un secondo oggetto, senza contatto tra i due. Quindi l’oggetto caricato ha la capacità di
influenzare la disposizione delle cariche sul secondo corpo:
1
(Fisica 2)
variando il baricentro delle cariche negative che tende ad allontanarsi dal corpo dall’oggetto caricato.
Sfruttando il pendolo a torsione, Coulomb fu capace di studiare le caratteristiche fondamentali
dell’elettrostatica, così, conoscendo la costante elastica del classico filo di quarzo e lo spostamento delle
sfere collegate al pendolo, formulò l’omonima legge di Coulomb:
Alcune osservazioni :
1. E’ impressionante come le due leggi di forza muoiono entrambe con il quadrato delle distanze
2. Per la legge di Coulomb il segno è dipendente dalle cariche, e può essere quindi attrattiva o
repulsiva
3. L’intensità è di ordine diversa per le due leggi, infatti la forza di Coulomb è nettamente maggiore
ciò è garantito anche dalla presenza di K che nel CGS varrebbe uno ed è possibile
considerarla come una quantità adimensionale, al contrario nel MKSA si ha:
con
definita come costante dielettrica nel vuoto che non è adimensionale.
Misura dell'angolo solido
La misura in steradianti dell'angolo solido Ω è definita come A / R , dove A è l'area della porzione di superficie
sferica di raggio R vista sotto l'angolo Ω. Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è
un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolopiano θ in radianti come s / r,
dove s è la lunghezza dell'arco di cerchio di raggio r sotteso da θ. L'angolo solido sotteso da una superficie generica
rispetto ad un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di
raggio qualsiasi centrata in P. L'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura evidentemente 4π. Per avere la
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misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per (180/π) , ovvero per 3282.8 (circa). Quindi tutta la sfera
corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.
2
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(Fisica 2)
Campo Elettrico(28/02/2012-06/03/2012)
Si prenda in considerazione una carica fissa in un punto, quest’ultima è l’origine della perturbazione
elettromagnetica che induce intorno a se stessa, quindi come una massa disturba lo spazio che ha intorno
così una carica crea un campo di forze. Così, prendendo in considerazione una carica di prova e
collegandola ad un dinamometro , è possibile ottenere informazione sul campo elettrico generato
dividendo la misurazione del dinamometro per il valore della carica di prova stessa (Il campo elettrico è una
grandezza vettoriale):
Più rigorosamente, definito un sistema di riferimento con carica Q nell’origine:
z
q
Q
y
x
Si definisce campo di una singola carica puntiforme la grandezza:
Le sue caratteristiche principali sono la radialità e la dipendenza dal quadrato delle distanze, inoltre sono
note le direzioni del sue linee di forza definite come curva ideale che ha come tangente in ogni punto la
direzione del vettore del campo stesso inoltre per ogni punto passa una sola linea di campo:
E il valore del campo in componenti è:
3
(Fisica 2)
il ^3 si ha per due motivi:
1)Non tornano le unità di
misura
2)Coseno direttori
Nel caso ci fossero due cariche, si effettuerebbe una somma vettoriale, per più cariche, una sommatoria e
per una distribuzione continua, un integrale. Si analizzi l’ultimo caso:
z
P
y
x
Si introduce il concetto di densità di carica (simile al concetto di densità di massa) che indica il rapporto tra
la quantità di carica presente in una porzione dello spazio e la regione stessa. È uno strumento che idealizza
una distribuzione continua di cariche, approssimazione utile per gestire le somme di cariche come
semplici integrali, si ha:
Dove
è un volumetto approssimabile ad una carica puntiforme, definito anche come
, e valore di
una qualsiasi tipo si superficie, che sia lineare, superficiale o volumetrica, (non si usa poiché già usata per
un’altra grandezza).
Considerando la distanza utile come
Per la considerazione
, il campo vale:
, ogni volumetto apporta un suo contributo specifico quindi:
O meglio:
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(Fisica 2)
Si supponga che la sorgente elettrica è distribuita sulla superficie di un oggetto metallico, volendo calcolare
il campo tramite il dinamometro e utilizzando un secondo corpo di prova, può capitare che la troppa
vicinanza alla superficie della carica sorgente, può variarne la distribuzione delle cariche . Ciò avviene in
seguito all’utilizzo di cariche di prova non sufficientemente piccole. Per ovviare a questo problema di
induzione, si riduce il valore della stessa (
) fino ad ottenere il valore operativo del campo generato
con
definita come “buona carica di prova”.
Si prenda in considerazione un filo infinito carico, situazione ideale ma più vicina alla realtà di quanto possa sembrare,
infatti il fenomeno molto simile ad un filo metallico conduttore. Questo modello ci permette anche di apprezzare il
vantaggio della simmetria assiale:
Si definisce la distribuzione di cariche infinitesime come:
Al posto del precedente è stato
inserito x, conseguentemente si
è cambiato il simbolo con .
Vista la presenza di simmetria assiale, ci si aspetta che le linee di forza rispettino questa caratteristica. E’
possibile trovare la distanza di un corpo di prova P dalla retta, e utilizzando il principio di sovrapposizione è
possibile calcolarne il campo:
Si definisce
il vettore campo per una generica carica appartenente al filo:
E per simmetria si ottiene:
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(Fisica 2)
C
h
e
Le componenti non ortogonali al filo si annullano, ed è possibile calcolare il modulo del campo
moltiplicando il tutto per il versore , quindi:
Poiché si ha una distribuzione di cariche continua, si effettua un integrale; analizzando la precedente
espressione si può notare subito che la variazione dell’angolo è possibile tra – e , mentre r è una
grandezza variabile di per se. Per ovviare ciò si può esprimere r e dx in funzione dell’angolo tramite
considerazione trigonometriche. Le espressioni precedenti diventa:
Risolvendo l’integrale definito e applicando la simbologia vettoriale si ottiene:
Osservazioni:
1. La simmetria rende calcolabile il campo con maggiore semplicità
2. Come sottolineato dalla simmetria, le linee di forza sono aperte
3. Il campo muore con l’inverso della distanza, (muore meno brutalmente [cit.]) poiché si ha la somma
di contributi di infinite cariche.
Altro caso interessante è una distribuzione di cariche ad anello, con carica di prova su asse, in questo modo
è possibile sfruttare ancora una volta la simmetria e considerando un anello e considerando un anello di
raggio da 0 a sarà possibile studiare il caso del campo di un piano infinito. Quindi si prenda in
considerazione una carica infinitesima di un archetto di circonferenza:
e sempre con il principio di sovrapposizione, l percorre tutti gli archetti:
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(Fisica 2)
O
h
e
E per simmetria si ha:
O
h
e
Integrando:
Ancora una volta è possibile sfruttare la trigonometria e il teorema di Pitagora per semplificare
l’espressione sovrastante:
Osservazioni:
1. Supponendo di spostarsi molto lontano, il raggio al quadrato si semplificherebbe poiché
ottenendo:
,
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(Fisica 2)
2. Se si avesse la carica al centro dell’anello e se il segno fosse concorde si avrebbe una posizione
instabile, mentre con cariche opposte si avrebbe una posizione di equilibrio. Inoltre per piccoli
spostamenti la carica sarebbe vittima di un moto oscillante intorno al punto di equilibrio:
E tornando alla situazione di equilibrio, per
si ha:
Per quanto riguarda un piano infinito, si avrebbe una distribuzione di carica superficiale del tipo:
Al posto del precedente è stato
inserito S, conseguentemente si è
cambiato il simbolo con .
E poiché la superficie è di tipo rettangolare, la sua area, calcolabile come base per altezza, sarebbe:
è l’altezza, mentre
è la base.
Sostituendo il tutto nell’equazione vettoriale del campo elettrico, si ha:
Questo risultato ha una grande rilevanza per la futura trattazione dei condensatori che, dal punto di vista di
una carica infinitesima, possono essere visti come piani infiniti:
In virtù delle precedenti esperienza è possibile affermare che il campo elettrico può essere utilizzato per
esercitare forze sulle cariche. Una geometria tipica è quella longitudinale, il cui obbiettivo è accelerare le
cariche elettriche o meglio deviarle. Presi in considerazione due elettrodi, uno positivo e l’altro negativo,
per effetto fotoelettrico (un fotone con la giusta lunghezza d’onda, quindi con la giusta energia,
può essere allontanato dalla superficie di un metallo) o termoionico (aumento della temperatura di un
metallo, incentivando anche il moto delle particelle) si estrae un elettrone dall’elettrodo negativo, in modo
da sfruttare la forza repulsiva per cariche di segno concorde:
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(Fisica 2)
-
L’elettrone è caratterizzato da un moto uniformemente accelerato, infatti:
Quindi partendo con una certa velocità iniziale pari a zero, la particella arriverà all’elettrodo positivo con
una certa velocità finale :
Chiaramente si definisce geometria longitudinale poiché geometria e campo elettrico accelerante sono
paralleli. Applicando un foro al secondo elettrodo, è possibile generare un fascio di elettroni collimato con
velocità parallele (nonostante bisogni tener conto di un certo angolo di dispersione) e tutte con la stessa
energia cinetica pari a
Ponendo tutte nel vuoto, per evitare collisioni con altri atomi dell’aria, è
possibile costruire un cannone elettronico, classico impianto applicato alle vecchie televisioni:
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