Potenziale elettrostatico e lavoro

Potenziale
elettrostatico e lavoro
  Potenziale
elettrostatico
  Energia potenziale elettrostatica
  Esempi
  Moto di una carica in un potenziale e.s.
Potenziale elettrostatico
 
Campo e.s. generato da una carica puntiforme
!
!# q
!
q er
E=
= !" %
2
4!" 0 r
$ 4!" 0
!
!
V ( r ) -V ( r0 ) =
q
V (r) =
+C
4!" 0 r
!
r
#
!
r0
!
r
!
1&
( = !"V (r)
r'
!
! !
!
!V " dr = - # E " dr =
!
r0
!
r0
#
!
r
! !
E " dr
scegliendo lo zero all infinito: C=0
Potenziale elettrostatico
 
In base al principio di sovrapposizione
!
V (r ) =
"
#
!
r
" !
! !
!
qi
1
E ! dr = $ # Ei ! dr = $
! !
!
4!" 0 | r % ri |
i r
i
Il potenziale generato da un insieme di cariche
puntiformi e` dato dalla somma dei potenziali generati
da ciascuna di esse.
Potenziale elettrostatico
(defininizone operativa)
 
 
 
 
 
Le forze elettrostatiche sono conservative
Cariche in posizioni fissate
Carica di prova q da A a B: ferma in A, ferma
in B  non cambia la sua energia cinetica
No scambi energetici tra q e le cariche che
generano il campo
W=WextAB+WelAB=WextAB+q(VA-VB)=0
ext
AB
W
VB − VA =
q
ext
AB
W
VB =
+VA
q
Lavoro e forza elettromotrice
tensione elettrica
=0
campo elettrostatico
forza elettromotrice
f.e.m.
(forma locale: eq. di Maxwell)
 
B
!
A
In un campo elettrostatico la f.e.m. e` sempre
uguale a zero
! !
F " dx = U A # U B
energia potenziale elettrostatica
B
!
A
! !
E " dx = VA #VB
potenziale elettrostatico
U=qV
Forza elettromotrice
!
F forza su una carica q (anche meccanica, chimica)
!
!
campo elettromotore
F = qE
C1
A
B lavoro compiuto dalla forza per spostare la carica da A a B
lungo la curva C1
tensione
elettrica tra
A e B relativa
a C1
In generale:
f.e.m.
relativa al
circuito
Differenza di potenziale
 
In presenza di un insieme discreto di cariche
puntiformi
qi # 1 1 &
VA !VB = "
%% ! ((
rBi '
i 4!" 0 $ rAi
Lavoro della forza elettrostatica per lo spostamento di una
carica q da A a B
!WA"B = U A #U B = #!U
!U = U finale " U iniziale = U B " U A
!W = "!U
Potenziali da distribuzioni
continue di carica elettrica
dq
dV =
4!" 0 r
Unita` di misura
[W ]
[V ] =
[Q ]
Volt
!
!
F = qE
[F ] N
[E] =
=
[q] C
1J
1V=
1C
[V ] V
[E] =
=
[L] m
Potenziale
 
Calcolo del campo elettrico:
 
 
3 integrali sulle distribuzioni di carica (~ xi/r3)
potenziale 1 integrale (~ 1/r) + 3 derivate
 
Differenze di potenziale (gradiente) = forza
 
Concetto primitivo rispetto a quello di forza
Esempio
q3
Cariche ai vertici di un triangolo
equilatero.
r3
Calcolare il potenziale nel centro
C del triangolo.
r1
q1
C
a
3
r2
q2
1 ! q1 q2 q3 $
3
VC = V1 +V2 +V3 =
(q1 + q2 + q3 )
# + + &=
4!" 0 " r1 r2 r3 % 4!" 0 a
Esempio
Potenziale elettrostatico generato sull asse di un filo uniformemente
carico
y dV = dq
4!" 0 r
P
r = x2 + y2
y
dq=λdx
x
-l
dx
x
+l
2l
oppure ... formulario:
y2 + l 2 + l
!
V ( y) =
log
4"# 0
y2 + l 2 ! l
x2
dx
x1
2
∫ (x
+d
2
2
)
= ln x + x + d
!
!
dV
E = !"V # E( y) = !
dy
2
x2
x1
y2 + l 2 + l
dV
! d
E( y) = !
=!
log
dy
4"# 0 dy
y2 + l 2 ! l
E( y) =
2! l
4"# 0 y l 2 + y 2
V(y) singolare per l → ∞
=
q
4"# 0 y l 2 + y 2
E(y) regolare per l → ∞
y2
2l +
2
!
!
4l
! "
2l !
V ( y) !
log
log
=
#log(2l) ! log y $%
2
2
4"# 0
4"# 0
2"# 0
y
y
2l
termine formalmente infinito si elide nelle differenze di potenziale
Esempio
 
Potenziale sull asse centrale di un disco sottile uniformemente
carico con densita` superficiale di carica σ
dq
dV =
4!" 0 d
! dA = ! 2" rdr = ! 2" rdr
=
4"# 0 d
4"# 0 d
4!" 0 r 2 + z 2
=
!
2" 0
rdr
r2 + z2
d = r 2 + z2
dA = 2! rdr
!
V (z) =
2" 0
(
2
2
R +z !z
)
(per z>0)
Esempio:
potenziale tra due piani
indefiniti con densita` di carica +σ e -σ
z
z2
h
z1
dV = !Edz
-σ
! ! !
E = ez
"0
V = !Ez + C
+σ
!
V = ! z +C
"0
V
V1
V2
z1
z2
z
!
V (z1 ) !V (z2 ) = h
"0
Energia potenziale
elettrostatica
Nel campo elettrostatico generato dalla carica Q, l energia potenziale
di una carica q e`:
Q
U (r) = qV (r) = q
4!" 0 r
! !
= " $ F # dr = U A " U B = "!U
B
!W
elettr
AB
A
!W elettr
=
r"#
#
%
r
# !
! !
!
F $ dr = & % 'U $ dr = &()U # &U (r)*+ , U (r)
r
Energia potenziale
elettrostatica
!W elettr
=
r"#
#
%
r
# !
! !
!
F $ dr = & % 'U $ dr = &()U # &U (r)*+ , U (r)
r
Energia potenziale elettrostatica di una carica q =
lavoro compiuto dalla forza elettrostatica per portare la
carica q dal punto in cui si trova all’infinito
Energia potenziale
elettrostatica
!W elettr
=
r"#
#
%
r
# !
! !
!
F $ dr = & % 'U $ dr = &()U # &U (r)*+ , U (r)
r
Energia potenziale elettrostatica di una carica q =
lavoro compiuto da una forza esterna per portare la carica q
dall’infinito al punto considerato
Energia potenziale
elettrostatica
ΔU = −ΔW
Cariche dello stesso segno (qQ > 0)
 
U (r) > 0
 
  forza elettrostatica repulsiva
  nell allontanamento l energia potenziale diminuisce
  lavoro fornito dalla forza elettrostatica verso l’esterno
  (lavoro negativo della forza esterna)
Cariche di segno opposto (qQ < 0)
U (r) < 0
  forza elettrostatica attrattiva
  nell allontanamento l energia potenziale aumenta
  lavoro compiuto dalla forza per allontanarle
Energia potenziale di un
sistema di N cariche fisse
Sistema = carica q + N sorgenti di campo elettrostatico
Energia potenziale del sistema: Uq+Usorgenti
Le sorgenti sono fisse: Usorgenti sparisce dalle
differenze di potenziale
!U = !U q
Energia potenziale di un
sistema di N cariche fisse
(qi , q j ) ! U ij =
qi q j
4!" 0 rij
Somma sulle coppie e divisione per due (double counting)
Ignoriamo il termine di autoenergia
N
N
1
1
U = ! U ij = ! qi qi
2 i , j=1
2 i , j=1 4!" 0 rij
N
=
qj
1
qi
!
2 i , j=1 4!" 0 rij
N
1
= ! qiVij
2 i , j=1
Moto di una carica in un
campo elettrostatico
!
  Carica q in un campo elettrostatico E
!
!
!
F = qE = ma
!
! d x q !
a= 2 = E
m
dt
2
 
In un campo elettrostatico possiamo usare la
conservazione dell energia meccanica totale
Moto di una carica in un
campo elettrostatico
 
Campo elettrostatico costante lungo l asse z
1
1
2
m v B + U B = m v 2A + U A
2
2
U = qV (z) = !qEz + C
1
1
2
m v B ! qEz B = m v 2A ! qEz A
2
2
2q
v =v +
E(z B ! z A )
m
2
B
2
A
L elettronvolt (eV)
 
Energia cinetica acquistata da una carica e
accelerata da una differenza di potenziale di 1 V
1 eV = e!V = (1.6 " 10#19 C) " (1 V) = 1.6 " 10#19 J
Scale energetiche tipiche
  membrana cellulare:
10-2 - 10-1 eV
  elettrone atomo H
27 eV
  energia delle reazioni nucleari (stelle):
MeV
  energia della unificazione elettrodebole: 100 GeV
(1 MeV = 106 eV)
(1 GeV = 109 eV)
  energia di Grande Unificazione :
1015 GeV (Forza forte ~ elettrodebole)
  energia di Planck:
1019 GeV
(Forza gravitazionale ~ come le
altre)