Esercizi per la sesta settimana di lezione

Compiti di Analisi Matematica 1
Ing. Elettronica, a.a. 2013/2014. Politecnico di Milano
Settimana 6
Prof. M. Bramanti
Argomento: Limiti di funzioni, stime asintotiche. Definizione di derivata e derivate
delle funzioni elementari. Funzioni iperboliche.
Riferimenti di studio:
Libro di testo, cap.2, §3.6, §4.4, cap.3, §3.1, 3.2, 3.3; cap.4, §1, 2.1, 2.2, 2.3.
Eserciziario, Cap.3, §3.3.
Osservazione: i limiti notevoli che abbiamo studiato a lezione vanno studiati e
memorizzati prima di iniziare a fare esercizi. Cercate cioè di svolgere gli esercizi senza aver
bisogno di consultare volta per volta le formule richieste.
A. Proprietà e utilizzo del simbolo di "Asintotico". Dopo aver ben studiato il§3.3
dell'eserciziario e i relativi esempi svolti, fare almeno metà degli esercizi 3.96-3.128
(dall'eserciziario).
B. Calcolo dei limiti. Fare (o rifare, se già svolti in aula) almeno metà degli esercizi
3.129-3.215.
(Ri)fare i seguenti esercizi sui limiti di successioni (in parte già svolti), utilizzando anche
le tecniche di stime asintotiche e limiti notevoli (quando ciò è utile):
3.16, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24, 3.36, 3.37, 3.38.
C. Utilizzando la definizione di derivata, dimostrare (per conto vostro, senza cercare sul
libro di testo!) quanto segue:
se 0 ß 1 À ‘ Ä ‘ sono funzioni derivabili e - è una costante (reale), allora:
a0 € 1bw aBb œ 0 w aBb € 1w aBb
a-0 bw aBb œ -0 w aBb
a0 a-Bbbw œ -0 w a-BbÞ
La terza relazione significa che ad esempio asina$Bbbw œ $cosa$Bb.
D. Calcolare in base alla definizione di derivata:
atanBbw .
Suggerimento: non utilizzare il teorema (non ancora studiato a lezione) sulla derivata del
quoziente; invece, applicare proprio la definizione di derivata come limite del rapporto
incrementale, e sfruttare la formula di addizione per la funzione tangente:
tana! € "b œ
tan! € tan"
.
"  tan!tan"
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E. Utilizzando la definizione di derivata, stabilire (ragionando per conto vostro, senza
consultare il libro di testo!) se esistono o meno le derivate delle seguenti funzioni nei punti
specificati:
$
0 aBb œ È
B in B œ !à
0 aBb œ kBk in B œ !à
0 aBb œ B%Î$ in B œ !à
0 aBb œ BlogkBk in B œ ! (dove si intende che 0 a!b œ !).
F. Fare i seguenti esercizi sulle funzioni iperboliche inverse:
2.103-2.108 (dall'eserciziario).
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