Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche

Applicazioni tecnologiche della luce
polarizzata
Fisica Generale B
monitor e
televisori LCD
12. Polarizzazione delle Onde
Elettromagnetiche
fotoelasticità:
studio degli
sforzi di una
struttura
http://campus.cib.unibo.it/2485/
Domenico
Galli
occhiali antiriflesso
April 20, 2011
Digitally signed by Domenico Galli
DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal
Certificate, l=Bologna, cn=Domenico
Galli
Date: 2011.04.20 17:26:45 +02'00'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
Trasversalità del Campo Elettromagnetico
Trasversalità del Campo Elettromagnetico
(II)
!
•! Posto u = r i ŝ ! vt , si ha:
•! Abbiamo visto che le componenti dei campi elettrico e magnetico di
un’onda elettromagnetica soddisfano l’equazione di d’Alambert:
1 #2"
! "= 2 2 ,
v #t
2
! ! !
!
E = E r i ŝ ! vt = E u
!
!
!
"E dE "u
dE
=
= !v
"t du "t
du
!
! !
"E
dE y
"Ez
dEz "u dE y "u dEz
%
dE (
y
!
=
!
=
s !
s = ŝ $
#$ E =
x
"y
"z
du "y du "z du y du z '&
du *) x
!
! !
dE
# $ E = ŝ $
du
(
" = Ex , E y , Ez , Bx , By , Bz
ma non ci siamo fino a ora preoccupati della relazione tra tali
componenti.
(
•! Abbiamo trovato che una soluzione di tale equazione è l’onda piana
progressiva:
( )
(
!
!
! r ,t = !1 r i ŝ " vt
•! Per cui:
! !
"$ E = E
#! !
%$ B = B
2!
)
)
()
)
e analogamente:
!
!
% !B
dB
= "v
''
!t
du !
&! !
'# $ B = ŝ $ dB
'(
du
( r! i ŝ ! vt )
( r! i ŝ ! vt )
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3!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
4!
Trasversalità del Campo Elettromagnetico
(III)
Trasversalità del Campo Elettromagnetico
(IV)
•! Le leggi di Ampère-Maxwell e di Faraday-Lenz diventano:
•! Da queste si ottiene:
!
!
E = !v ŝ " B #
! 1
! %$ '
B = ŝ " E %
v
&
!
!
!
!
&
$E
dE
1 dE
dB ! !
=
"
!
B
=
#µ
=
%
#µ
v
=
%
ŝ
!
((
du!
$t
v du
!
! du
'
! !
$
B
d
B
d
E
(ŝ !
="! E =%
=v
()
$t
du
du
y
z
!
B
x
!
E
!
!
E =v B
y
5!
Densità e Flusso di Energia del Campo
Elettromagnetico
"1 2 1 2 2
! E + !v B = ! E 2
1 2 1 2 $$ 2
2
w = ue + um = ! E +
B =#
2
2
2
2µ
$ 1 E + 1 B2 = B
$% 2 µv 2 2 µ
µ
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ŝ
z
6!
•! Abbiamo visto che possiamo scrivere la funzione d’onda di un’onda
monocromatica piana progressiva nella forma:
! !
!
! r ,t = Acos " t # k i r + $
( )
1
!µ
E = vB
v2 =
(
)
%'! = Ex , E y , Ez , Bx , By , Bz
&
'( A = E0 x , E0 y , E0 z , B0 x , B0 y , B0 z
•! Se prendiamo un’onda che si propaga nella direzione positiva
dell’asse z, si ha, più semplicemente:
1 2 1 2
B2
!E +
B = ! E2 =
µ
2
2µ
( )
(
! z,t = Acos " t # kz + $
•! Ovvero, posto ! = ! 2 " !1:
•! Il vettore di Poynting è:
( )
( )
( )
(
(
)
%'! = Ex , E y , Bx , By
&
(' A = E0 x , E0 y , B0 x , B0 y
)
)
$ Ex z,t = E0 x cos ! t " kz + #1
&&
% E y z,t = E0 y cos ! t " kz + # 2 = E0 y cos ! t " kz + #1 + #
&
&' Ez z,t = 0
!
B2
S = !v E 2 ŝ = v
ŝ = v wŝ
µ
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!
B
Onde Piane Monocromatiche
•! La densità di energia del campo elettromagnetico è data da:
#"v 2 EB = " v E 2
1 ! !
EB %
E!B =
S=
= $v B B
B2
µ
µ %
=v
µ
& µ
ŝ
•! Inoltre i vettori campo elettrico e campo magnetico
sono sempre perpendicolari tra di loro. Si ha infine:
!
!
# E = !v ŝ " B
%
!
$! 1
% B = ŝ " E
v
&
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w = ue + um =
!
" E ! ŝ
$!
# B ! ŝ
$ E! ! B!
%
•! I campi sono trasversali, ovvero i vettori campo elettrico e campo
magnetico giacciono su di un piano perpendicolare alla direzione di
propagazione.
•! Poiché E e B sono funzione della sola variabile u, possiamo integrare
rispetto a u e otteniamo:
!
1 !#
ŝ ! B = " E %
v! $ '
!
ŝ ! E = v B %&
!
E
x
7!
(
)
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8!
Polarizzazione Ellittica
•! Si ha perciò:
( )
( )
(
(
Polarizzazione Ellittica (II)
x
Ex
)
$& Ex z,t = E0 x cos ! t " kz + #1
%
'& E y z,t = E0 y cos ! t " kz + #1 + #
)
z
Ey
2
Ey
# E &
Ex
cos ! "
= 1 " % x ( sin !
E0 x
E0 y
$ E0 x '
z
Ex2
•! Cerchiamo quindi l’equazione della curva descritta dal vertice del
!
x
vettore E:
Ex
= cos ! t " kz + #1
E0 x
(
Ey
E0 y
)
(
ŝ
y
)
= cos ! t " kz + #1 + # =
(
E02x
E
)
(
y
)
= cos ! t " kz + #1 cos # " sin ! t " kz + #1 sin # =
!
E
2
$ E '
=
cos # " 1 " & x ) sin #
E0 x
% E0 x (
Ex
Ex2
z
E02x
Ey
x
E
E
+
E02y
!2
9!
ŝ
y
z
#
Ex E y
E2 &
cos ! = % 1 " 2x ( sin 2 !
E0 x E0 y
E0 x '
$
Ex E y
cos " = sin 2 "
E0 x E0 y
E0 y y
x
z
y
!
E
! E0 x
!
B
ŝ
z
!
E
Ey
x
Ex E0 x
! E0 y
10!
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Polarizzazione Ellittica (IV)
x
Ey
E
!2 x
cos " = sin 2 "
E0 x E0 y
E02y
E02y
"2
z
Polarizzazione Ellittica (III)
E y2
+
E y2
E
Ex
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2
x
2
0x
cos 2 ! +
2
y
!
E
!
E
•! La polarizzazione ellittica può essere destrorsa o sinistrorsa:
ŝ
y
–! Si dice per convenzione destrorsa se un osservatore che guarda nella
direzione da cui proviene la luce vede il vertice del vettore campo
elettrico descrivere l’ellisse in senso orario.
z
•! Si tratta dell’equazione di un’ellisse, in
quanto risulta positivo il determinante:
1
E02x
det
!
cos "
E0 x E0 y
!
cos "
E0 x E0 y
1
E02y
=
1
sin 2 "
1 ! cos 2 " = 2 2 # 0
2
E0 x E0 y
E E0 y
2
0x
(
)
y
•! Si dice quindi che l’onda è polarizzata
ellitticamente.
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polarizzazione ellittica sinistrorsa
!
E
x
x
11!
!
E
y
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ŝ
z
12!
Polarizzazione Lineare
Polarizzazione Lineare (II)
•! Se:
•! Le componenti del campo elettrico di un’onda
piana progressiva, monocromatica, polarizzata
! E0 x
linearmente sono:
! = ! 2 " !1 = m# , m $!
allora l’ellisse degenera in una retta:
( !1)m
0
2
!
2
!
Ex
E02x
2
x
2
0x
E
E
+
+
Ey
E02y
E
2
y
2
0y
E
Ex
! !1
E0 x
( )
!2
Ey
Ex
cos " = sin 2 "
E0 x E0 y
( )
! 2 !1
m
( )
( )
Ey
E0 y
m
Ex E y
E0 x E0 y
$ E
= 0 # & x ! !1
% E0 x
( )
( )
=0 # E
Eyy == !1
!1
m
m
E00yy
E
E00xx
E
Exx
E
m
Ey '
) =0
E0 y (
y
! E0 x
polarizzazione lineare. E0y = 0
!
E
E0 y
Ey
!
E
x
x
! E0 y
Ex E0 x
ŝ
y
13!
%
#
'! = ! 2 " !1 = ± m# , m $!
&
2
'( E0 x = E0 y = E0
! E0
l’ellisse si riduce a una circonferenza:
2
y
2
0
E
E
+
E
E
= 1 # Ex2x2 + EEy2y2 == EE0202
Ex
! E0 y
x
Ex E0 x
z
Ey
z
z
m=1
! = ! 2 " !1 = #
Ey
z
14!
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Polarizzazione Circolare (II)
•! Se invece risulta:
2
x
2
0
m = 0,1
!
E
Ex
z
!
B
Polarizzazione Circolare
1
0
E
Ex E y ! !
E
+
!2
cos " = sin 2 "
E0 E0
E
E
)
m=0
! = ! 2 " !1 = 0
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2
y
2
0
)
2
e l’onda e.m. si dice polarizzata linearmente.
2
x
2
0
(
(
%' Ex z,t = E0 x cos ! t " kz + #1
&
'( E y z,t = E0 y cos ! t " kz + #1 + m$
y
E0 y
Ey
E0 y
Ey
•! Le componenti del campo elettrico di un’onda piana progressiva,
monocromatica, polarizzata circolarmente sono:
!
E
Ex E0
x
! E0
Ex
Ey
z
z
e l’onda e.m. si dice polarizzata circolarmente.
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( )
( )
)
m = ±1
•! Se m = 1 la polarizzazione circolare è destrorsa. Se invece m = !1 la
E0 y
polarizzazione circolare è sinistrorsa.
Ex
Ey
15!
(
+ Ex z,t = E0 cos ! t " kz + #1
,
%
$(
- E y z,t = E0 cos ' ! t " kz + #1 + m *
2)
&
.
(sinistrorsa)
z
z
Ex
Ey
! E0
(destrorsa)
!
E
Ey
Ex E0
z
z
x
! E0
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16!
Luce Non Polarizzata e Parzialmente
Polarizzata
Luce Non Polarizzata e Parzialmente
Polarizzata (II)
•! Il motivo del fatto che la luce di una lampada non è polarizzata sta
nel fatto che in ogni diseccitazione viene emesso un treno d’onde di
lunghezza limitata:
•! Le onde elettromagnetiche emesse da un’antenna sono sempre
polarizzate linearmente:
–! Il campo elettrico è parallelo al dipolo di antenna.
–! Può anche avere la medesima frequenza degli altri treni d’onde;
–! Ma ha la fase delle due componenti perpendicolari alla direzione di
propagazione (e dunque lo stato di polarizzazione) che è casuale.
•! La luce visibile emessa da una lampada, e più in generale le onde
elettromagnetiche emesse in diseccitazioni atomiche o molecolari,
invece non sono polarizzate.
Treno d’onde
polarizzato
linearmente
#)!&))#
!"#$%&!!'!("&
Treno d’onde
polarizzato
circolarmente
17!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
Luce Non Polarizzata e Parzialmente
Polarizzata (III)
•! Se invece la direzione del campo elettrico ha una
direzione preferenziale allora si dice che l’onda è
parzialmente polarizzata.
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18!
Produzione di Onde Polarizzate
•! Nell’onda che risulta dalla sovrapposizione di tanti treni d’onda con
fase e ampiezza casuale (luce casuale) il vertice del vettore campo
elettrico descrive, in generale, una curva irregolare e fortemente
caotica nel piano perpendicolare alla direzione di propagazione
ondosa.
•! Se la direzione del campo elettrico non ha una
direzione preferenziale si dice che l’onda non è
polarizzata.
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y !
E
•! Esistono diversi metodi per produrre onde elettromagnetiche
polarizzate. Tra essi:
–! Polarizzazione per emissione selettiva;
–! Polarizzazione per assorbimento selettivo;
–! Polarizzazione per diffusione singola;
x
–! Polarizzazione per riflessione.
y E!
x
19!
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20!
Polarizzazione per Emissione Selettiva
Polarizzazione per Assorbimento Selettivo
•! Se si fa passare un’onda radio attraverso un fascio di fili conduttori
paralleli, la componente del campo elettrico nella direzione dei fili
provoca il moto degli elettroni su di essi.
•! Quando al dipolo di un’antenna viene applicata una f.e.m. alternata, il
dipolo emette onde elettromagnetiche polarizzate aventi il campo
elettrico parallelo al dipolo.
•! L’energia trasferita dal campo incidente agli elettroni viene in parte
dissipata in calore per effetto Joule e in parte irradiata nuovamente
in onde elettromagnetiche.
•! L’irraggiamento in avanti è in controfase con
l’onda incidente e quindi annulla verso avanti la
radiazione incidente;
#)!&))#
!"#$%&!!'!("&
•! L’irraggiamento indietro produce
un’onda riflessa.
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21!
Polarizzazione per Assorbimento Selettivo
(II)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
Polarizzazione per Assorbimento Selettivo
(III)
•! Dunque la componente dell’onda nella direzione dei fili risulta
fortemente attenuata. La componente perpendicolare ai fili non viene
invece attenuata.
•! Un foglio di plastica, formato da lunghe catene di idrocarburi,
subisce uno stiramento in una certa direzione che allinea le molecole.
•! Affinché il dispositivo sia efficace, la distanza tra i fili deve essere
dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d’onda dell’onda
incidente.
•! Poi il foglio viene immerso in una soluzione contenente iodio, che si
attacca alle catene di idrocarburi e fornisce gli elettroni di
conduzione, che possono muoversi lungo le catene ma non
perpendicolarmente a esse.
•! Non è possibile perciò costruire un dispositivo a fili
che polarizzi la luce visibile.
•! Il polarizzatore possiede perciò un asse, detto asse di trasmissione
facile.
•! Nel 1938 Edwin H. Land inventò il
polarizzatore, un materiale plastico che
si comporta come un fascio di fili nello
spetto visibile.
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22!
–! La componente del campo elettrico lungo tale asse viene trasmessa con
buona efficienza (~60%);
–! La componente perpendicolare a tale asse si riduce fortemente (~10!4).
23!
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24!
Legge di Malus
Legge di Malus (II)
•! L’ampiezza dell’onda passa dal valore E01 dopo il primo polarizzatore
al valore:
•! Consideriamo un fascio di luce non polarizzata che attraversa, uno di
seguito all’altro, due polarizzatori, i cui assi di trasmissione facile
formano un angolo !.
•! Dopo il primo polarizzatore
la luce è polarizzata
linearmente lungo l’asse di
trasmissione facile del
primo polarizzatore:
!
E1 z,t = E01ê1 cos ! t " kz + #
( )
(
(
)
(
•! Se si definisce intensità luminosa la quantità:
I = E2 =
ê1
w S
=
! !v
si ha:
•! Dopo il secondo polarizzatore rimane soltanto
il componente di E1 in direzione ê2 :
( )
)
dopo il secondo polarizzatore.
!
)
!
E2 z,t = E01 ê1 i ê2 ê2 cos ! t " kz + #
(
E02 = E01 ê1 i ê2 = E01 cos!
ê2
)
ê2
( ê i ê ) ê
1
2
!
ê1
(legge di Malus)
•! Se i polarizzatori sono incrociati (! = 90º) si ha I2 = 0.
2
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I 2 = I1 cos 2 !
25!
Polarizzazione per Diffusione Singola
26!
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Polarizzazione per Riflessione
•! Se, in una giornata limpida, si osserva attraverso un polarizzatore il
cielo azzurro a circa 90º dal Sole, ci si accorge che la luce è
polarizzata (ruotando il polarizzatore varia l’intensità).
•! Quando la luce si riflette sulla superficie che separa due mezzi con
diverso indice di rifrazione, essa si polarizza (questo non accade
nella riflessione su di una superficie metallica).
•! Gli elettroni delle molecole di aria si comportano come oscillatori,
forzati dalla luce incidente:
•! Gli elettroni, nel secondo mezzo, oscillano in un piano perpendicolare
al raggio rifratto e così producono anche l’onda riflessa.
–! Essi oscillano nel piano perpendicolare a z.
•! La componente di tale oscillazione
che giace nel piano di incidenza (il piano
che contiene raggio incidente, raggio
riflesso e raggio rifratto) ha una
componente molto piccola sul piano
normale al raggio riflesso.
x
–! Oscillando essi ri-emettono luce in tutte
le direzioni (diffusione).
•! L’oscillazione sul piano yz viene vista
dall’osservatore tanto più attenuata
quanto maggiore è l’angolo !diff.
•! Se l’angolo !diff vale 90º allora la
polarizzazione è totale.
y
! diff
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!
1
2
!
z
27!
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
28!
Polarizzazione per Riflessione (II)
Polarizzazione per Riflessione (III)
•! Tale componente è nulla se il raggio riflesso e il raggio rifratto
formano tra loro un angolo di 90º.
•! La polarizzazione per riflessione è totale se l’angolo di incidenza
vale:
! B = arctan
•! In tale condizione il raggio riflesso è totalmente polarizzato.
•! Poiché, per la legge di Snell, la relazione tra l’angolo di rifrazione e
l’angolo di riflessione si scrive:
sin ! r
sin ! t
=
sin ! i n2
=
sin ! t n1
la condizione ! r + ! t = 90º implica che:
sin ! i
!i !
r
sin ! i n2
#
=
cos! i n1
n
= 2
n1
sin 90º "! i
n2
tan ! i =
n1
(
!
)
!t
!
!
29!
!
1
2
!
30!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
Lamine di Ritardo (II)
•! Esistono materiali anisotropi (come la calcite), detti birifrangenti,
che hanno diversi indici di rifrazione per diverse direzioni di
polarizzazione.
•! Poiché:
k=
Ex
•! Consideriamo un’onda progressiva, piana,
monocromatica che si propaga in
direzione z:
!
E
!
E z,t = E0 x cos ! t " kz + # x ı̂ + E0 y cos ! t " kz + # y !ˆ
(
)
Ex
Ey
!
E
asse
veloce
O
!
E 0,t = E0 x cos ! t + " x ı̂ + E0 y cos ! t + " y !ˆ
( )
(
)
(
)
asse
lento
!z
!
%
(
%
(
! nv
! nl
E #z,t = E0 x cos ' ! t $
#z + " x * ı̂ + E0 y cos ' ! t $
#z + " y * !ˆ
c
c
&
)
&
)
(
O
Ey
! !n
=
c
v
si ha, sulle due facce della lamina:
•! Per una lamina di tale materiale, se il campo elettrico è diretto lungo
il cosiddetto asse lento, l’indice di rifrazione vale nl, mentre se il
campo elettrico è diretto lungo il cosiddetto asse veloce, l’indice di
rifrazione vale nv < nl.
asse veloce
)
!i !
r
!t
!
Lamine di Ritardo
(
(angolo di Brewster)
1
2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
( )
n2
n1
)
•! Lo sfasamento tra le 2 componenti, prima e dopo la lamina vale:
asse lento
! = !x " ! y
!z
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
(
! # = ! x " ! y + nl " nv
31!
) $ c%z
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
32!
Lamine di Ritardo (III)
Lamine di Ritardo (IV)
•! Se su di una lamina a quarto d’onda incide un’onda e.m. polarizzata
linearmente a 45º rispetto agli assi della lamina, all’uscita della lamina
la polarizzazione è circolare:
•! La lamina ha perciò introdotto tra le due componenti uno sfasamento
aggiuntivo:
(
!" = nl # nv
) $c!z = 2&% ( n # n ) !z
l
!
ˆ
E z,t = E0 cos ! t " kz ı̂ + E0 cos ! t " kz !,
z<0
!
ˆ z > %z
E z,t = E0 cos ! t " kz + # + $ 2 ı̂ + E0 cos ! t " kz + # !,
( )
( )
v
0
•! In particolare si chiama lamina a quarto d’onda una lamina in cui:
!" = # 2
$
1
!z = 0
4 nl % nv
e lamina a mezza onda una lamina in cui:
!" = #
!
E
Ex
Ey
$
1
!z = 0
2 nl % nv
)
asse veloce
O
)
asse lento
)
z = !z
z
z
(polarizzazione lineare)
33!
Intensità Luminosa
(polarizzazione circolare)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
34!
Intensità Luminosa (II)
•! Abbiamo definito intensità luminosa la quantità:
•! Se scriviamo la funzione d’onda nella forma:
!
i (! t " kz + # y )
i (! t " kz + # x )
ˆ
ˆ
w S
=
! !v
E = Ex ı̂ + E y ! = E0 x e
si ha:
•! Se si scrive la funzione d’onda utilizzando gli esponenziali immaginari
occorre prestare attenzione al fatto che, per vettori complessi:
I=
! !
a i b = ax*bx + a*y by + az*bz
2
( ( ))
2
!,
E0 x , E0 y $"
! !
! ! ! !
E 2 + E *2 + 2! E i E *
E + E* E + E*
=
i
=
2
2
4
(
)
=
! ! (
#2i(" t#kz +$ y )
#2i " t#kz +$ x )
+ E02y e
+ 2 ! E i E* * =
+ E02x e (
)
! !
! !
1
1
= 0 + 0 + 2 ! E i E* = ! E i E*
4
2
(
(
( )
( ) ( )
35!
))
(
!
!
I = ! E i! E
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
!
! E
ı̂ + E0 y e
1%
2i(" t#kz +$ y )
2i " t#kz +$ x )
= ' E02x e (
+ E02y e
+
4&
( )
( )
)
(
Ey
!z
2
2
!2 ! !
a = a i a = ax* ax + a*y a y + az* az = ax + a y + az
! !
! ! *
b ia = aib
! !
! a + a*
! a =
2
! !
! ! ! ! ! ! ! ! *
a i b + b i a = a i b + a i b = 2! a i b
(
z=0
Ex
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
I = E2 =
(
(
=
! !
1
! E i E*
2
(
(
)
)
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
36!
Matrice di Coerenza e Grado di
Polarizzazione
Matrice di Coerenza e Grado di
Polarizzazione (II)
•! Consideriamo un’onda elettromagnetica parzialmente polarizzata. In
una posizione fissata (z " cost) si ha:
! i $%" t ! # x ( t ) &'
(
()
()
•! L’intensità luminosa, dopo la lamina e il polarizzatore vale:
1
I ! , " = # EE * =
2
1
= # Ex cos! + E y ei" sin ! Ex* cos! + E y*e$ i" sin ! =
2
1
1
= cos 2 ! Ex Ex* + sin 2 ! E y E y* + sin ! cos! # Ex E y*e$ i" =
2
2
2
2
= J xx cos ! + J yy sin ! + 2# J xy e$ i" sin ! cos!
y !
( )
()
()
* Ex t = E0 x t e
)
! i $" t ! # y ( t ) &
'
*+ E y t = E0 y t e %
(
(in generale sia le ampiezze E0x e E0y, sia le fasi "x e "y variano
casualmente nel tempo).
(
Eye
)
E t;! , " = Ex cos! + E y ei" sin !
!
Ex
*
x
1 Ex E
J=
2 E E*
y x
x
()
2
)
J=
I 1 0
2 0 1
P=0
t
() ()
Ea t E t dt
!
Ex
x
38!
()
E y t = E0 y e
! i $" t !# y &
%
'
# = # y ! #x
)
per cui det J = 0, e dunque:
(onda non
polarizzata)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
! i $%" t !# x &'
(
I ! , " = J xx cos 2 ! + J yy sin 2 ! + 2# J xy e$ i" sin ! cos! % cost
*
!
*
b
( E E * = E e! i $%" t !# x &' E e+ i $%" t !# x &' = E 2
0x
0x
0x
* x x
* E E * = E e! i $%" t !# y &' E e+ i $%" t !# y &' = E 2
0y
0y
0y
* y y
)
$" t !# &
+
i
$
&
!
i
"
t
!
#
*
y'
= E0 x E0 y ei#
* Ex E y = E0 x e % x ' E0 y e %
*
*
* E y Ex* = Ex E y* = E0 x E0 y e! i#
+
•! Nel caso di un’onda non polarizzata I(!, #) non deve dipendere né da !,
né da #, per cui si deve avere:
& J xy = J yx = 0
(
'
I
( J xx = J yy =
2
)
Ea E
E y E y*
1
=
T
Eye
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
Ex t = E0 x e
(
*
b
t +T
)
•! Nel caso di un’onda totalmente polarizzata, si ha invece:
4det J
( )
*
y
(
E t,! , "
i!
Matrice di Coerenza e Grado di
Polarizzazione (IV)
•! Si definisce inoltre grado di polarizzazione la quantità:
( Tr J )
Ex E
37!
Matrice di Coerenza e Grado di
Polarizzazione (III)
P = 1!
)
dove si è definita la matrice di coerenza:
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
)
(
•! Supponiamo che tale onda attraversi prima una lamina di ritardo, che
ritardi la componente y di un angolo #, poi un polarizzatore avente
l’asse di trasmissione facile che forma un angolo !
y !
E t,! , "
con l’asse x. La proiezione del campo elettrico in
questa direzione vale:
i!
(
)(
1
J=
2
39!
E02x
E0 x E0 y ei!
E0 x E0 y e" i!
E02y
,
P =1
(onda totalmente
polarizzata)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
40!
Matrice di Coerenza e Grado di
Polarizzazione (V)
Occhiali Antiriflesso
•! In particolare, per polarizzazione lineare in direzione che forma un
angolo ! = 0º, 45º, 90º, 135º con l’asse x, si ha (" = 0):
I 1 1
21 1
J 0º = I
1 0
,
0 0
( )
0 0
I 1 !1
, J 135º =
2 !1 1
0 1
( )
J 90º = I
( )
J 45º =
(
•! Utilizzando polarizzatori si costruiscono occhiali da sole in grado di
attenuare molto più i riflessi della luce diretta.
2!+%'##3+)!+%-*)1/$--'&'%1'!-)&-'
!)%!"#$%('!)*+,,)-)%&$!%(+)&'%4$*-+#)!$
.'!$
!"#$%&'&
!"#$%*+0!$11)
('!)*+,,)-)
0'*-$/$&-$
)--$&")-)
)
•! Mentre per polarizzazione circolare (" = $/2):
J=
!"#$%&'&
('!)*+,,)-)
I 1 ±i
2 !i 1
)#6")
•! Un’onda parzialmente polarizzata ha un grado di polarizzazione P
intermedio tra 0 e 1.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
41!
Cristalli Liquidi
!"#$%5+*$--)
)--$&")-)%/$&'
5$!!)%!"#$%*+0!$11)
!"#$%()*,+)!/$&-$%('!)*+,,)-)
&$!%(+)&'%'*+,,'&-)!$
($*%*+0!$11+'&$
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
Cristalli Liquidi (II)
•! La fase liquido-cristallina si presenta in alcune sostanze a
temperatura intermedia tra quella dello stato solido e quella dello
stato liquido.
•! Alcuni cristalli liquidi possiedono una struttura chirale
(non invariante per riflessione speculare, come le chiocciole
o le viti).
•! In questo stato di aggregazione, le sostanze possiedono in parte le
caratteristiche dei solidi e in parte le caratteristiche dei liquidi.
•! Raffreddando questi cristalli liquidi, essi passano da una
fase isotropa a una fase nematica chirale, in cui le molecole
si dispongono l’una accanto all’altra con un’orientazione
lievemente sghemba.
•! Come i liquidi essi sono fluidi, ma, come i solidi, sono anisotropi nelle
loro caratteristiche ottiche ed elettromagnetiche.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
42!
•! Le molecole così orientate formano un’elica in grado di
ruotare il piano di polarizzazione della luce incidente.
Questa struttura è alla base dei display TN (twisted
nematic).
43!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
44!
Cristalli Liquidi (III)
Cristalli Liquidi (IV)
•! Nei display TN una sostanza in fase nematica chirale è posta tra due
polarizzatori incrociati. Tale sostanza ruota di 90º la
polarizzazione della luce consentendole di passare attraverso i due
polarizzatori.
sub-pixel
buio
sub-pixel
illuminato
polarizzatore
luce
uscente
•! Applicando una differenza
di potenziale attraverso la
cella, le molecole si allineano
con il campo elettrico, si
distrugge la struttura a
elica e la luce non può più
essere trasmessa.
elettrodo
V
V
S
luce assorbita
dal polarizzatore
cristalli
liquidi
S
elettrodo
polarizzatore
luce entrante
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
45!
Cristalli Liquidi (V)
•! I pixel degli schermi
LCD sono composti
da 3 sub-pixel:
pixel
–! Ciascuno filtrato
con i 3 colori
fondamentali della
sintesi additiva.
sub-pixel
rosso
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46!
Cristalli Liquidi (VI)
•! Tramite la sintesi additiva, con tre sub-pixel di colore rosso, verde e
blu si riescono a riprodurre molti colori.
filtro colorato
sub-pixel
verde
sub-pixel
blu
luce
entrante
polarizzatore
cristalli
polarizzatore
liquidi
elettrodo
elettrodo
trasparente
trasparente
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47!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 12. Polarizzazione delle Onde Elettromagnetiche!
48!
http://campus.cib.unibo.it/2485/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica