ESERCITAZIONI DI MICROECONOMIA I

ESERCITAZIONI DI MICROECONOMIA I - Zago
I. CONSUMO
1. Si considerino le seguenti preferenze: u(p, f, s) = 6 ln(p) + 3 ln(f ) + ln(s).
Calcolare la scelta ottima quando pp = 1, 2; pf = 3; ps = 4; m = 20.
[Soluzione: p∗ = 10; s∗ = 1/2; f ∗ = 2.]
1/2 1/3
2. Si considerino le seguenti preferenze: u(x1 , x2 ) = x1 x2 .
2y
3y
; x∗2 = 5p
]
a) Trovare la funzione di domanda. [x∗1 = 5p
1
2
Usare il metodo semplice, quello di Lagrange e di sostituzione del vincolo.
b) Calcolare la scelta ottima quando p1 = 9, p2 = 6, y = 300. [x∗1 = x∗2 =
20.]
c) Di che tipo di beni si tratta, in relazione alla variazione del reddito e
del proprio prezzo? [Curva di Engel: y = 15xi ; beni normali e ordinari.]
3. Si considerino le seguenti preferenze: u(x1 , x2 ) = (x1 − 6)(x2 − 12).
2
2
a) Trovare la funzione di domanda. [x∗1 = m+6p2p1 −12p
; x∗2 = m−6p2p1 +12p
.]
1
2
∗
b) Calcolare la scelta ottima quando p1 = 16, p2 = 8, y = 400. [x1 =
12, 5; x∗2 = 25.]
c) Calcolare l’elasticità della domanda al proprio prezzo e al reddito e
l’elasticità incrociata. [x1 ,p1 = x2 ,p2 = | − 0, 76|; x1 ,m = x2 ,m =
1; x1 ,p2 = x2 ,p1 = −0, 24.]
d) Di che tipo di beni si tratta?
4. La funzione di domanda del succo di pomodoro è data da p = 100 − q.
a) Calcolare il ricavo quando p = 30. [R = 2.100.]
b) Calcolare l’elasticità della domanda in quel punto.
c) Dato il prezzo e la quantità del punto a), conviene aumentare o ridurre
la produzione? E perché?
d) Qual è il prezzo che massimizza i ricavi? [p∗ = 50.]
5. La funzione di domanda del bene è x = 5000 − 1000px .
a) Calcolare il surplus del consumatore (CS) quando px = 4. [CS = 500.]
b) Di quanto varia il CS quando il prezzo diminuisce a p0x = 2? [∆CS =
4.000.]
II. PRODUZIONE
1. Calcolare i rendimenti di scala delle seguenti tecnologie:
a) f (x, y) = 0, 2xy 2 .
b) f (x, y) = x + 7y.
c) f (x, y) = xa y b .
1
2. Il sig. Mario Rossi è il proprietario di una affermata pizzeria nel centro
di Pizzaland. Ha un bel locale con diverse stanze e può disporre di 27
Tavoli, che possono essere considerati fissi nel breve periodo e che costano
1 euro l’uno nel periodo di riferimento. Per produrre le pizze, che costano
al pubblico 10 euro l’una, utilizza manodopera locale con un costo pari a 5
euro per unità. La tecnologia è del tipo f (L, T ) = L1/2 T 1/3 . a) Calcolare
quanto lavoro impiega, quante pizze produce e quali profitti consegue il
sig. Rossi nel breve periodo? [L∗ = 9; Y ∗ = 9; π = 18.]
b) Cosa succede ai valori trovati nel punto a) se il Comune di Pizzaland
decide di tassare i profitti del 50%? [L∗ = 9; Y ∗ = 9; π = 9.]
c) Cosa succede invece se il Comune di Pizzaland per calmierare i prezzi
decide di imporre un prezzo massimo di vendita delle pizze pari a 8 euro?
[L∗ = 5, 76; Y ∗ = 7, 2; π 0 = 1.8.]
d) Riferito al punto c) precedente, una diminuzione del prezzo delle pizze
del 20% porta ad un (aumento/diminuzione?) dei profitti del ... %? [90%.]
e) Quale soluzione preferisce il sig. Rossi, la tassa sui profitti del punto b)
oppure il controllo dei prezzi delle pizze del punto c)? Perché?
3. La tecnologia utilizzata dall’impresa è descritta dalla funzione di produzione seguente: Y = F (L, K) = La K b , con a = b = 1/2. Si assuma che
pL = 30 e pK = 15 siano i prezzi dei fattori lavoro e capitale, rispettivamente. Si supponga poi che pY sia il prezzo dell’output prodotto. Infine,
nel breve periodo, si supponga che la dotazione di capitale sia fissa, con
K = 36 . Si risponda alle seguenti domande:
a) La funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti, decrescenti o costanti?
b) Si calcoli l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale
di breve periodo. [T CS (Y ) = 540 + (5/6)Y 2 ; ACS (Y ) = (540/Y ) +
(5/6)Y ; M CS (Y ) = (5/3)Y.]
c) Quale sarà la domanda di lavoro in equilibrio? [L∗ = ( p10Y )2 .]
d) Quale sarà la combinazione ottimale dei due fattori produttivi nel lungo
periodo, se ipotizziamo che l’impresa intenda sostenere costi totali pari a
C = 1500? [L∗ = 25; K ∗ = 50.]
e) Quale sarà invece la combinazione ottimale degli input√produttivi
ipo√
∗
tizzando
che
la
quantità
da
produrre
sia
data
da
Y
=
25
30
60?
[L
=
√ √
√ √
25 √
30 60
50 √
30 60
∗
;
K
=
.]
2
2
f) Assumiamo ora che la quantità del fattore capitale disponibile sia pari a
K = 30. Quale sarà l’impiego del fattore lavoro, supponendo che l’impresa
intenda produrre la stessa quantità di output considerata nel punto precedente? [L∗ = 37.500.]
g) Si determinino, infine, le espressioni delle √
curve di costo totale,
√ medio e
marginale di lungo periodo. [T CL (Y ) = 30Y 2; ACL (Y ) = 30 2; M CL (Y ) =
√
60/ 2.]
4. Un’impresa utilizza la tecnologia data dalla funzione di produzione Y =
F (L, K) = 2La K b , con a = 2/3; b = 1/3. Siano pL = 20; pK = 10 i prezzi
2
dei fattori lavoro e capitale, rispettivamente, e C = 3000 il costo totale
che l’impresa è determinata a sostenere.
a) Si calcoli la combinazione ottimale dei due input impiegati per C =
3000. [L∗ = K ∗ = 100.]
b) Quali saranno le espressioni delle curve di costo totale, di costo medio
e di costo marginale di lungo periodo? [L∗ = K ∗ = Y /2; T CL (Y ) =
15Y ; ACL (Y ) = 15; M CL (Y ) = 15.]
c) Ipotizziamo ora che nel breve periodo il capitale sia un fattore fisso.
Si determinino allora le funzioni di costo totale, di costo medio e di costo
marginale di breve periodo quando K = 12, 5. [L∗ = Y 3/2 /10; T CS (Y ) =
√
√
125 + 2Y 3/2 ; ACS (Y ) = (125/Y ) + 2 Y ; M CS (Y ) = 3 Y .]
5. Un’impresa produce facce di bronzo, utilizzando rame (x1 ) e stagno (x2 ),
con la tecnologia f (x1 , x2 ) = min{x1 , 2x2 }.
a) Si disegnino alcuni isoquanti di produzione.
b) Per produrre 10 facce di bronzo, di quanto rame e di quanto stagno
avrà bisogno l’impresa? [x∗1 = 10; x∗2 = 5.]
c) Se i prezzi dei fattori di produzione sono (w1 = 1, w2 = 1), quale sarà la
combinazione di fattori più economica per produrre le 10 facce di bronzo?
E quale sarà il costo sostenuto dall’impresa? [(10; 5); c(1, 1, 10) = 15.]
d) Se i prezzi dei fattori di produzione sono invece (w1 , w2 ), quale sarà la
combinazione di fattori più economica per produrre 10 facce di bronzo?
[c(w1 , w2 , 10) = 10w1 + 5w2 .]
e) Infine, se i prezzi dei fattori di produzione sono ancora (w1 , w2 ), quale
sarà la combinazione di fattori più economica per produrre invece y facce
di bronzo? [(w1 + w2 /2)y.]
6. La funzione di costo di lungo periodo è C(y) = 2y 2 + 200.
a) Calcolare la funzione di offerta di lungo periodo. [y = p/4, con y > 10.]
b) Calcolare la quantità offerta. [y = p/4.]
c) Cosa succede se p < 40? Per esempio, calcolare produzione e profitti
con p = 20. (Spunto: L’offerta di lungo periodo è il tratto...). [y = 5; π =
−150.]
III. EQUILIBRIO DI MERCATO
1. A Verona il mercato dei quotidiani locali può essere rappresentato attraverso le seguenti funzioni di domanda e di offerta: QD = 90 − 3P ; QS =
70 + 2P.
a) Si determini l’equilibrio di mercato. [P ∗ = 4; Q∗ = 78.]
b) Si calcoli l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel
punto di equilibrio.[η d = −12/78; η s = 8/78]
c) Gli editori e gli enti locali stringono un accordo finalizzato a stimolare
la lettura dei quotidiani locali tra i giovani e perseguono questo obiettivo
3
realizzando una campagna di sensibilizzazione presso tutte le scuole superiori della città. Nel tempo, un effetto molto chiaro di questa operazione
è identificabile in un mutamento nella funzione di domanda di quotidiani
locali, che passa da Q0D = 100 − 3P . Calcolare la quantità, il prezzo e
l’elasticità della domanda e dell’offerta in corrispondenza del nuovo punto
0
0
di equilibrio.[P 0 = 6; Q0 = 82; η d = −9/41; η s = 6/41.]
d) Si fornisca, infine, una rappresentazione grafica dell’intero problema
(considerando quindi entrambi i punti di equilibrio) e si determini l’intervallo
di prezzo in cui domanda e offerta risultano economicamente significative.
2. Consideriamo il mercato della pasta di grano duro, nel quale ipotizziamo
siano presenti 90 imprese che operano in condizioni di concorrenza perfetta. Ognuna di esse è caratterizzata da una funzione di costo totale
avente la forma seguente: C(q) = 1, 5q 2 + 8q.
a) Si calcoli la funzione di costo marginale per la singola impresa. [M C(q) =
3q + 8.]
b) Si determini l’espressione della funzione di offerta della singola impresa.
[q1S (p) = (1/3)p − (8/3).]
c) Qual è la funzione di offerta di mercato? [QS (p) = 30p − 240.]
d) Quali saranno il prezzo e la quantità totale prodotta in equilibrio se si
ipotizza che la domanda di mercato sia data da Q = 2000−40P ? Si determini inoltre il surplus dei consumatori. [p∗ = 32; Q∗ = 720; CS = 6.480.]
e) Quale sarà, invece, l’equilibrio di mercato nel caso in cui tutte le 90
imprese beneficino di un sussidio da parte dell’Unione Europea pari a 8
euro per ogni unità di bene prodotta? [p0∗ = 28, 57; Q0∗ = 857, 1.]
f) Calcolare il nuovo surplus dei consumatori a seguito dell’introduzione
del sussidio. [CS 0 = 9.183, 8.]
3. Si consideri un mercato in concorrenza perfetta con 10 imprese la cui
funzione di costo è C(y) = y 2 + 1. Data la funzione di domanda D(p) =
12 − p, si calcolino prezzo e quantità di equilibrio. [p∗ = 2; y ∗ = 10.]
IV. MONOPOLIO, TEORIA DEI GIOCHI,
OLIGOPOLIO
1. Sia P = 10–y la curva di domanda per la società Telecom Italia, la quale
presenta dei costi fissi pari a 0 (F C = 0) e dei costi marginali pari a 1
(M C = 1).
a) Si determinino la quantità ed il prezzo di mercato e si spieghi perché
tali valori sono socialmente inefficienti. Si determini poi il profitto del
monopolista. [y M = 9/2; pM = 11/2; π = 81/4.]
b) Si rappresenti graficamente l’inefficienza.
c) Si dica come può l’antitrust massimizzare l’efficienza sociale e quali
sarebbero i valori di p∗ e Π∗ .
4
d) Si supponga che ci siano anche dei costi fissi (cioè F C > 0): come
cambiano, se cambiano, le conclusioni del punto precedente? Perché?
Cosa farebbe l’impresa nei confronti dell’Antitrust? Invece di determinare
il prezzo di equilibrio, cosa può fare l’Antitrust?
2. Siano CF = 2400; CV = y 2 /10 + 10y; P (y) = −y + 186, le funzioni di
costo fisso, costo variabile e di domanda di un monopolista.
a) Se non ci sono vincoli per il monopolista, qual è la coppia ottimale
pM , y M ? [y M = 80; pM = 106.]
b) Se venisse invece applicata una tassa forfettaria di 1.000 euro, quale
sarebbe l’impatto sulle scelte ottimali?
c) Se venisse tassata la produzione per 11 euro l’unità venduta, quale
sarebbe l’impatto? [y = 75; p = 111.]
d) E se venisse posta una tassa del 30% sul giro d’affari? [y = 75, 125; p =
110, 875.]
e) Invece, con una tassa del 50% sugli utili? [π 0 = 50% 4.640.]
f) Infine, cosa succederebbe se il Governo imponesse un prezzo di 90 euro?
[y = 96; π 0 = 4.358.]
3. Ford (F ) e General Motors (GM ) si contendono il mercato automobilistico
neozelandese. GM opera già in questo mercato, F deve invece decidere
se entrare o meno. GM ha due possibilità: 1. consentire l’entrata di
Ford, mantenendo alti i prezzi (e quindi basse le quantità); 2. non consentire l’entrata di Ford, abbassando i prezzi e occupando l’intero mercato.
Quindi i payoff sono i seguenti.
i. Se Ford entra e GM mette un prezzo alto, otterranno rispettivamete
(6; 6) per Ford e GM .
ii. Se Ford entra e GM mette un prezzo basso, otterranno rispettivamete
(-2; 5).
iii. Se Ford NON entra e GM mette un prezzo alto, otterranno rispettivamete (0; 8).
iv. Se Ford NON entra e GM mette un prezzo basso, otterranno rispettivamete (0; 12).
a) Dopo aver rappresentato il gioco statico in forma normale, se ne determini e descriva l’equilibrio. [2 equilibri.]
b) Si determini e descriva l’equilibrio quando a Ford è concesso invece
il vantaggio della prima mossa. In questo caso, si rappresenti il gioco in
forma estesa. [Entrata, prezzo alto.]
4. In un duopolio à la Bertrand, P = −0.5Y + 100 e C1 (y1 ) = 10y1 +
1000, C2 (y2 ) = 20y2 + 1.
a) Sapendo che il prezzo è > 0, determinare il prezzo di mercato e la
produzione delle due imprese. [p = 20; y1 = 160.]
b) Cosa succede se la domanda diventa P = −0.5Y +50? [y1 = 0; y2 > 0....]
5. Viene proposto un referendum per decidere l’orario di apertura dei negozi, cioè il numero di ore di apertura. Al momento ci sono 2 negozi che si
5
fanno concorrenza, con orario ti , i = 1, 2. C(ti ) = ti , è il costo di apertura,
mentre la domanda è P = 28–t, con t = t1 + t2 .
a) Se vince il SI, vengono liberalizzati gli orari; quale sarebbe l’equilibrio
di Cournot? [t1 = t2 = 9; p = 10; πi = 81; CS = 162.]
b) Se vince il NO, l’orario massimo di apertura è di 8 ore: t = 8. Cosa
succederebbe al prezzo, al profitto e al surplus dei consumatori? [t1 =
t2 = 8; p = 12; πi = 88; CS = 128.]
c) Se il t venisse fissato per legge al livello che massimizza il surplus dei
consumatori, quali sarebbero i livelli di t∗ e CS ∗ ? Il Governo dovrebbe ampliare o restringere l’orario di apertura? [t1 = t2 = 13, 5; CS = 364, 5 :→
ampliare.]
6. In un duopolio, l’impresa L è leader, ha una funzione di costo pari a
L
C(yL ) = 2yL e si aspetta che l’impresa F , la follower, produca yF = 4−y
2 .
La domanda di mercato è invece p = 10 − 2Y , con Y = yL + yF . Calcolare
∗
= 2; yF∗ = 1; p∗ = 4.]
quantità e prezzo di equilibrio. [yL
7. In provincia di Verona c’è un unico studio commercialista (chiamiamolo
M ). La domanda di mercato per i servizi di consulenza tributaria è
P (q) = 100 − 2y, mentre la tecnologia è tale per cui il costo marginale
di produzione è M C = 20. Il dott. Mario Trevalli (indichiamolo con
E) ha da poco conseguito l’abilitazione per l’esercizio della professione e
sta valutando se esercitarla o meno in provincia di Verona: egli sa che
se dovesse decidere di entrare avrebbe la possibilità di competere à la
Cournot con lo studio esistente utilizzando la stessa tecnologia. Sa inoltre
che lo studio M potrebbe abbassare i prezzi se egli decidesse di entrare. In
questo ultimo caso i payoffs sarebbero rispettivamente pari a π M = 500 e
π E = −50. Se il dott. Trevalli non esercitasse otterrebbe invece un payoff
pari a 0.
a) Determinare l’equilibrio del gioco sequenziale. Il dott. Trevalli sceglie
di esercitare la professione in provincia di Verona? Dato l’equilibrio che
emerge, quali payoffs avrebbero lo studio esistente ed il dott. Trevalli?
[NON esercita: πM = 800; πE = 0.]
In un diverso momento il dott. Trevalli viene a sapere che l’Autorità per
la Concorrenza sul Mercato intende garantire un libero accesso al mercato delle professioni e quindi controllerà l’operato degli studi esistenti.
In questa situazione, lo studio esistente in provincia di Verona avrebbe
maggiori difficoltà ad attuare delle politiche di abbassamento dei prezzi in
seguito all’entrata del dott. Trevalli. Se quest’ultimo decidesse di entrare
i payoffs sarebbero rispettivamente pari a π M = 300 = π E .
b) Determinare l’equilibrio del gioco in questo caso. Dato l’equilibrio che
emerge, quali payoffs avrebbero lo studio esistente ed il dott. Trevalli?
[Esercita: πM = πE = 356.]
8. Consideriamo un mercato in cui operano due imprese che vendono prodotti
simili e hanno la stessa funzione di costo totale C(q) = 10q. La funzione di
domanda del mercato è Q = 40 − p. Si determinino il prezzo, la quantità,
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i profitti di equilibrio ed il livello di benessere economico complessivo nel
caso in cui:
a) le imprese competono alla Cournot; [q1C = q2C = 10; pC = 20.]
b) le imprese competono alla Bertrand; [QB = 30; pB = 10.]
c) le imprese colludono perfettamenente; [QM = 15; P M = 25.]
d) le imprese competono alla Stackelberg. [q1S = 15; q2S = 7, 5; pS = 17, 5.]
e) Quale soluzione dovrebbe preferire un regolatore che i) massimizzi il
benessere economico complessivo, ii) massimizzi la rendita del consumatore.
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