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LA CORRENTE DI SPOSTAMENTO DI MAXWELL
Abbiamo visto nello studio dei campi magnetici variabili (legge di Faraday), che
ad essi è sempre associata la comparsa di un campo elettrico variabile (che poi
è responsabile della corrente indotta). La legge di Ampère sulla circuitazione è
valida per correnti stazionarie e quindi campi magnetici non variabili nel tempo.
In particolare, in regioni in cui non ci sono correnti (per esempio nel vuoto)
possiamo scrivere
I
B · dl = 0
(1)
l
Se confrontiamo tale equazione con la legge di faraday
µZ
¶
I
d
E · dl = −
B · ua d2 a
dt
l
al
(2)
ci accorgiamo di una palese asimmetria. La variazione di un campo magnetico
può generare un campo elettrico variabile, ma nella prima equazione manca,
al secondo membro, un termine che ci dica come la variazione di un campo
elettrico possa generale un campo magnetico variabile. Ovviamente, questa osservazione, dettata più dalle conoscenze del poi, non è in generale sufficiente ad
affermare l’esistenza di un tale termine, ma in questo caso, per Maxwell fu una
delle motivazioni che lo spinsero ad indagare sull’esistenza dell’eventuale termine
mancante. Ora, ci occuperemo della derivazione del termine mancante, ovvero
di quella che Maxwell chiamò corrente di spostamento. Ai tempi di Maxwell
la quasi totalità della comunità dei fisici credeva nell’esistenza dell’Etere, una
sostanza che permeava tutto lo spazio vuoto. Sebbene una tale sostanza non
fosse mai stata trovata, Maxwell, per ragioni di conservazione della carica elettrica, ipotizzò che anche nel vuoto occorresse introdurre nel teorema di Ampère
un’ulteriore corrente, detta di spostamento, non legata al moto delle cariche, ma
ad una sorta di polarizzazione del vuoto. Vogliamo ricavare l’espressione della
corrente di spostamento di Maxwell. Ricordiamo che il teorema di Ampère si
scrive
I
B · dl = µ0 I
(3)
l
Consideriamo il seguente circuito, che contiene un condensatore, un generatore
di corrente variabile ed un percorso l che gira intorno al conduttore. In figura è
anche evidenziata la superficie a1 che ha l per contorno.
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Abbiamo una corrente variabile che comunque possiamo scrivere come flusso
del vettore densità di corrente attraverso la sezione trasversale del conduttore:
Z
I = d2 aj · ua
(4)
a
dove a è la sezione trasversa del conduttore. Nei conduttori vale la legge di
Ohm,
j = σE
(5)
per cui, la corrente può anche scriversi
Z
I = σ d2 aE · ua
a
Infine, poiché il campo elettrico è diverso da zero praticamente solo nel conduttore, possiamo sostituire nell’integrale, al posto della sezione trasversa del
conduttore, l’area della circonferenza a1 :
Z
I =σ
d2 aE · ua
a1
Possiamo, allora, scrivere il teorema di Ampère per correnti variabili
I
Z
B · dl = σ
d2 aE · ua
l
(6)
a1
Se ora manteniamo la scelta del percorso l , ma usiamo una superficie differente, che abbia sempre l per contorno, ma che attraversi una delle armature
del condensatore, ci troveremo in presenza di una contraddizione.
2
Il secondo membro della (1) vale zero. In altre parole, se con a2 indichiamo la
nuova superficie, il flusso di E attraverso a2 è nullo, pur avendo l per contorno.
Poiché ciò non può essere, dobbiamo ipotizzare che anche nei luoghi dove non
è presente un moto reale di cariche esiste un’altra corrente che renda il calcolo
del flusso diverso da zero. Per fare ciò dobbiamo indagare la situazione fisica
tra le armature del condensatore. Il campo elettrico tra le armature è
E0 =
ρ0a
0
dove ρ0a è la densità di carica superficiale istantanea delle armature del condensatore. Poiché la carica Q0 accumulata sulle armature è Q0 = ρ0a a0 , dove a0 è la
superficie dell’armatura, avremo
Q0
0
0a
E0 =
da cui possiamo derivare la carica istantanea presente sull’armatura:
Q0 =
0E
0 0
a
In maniera più generale, potremo scrivere
Z
Q0 = 0
E0 · ua d2 a
(7)
a0
Ma, il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque armatura è uguale
al flusso attraverso la superficie a2 , in quanto le linee di forza del campo elettrico
che attraversano un’armatura sono uguali a quelle che attraversano la superficie
a2 (le linee di forza del campo tra le armature nascono su di una armatura e
finiscono sull’altra armatura):
Z
Z
2
0
E
d
a
=
E0 · ua d2 a
(8)
·
u
0
a
0
a0
a2
3
In definitiva,
0
Q =
0 Φa2
0
(E ) =
0
Z
a2
E0 · ua d2 a
(9)
Poiché la carica Q0 varia nel tempo, vi è tra le armature una corrente ID , detta
corrente di spostamento, data da
µZ
¶
dQ0
dΦa2 (E 0 )
d
ID =
E0 · ua d2 a
(10)
= 0
= 0
dt
dt
dt
a2
Abbiamo, almeno nel caso mostrato, trovato un’espressione esplicita della corrente di spostamento. Il teorema di Ampère deve scriversi, nella sua forma
generale:
I
B · dl = µ0 (I + ID )
(12)
l
Questa è una legge fondamentale dell’elettromagnetismo. Nel vuoto, I = 0
avremo
µZ
¶
I
d
B · dl = µ0 0
E0 · ua d2 a
(13)
dt
l
a2
che mostra la cercata simmetria con la legge di Faraday.
La corrente di spostamento è essenziale nel caso di campi rapidamente variabili ed è stata determinante per dimostrare che la luce è un fenomeno elettromagnetico, ma nel caso di correnti e campi lentamente variabili il suo effetto è
trascurabile.
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Il flusso di B attraverso una superficie chiusa
Abbiamo visto che le linee di forza del campo magnetico di un filo rettilineo
indefinito sono delle circonferenze concentriche intorno al filo. Si potrebbe dimostrare in maniera diretta, in casi un pò più complessi, che le linee di forza
del campo magnetico sono sempre linee chiuse. Più in generale, si è mostrato
sperimentalmente che le linee di forza del campo magnetico sono sempre chiuse.
Questo vuol dire che il numero di linee di forza che entrano attraverso una superficie chiusa è uguale al numero di quelle che escono dalla superficie. In maniera
formale, possiamo assumere, sulla base di evidenze sperimentali, che il flusso del
campo magnetico attraverso una qualunque superficie chiusa è sempre nullo:
I
B · ua d2 a = 0
(14)
La (14) esprime anche la mancanza di monopoli magnetici.
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