Un gruppo di 12 persone, fra cui Paolo e Francesca

ESERCIZIO 1: Un gruppo di 12 persone, fra cui Paolo e
Francesca, viene suddiviso a caso in tre gruppi ugualmente
numerosi. Qual è la probabilità che:
a) Paolo e Francesca facciano parte entrambi del primo gruppo
b) Francesca finisca nel primo gruppo e Paolo no;
c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo.
SOLUZIONE: Possiamo ragionare in termini di equiprobabilità.
a) In ogni gruppo vanno 4 persone, il numero dei gruppi possibili è
 12 




dunque
 4 
il numero dei modi con cui Paolo e Francesca possono far parte del
 10 


I gruppo corrisponde a  2  , per completare il gruppo, infatti,
occorre “scegliere” 2 persone tra le 10 restanti
 10 




 2 
dunque la probabilità richiesta è
 12 




 4 
b) per i casi possibili come in a), per i casi “favorevoli”: il numero
dei modi con cui Francesca può far parte del primo gruppo senza
Paolo corrisponde ai modi con cui può essere completato il gruppo,
tre persone (la quarta è Francesca), fra le 10 restanti (Paolo va
 10 


escluso), dunque  3  , la probabilità richiesta è dunque
 10 




 3 
 12 




 4 
c) per ogni gruppo, la probabilità che Paolo e Francesca ne vadano
entrambi a far parte è quella calcolata in a), poiché i gruppi sono
 10 


3· 2 
tre basta moltiplicare per 3 la probabilità calcolata in a), si ha  12 




 4 
ESERCIZIO 2: Quando le cellule sono esposte a radiazioni, alcuni
cromosomi si spezzano in due parti. La parte lunga è quella
che contiene il centromero. Se due parti lunghe o due parti
corte si riuniscono tra loro la cellula muore. Supponiamo che
10 cromosomi si siano spezzati e le parti così ottenute
formino 10 nuove coppie a caso. Calcolare la probabilità che:
a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale;
b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte.
c) sapresti generalizzare il problema ad n cromosomi?
SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA:
a) I casi possibili sono 20! ( pensando di disporre i 20 pezzi su
20 “posti”); i casi “favorevoli” sono: basta pensare ai soli
pezzi lunghi, ad esempio, affinchè ce ne sia uno solo per
ogni coppia, ci sono 10! modi di sistemarli fra le 10 coppie
e, per ogni coppia, due scelte (primo pezzo o secondo)
quindi in tutto 210 ⋅10! casi favorevoli; dunque la probabilità
richiesta è
210 ⋅10! / 20!
b) I casi possibili sono ancora 20!, i casi favorevoli
comprendono anche la permutazione dei pezzi corti (non si ha
più il vincolo della coppia originale, basta mettere insieme un
lungo e un corto), quindi sono 210 ⋅ 10!⋅10!. La probabilità
richiesta è dunque 210 ⋅10!⋅10!/ 20!
SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE
PROBABILITA’ COMPOSTE:
a) Si può ragionare così: per la prima coppia, la prima parte va
bene comunque, la seconda solo se è quella accoppiata con
essa in origine, questo può avvenire con probabilità 1/19;
sapendo che per la prima coppia si è riformata la
configurazione originale, per una nuova coppia si avrà che la
prima parte va bene comunque, mentre la seconda va bene
solo se è quella accoppiata con essa in origine, essendo
rimasti 17 pezzi, questo può avvenire con probabilità 1/17, e
così via; poiché l’evento richiesto è dato dalla congiunzione
di tutti questi eventi, la probabilità cercata è data da
(1/19)⋅(1/17)⋅ (1/15)⋅( 1/13)⋅( 1/11)⋅( 1/9)⋅( 1/7)⋅( 1/5)⋅( 1/3)⋅1
b) ragionando come prima, per la prima coppia la probabilità
che si unisca un pezzo lungo con uno corto è 10/19, per la
seconda è 9/17, per la terza 8/15 e così via per le altre, la
probabilità richiesta è pertanto
(10/19)⋅(9/17)⋅ (8/15)⋅( 7/13)⋅( 6/11)⋅( 5/9)⋅( 4/7)⋅( 3/5)⋅( 2/3)⋅1