Elettronica II – Grandezze elettriche
microscopiche (parte 2)
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 1
Conduttanza (1/2)
Conduttore cilindrico di materiale uniforme, con sezione S e
lunghezza l, fra le cui estremità è applicata una differenza
di potenziale V :
S
E
J
uS
_
+
V
Il campo elettrico E è proporzionale alla differenza di
potenziale: V = E l
L’intensità di corrente è: I = JS = σ E S
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 2
1
Conduttanza (2/2)
Combinando le due equazioni V = E l e I = σ E S possiamo
ricavare la relazione tra V e I:
I=
σS
V
l
Ricordando che
I = GV
otteniamo la relazione tra conduttanza e conducilbilità:
σS
l
G=
La conduttanza è proporzionale alla sezione del conduttore
e inversamente propozionale alla sua lunghezza.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 3
Resistenza
Poiché
R=
1
G
R=
l
σS
risulta
e, ricordando che σ1 = ρ , otteniamo la relazione tra
resistenza e resistività:
R=
ρl
S
La resistenza è proporzionale alla lunghezza del conduttore
e inversamente propozionale alla sua sezione.
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2
Esercizio 1
Calcolare la resistenza di un filo di rame lungo 10 m e con
sezione pari a 1 mm2 .
Soluzione: La conducibilità del rame a temperatura
ambiente ha il valore σ = 5.9 · 107 S/m. Quindi la
conduttanza del filo è:
G=
σ S 5.9 107 S/m · 10−6 m2
=
= 5.9 S
l
10 m
e la resistenza vale:
R=
1
1
=
= 0.17 Ω.
G 5.9 S
Il valore di resistenza ottenuto è molto basso, perché il
rame è un buon conduttore.
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Esercizio 2
A. Una linea di interconnessione all’interno di un circuito
integrato, realizzata in alluminio, ha larghezza
w = 5 µ m, spessore z = 1 µ m e lunghezza l = 1 mm.
Calcolare la resistenza elettrica tra le due estremità
della linea.
z
l
w
B. Calcolare la resistenza che si otterebbe realizzando la
linea di interconnessione in rame, anziché in alluminio.
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3
Capacità (1/3)
+
V
l
E
Condensatore a facce piane e parallele, aventi area S e
distanza l, fra le quali è interposto un materiale isolante con
costante dielettrica è ε . Applicando una differenza di
potenziale V tra le due superfici metalliche, il campo
elettrico nell’isolante è E = Vl con direzione perpendicolare
alle superfici metalliche.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 7
Capacità (2/3)
L’induzione dielettrica (o spostamento elettrico) D è:
~ = ε E~ .
D
L’induzione dielettrica D si misura in C/m2 .
La carica Q accumulata all’interfaccia tra metallo e isolante
è data dal flusso dell’induzione dielettrica attraverso la
superficie di interfaccia tra metallo e isolante:
Q=
Z
S
~ · d~S =
D
Z
S
~ ·~uS dS
D
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4
Capacità (3/3)
~
Poiché nel condensatore a facce piane parallele i vettori D
e ~uS sono paralleli, la carica è data da:
Q = DS = ε E S = ε
V
S
l
Ricordando che Q = CV , si ottiene la formula che dà la
capacità del condensatore:
C=
εS
l
La capacità è proporzionale alla superficie del
condensatore e inversamente propozionale alla distanza fra
le armature.
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Dispositivo: accelerometro (1/5)
L’accelerometro è un sensore che fornisce in uscita una
tensione che dipende dall’accelerazione a cui è sottoposto.
Appartiene alla categoria dei MEMS (=
Micro-ElectroMechanichal Systems), che sono dispositivi
utilizzati per convertire grandezze fisiche in grandezze
elettriche e viceversa.
I MEMS possono essere costruiti su silicio, con processo
CMOS + “micromachining” per creare cavità o strutture
sospese.
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Dispositivo: accelerometro (2/5)
Vista 3D; in arancione la massa sospesa
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 11
Dispositivo: accelerometro (3/5)
a
1
5
1
5
2
6
2
6
3
7
3
7
4
8
4
8
senza accelerazione con accelerazione a
Elettrodi fissi in azzurro: A = {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6, 8}
La massa inerziale sospesa, sottoposta ad accelerazione,
deforma gli anelli e si sposta.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 12
6
Dispositivo: accelerometro (4/5)
A
A
d
CA
d+x
d
CB
d-x
CA
CB
B
B
senza accelerazione con accelerazione a
a = 0 ma = kx
εS
CA = CB = εdS CA = d+x
εS
CB = d−x
Elettrodi fissi: A = {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6, 8}
k è la costante elastica della molla costituita dai due anelli.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 13
Dispositivo: accelerometro (5/5)
VA
VA
buffer
demod.
VB
Si applicano due tensioni alternate opposte ai terminali fissi
e si demodula (con un moltiplicatore) la tensione letta alla
massa sospesa. Si ottiene una tensione che dipende dallo
spostamento x (e quindi dall’accelerazione a).
Per misurare un’accelerazione con direzione qualsiasi,
occorrono tre accelerometri disposti perpendicolarmente
lungo i tre assi cartesiani ortogonali.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 14
7
Solenoide (1/2)
i(t)
B
+
v(t)
Un solenoide è un avvolgimento di N spire di materiale
conduttore: S è la sezione di ciascuna spira e l è la
lunghezza (cioè la distanza tra i terminali + e –).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 15
Solenoide (2/2)
i(t)
+
B
v(t)
Una corrente i(t) nell’avvolgimento provoca un’induzione
magnetica B all’interno del solenoide:
B=
µ Ni
l
dove µ è la permeabilità magnetica del materiale all’interno
del solenoide.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 16
8
Flusso magnetico
Il flusso magnetico concatenato con una spira è:
Φ=
µ NiS
l
Il flusso magnetico Φ si misura in weber (Wb).
L’induzione magnetica B si misura in Wb/m2 ; la
permeabilità magnetica µ si misura in H/m.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 17
Induttanza (1/2)
Una variazione nel tempo del flusso concatenato con una
spira produce una differenza di potenziale ai capi della
spira stessa (legge di Faraday-Henry):
v(t) =
dΦ(t)
dt
Se la spira non si muove, la variazione del flusso
concatenato può essere solo causata da una variazione
della corrente i(t), quindi:
v(t) =
di(t)
µ NS di(t)
=L
l
dt
dt
dove L è l’induttanza della spira.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 18
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Induttanza (2/2)
Se consideriamo N spire, il flusso totale concatenato è:
µ N 2 iS
Φ=
l
e l’induttanza totale è:
µ N 2S
L=
l
L’induttanza si misura in henry (H).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 19
Induttanze parassite nei circuiti integrati
bonding wire
pad
chip
package
Il circuito integrato (“chip” ) viene incollato alla base del
contenitore (“package” ); le interconnessioni verso l’esterno
sono realizzate con sottili fili d’oro del diametro di 25 µ m
(“bonding wire” ).
I fili di interconnessione hanno induttanze parassite
proporzionali alla loro lunghezza, con un valore di ≈ 1
nH/mm (≈ µ0 ).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 20
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Effetti delle induttanze parassite
I circuiti integrati digitali presentano basse correnti statiche
(leakage), ed elevate correnti di commutazione, perché i
blocchi digitali CMOS dissipano quasi esclusivamente
durante le transizioni logiche.
Se attraverso il collegamento di bonding passa una
corrente variabile i(t), la tensione all’interno del chip vchip è
legata alla tensione esterna VEXT dalla relazione:
vchip = VEXT − L
di(t)
dt
A causa dell’induttanza del package (≈ 5nH per un PLCC),
le tensioni di alimentazione all’interno del chip non
sono ideali e possono presentare picchi di centinaia di
millivolt.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 21
Trasformatore (1/2)
i1
Φ
+
v2
v1
-
È costituito da due avvolgimenti (avvolgimento primario e
avvolgimento secondario) attorno ad un nucleo di materiale
ad elevata permeabilità magnetica.
La tensione v1 applicata ai capi dell’avvolgimento primario
provoca una corrente i1 , la quale provoca un flusso
magnetico Φ che viene convogliato nell’avvolgimento
secondario.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 22
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Trasformatore (2/2)
i1
Φ
+
v2
v1
-
L’accoppiamento tra due√avvolgimenti dà luogo ad una
mutua induttanza M = k L1 L2 , e risulta
v1 = L1
di2
di1
+M
dt
dt
v2 = L2
di1
di2
+M
dt
dt
Se il trasformatore è ideale: k = 1.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 23
Simbolo del trasformatore
M
i1
i2
+
v1
+
L1
L2
v2
Per convenzione, si indica con un pallino il terminale
positivo delle due induttanze.
v1 = L1
di2
di1
+M
dt
dt
v2 = L2
di1
di2
+M
dt
dt
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 24
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Disturbi dovuti al collegamento di terra
CIRCUITO
1
VN
CIRCUITO
2
ground loop
VG
Se due circuiti hanno due collegamenti a terra distanti
(perché sono collegati da cavi lunghi), le due tensioni di
terra possono essere diverse.
Una piccola differenza di tensione VG può produrre una
corrente elevata nell’anello di terra (“ground loop” ).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 25
Uso del trasformatore (1/3)
VN
CIRCUITO
1
L2
L1
CIRCUITO
2
VG
Un trasformatore 1:1 (L1 = L2 ) interrompe l’anello di terra e
dà isolamento galvanico tra i due circuiti.
Svantaggio: il trasformatore non funziona per la continua.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 26
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Uso del trasformatore (2/3)
VN
L1
CIRCUITO
1
CIRCUITO
2
L2
VG
Una soluzione alternativa consiste nell’inserire il
trasformatore (con L1 = L2 = M) in modo da trasmettere la
continua e i segnali differenziali, eliminando i disturbi di
modo comune.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 27
Circuito equivalente
L1
VS
RC2
RL
L2
VG
VS è la tensione generata dal circuito 1
RL è la resistenza di ingresso del circuito 2
RC2 è la resistenza parassita del conduttore
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 28
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Circuito equivalente per il segnale
L1
IS
VS
RC2
RL
L2
Trasformatore ideale 1:1 (L1 = L2 = M):
IS =
VS
VS
≈
RC2 + RL RL
(se RC2 RL ).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 29
Circuito equivalente per il disturbo
L1
I1
RC2
RL
VN = I 1 R L
L2
I2
VG
I1 =
VG RC2
j2π f L(RC2 + RL ) + RC2 RL
Se RC2 RL , risulta:
VN =
VG
1 + j2π f L/RC2
−→ vengono attenuati i disturbi a frequenza f RC2 /2π L
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 30
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Uso del trasformatore (3/3)
CIRCUITO
1
CIRCUITO
2
In pratica, per attenuare i disturbi, si usa un anello
magnetico attorno a cui sono avvolti i due fili. Se i due fili
sono ravvicinati e il numero di spire è lo stesso, allora
L1 = L2 = M e i disturbi di modo comune vengono attenuati.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 2) – p. 31
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