Induzione e.m. - compiti di esempio

5^A - FISICA
compito n°1 - 2014-15
N
P
1. Sapendo che MN =l =25,0 cm , PN = x=20,0 cm e che la resistenza × × × × × ×
del circuito è R=50,0  , determina intensità e verso della corrente
indotta nei seguenti casi:
× × ×
× × ×
× × ×
Q
× × ×
B
× v ×
× × ×
M
a. il filo MN si muove verso destra con velocità v=25,0 cm/ s e il campo magnetico è costante
e assume il valore B 0 =0,350 T ;
b. il filo MN è fisso, ma il modulo del campo magnetico diminuisce da B 0=0,350 T a
B1=0,200 T nel tempo t=0,200 s ;
c. il filo MN è fisso e il campo magnetico è costante;
d. il filo MN è fisso e il campo magnetico varia secondo la legge B t =B0 at , dove
B 0=0,350 T e a=0,0300 T / s .
2. Descrivi alcuni degli esperimenti in cui si ottiene una corrente indotta e spiega come in ciascuno
di essi sia verificata la legge di Faraday-Neumann.
3. Spiega il significato fisico della legge di Lenz.
4. Descrivi il funzionamento di un alternatore.
5. Un filo e una bobina sono disposti su un piano come in figura. Se nel filo scorre
una corrente i1 decrescente, qual è il verso della corrente indotta nella bobina?
i1
5^A - Correzione compito fisica n°1
1. Applichiamo la legge di Faraday-Neumann (nel punto a basterebbe la forza di Lorentz).
a.
f=

S
S
m
=B
=Bl
=Blv=0,35 T⋅0,25 m⋅0,25 ≃2,19⋅10−2 V .
s
t
t
t
−2
f 2,19⋅10 V
≃4,38⋅10−4 A .
Quindi: i= ≃
R
50,0 
Poiché il movimento del filo provoca un aumento del flusso del campo magnetico entrante nel
foglio, la corrente dovrà scorrere in verso antiorario, per generare un campo magnetico uscente
dal foglio e opporsi così alla variazione del flusso (legge di Lenz).
b.
f=

B
−0,15 T
f 3,75⋅10−2
=S
=0,25 m⋅0,2 m⋅
=3,75⋅10−2 V ⇒ i= =
=7,50⋅10−4 A .
0,2 s
R
t
t
50 
Poiché si ha una diminuzione del flusso del campo magnetico entrante nel foglio, la corrente
dovrà scorrere in verso orario, al contrario del caso precedente.
c. Il flusso del campo magnetico è costante, e non si ha corrente indotta.
d.
f=
d
dB
d
T
=S
=S  B 0 at =Sa=0,25 m⋅0,2 m⋅0,03 =1,50⋅10−3 V .
dt
dt
dt
s
f 1,50⋅10−3 V
=3,00⋅10−5 A . Come nel primo caso, si ha un aumento del flusso
Quindi: i= =
R
50,0 
del campo magnetico entrante, e quindi una corrente che scorre in verso antiorario.
2. Vedi pagg. 1-4 libro di testo.
3. Vedi pagg. 7-8 libro di testo.
4. Vedi pagg. 10-11 libro di testo.
5. Se la corrente del filo decresce, diminuisce anche il flusso del campo
Bind
magnetico concatenato alla spira ed entrante nel foglio.
La corrente indotta nella spira per cercare di opporsi a tale diminuzione di
flusso dovrà generare anch'essa un campo entrante nella pagina, e quindi
scorrerà in verso orario.
B0
i1
B1
iind
5^C PNI - FISICA
compito n°5 - 2013-2014
1. Descrivi l'esperimento di Thomson ed i risultati ottenuti. (circa 10 righe).
2. Enuncia la legge di Faraday - Neumann, descrivendo alcuni modi per ottenere una corrente
indotta. (circa 10 righe).
3. Enuncia la legge di Lenz e spiegane il significato fisico (circa 10 righe).
4. Un elettrone entra in un condensatore a facce piane e parallele con velocità v 0=5,45⋅106 m/ s .
Sapendo che la lunghezza delle armature è l=2,25 cm e che, quando
l'elettrone
esce dal
condensatore, ha
l
v0
subito una deflessione
E
d
d =0,618 cm , determina l'intensità del campo elettrico tra le armature e la velocità con cui
l'elettrone esce dal condensatore.
5. Su una sfera di raggio r=2,70 mm è distribuita uniformemente una carica q=1,80⋅10−15 C .
Un elettrone si trova in quiete (sì, lo so che è una sciocchezza!) appena al di sopra della
superficie della sfera. Quale velocità iniziale v0 è necessario imprimere all'elettrone per mandarlo
a distanza infinita dalla sfera? e per fargli descrivere una circonferenza di raggio r?
6. Un elettrone inizialmente in quiete viene accelerato tramite una differenza di potenziale
V =550,0 V , ed entra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico costante.
Sapendo che l'elettrone segue una traiettoria circolare di raggio r=17,0 cm , determina
l'intensità del campo magnetico.
7. Un elettrone ed un protone si muovono lungo orbite circolari in un piano perpendicolare ad un
campo magnetico uniforme B. Calcola il rapporto tra i raggi delle loro orbite quando l'elettrone
ed il protone hanno stessa quantità di moto e quando hanno stessa energia cinetica.
8. Un solenoide di lunghezza l=20,0 cm formato da 1000 spire è attraversato da una corrente
i=2,00 A . Dentro il solenoide, nel piano delle sue spire, è disposta una piccola spira di raggio
r=1 cm e resistenza R=2,00  . La corrente nel solenoide viene azzerata nel tempo
t=0,100 s . Determina intensità e verso della corrente indotta nella spira.
5^C - Correzione compito fisica n°5
1. Vedi pagg. 225-228 libro di testo.
2. Vedi pagg. 244-252 libro di testo.
3. Vedi pagg. 253-256 libro di testo.
4. L'elettrone attraversa il condensatore nel tempo: t 1=
l
2,25⋅10−2 m
≃
≃4,13⋅10−9 s .
v 0 5,45⋅106 m/ s
Poiché il moto verticale è uniformemente accelerato:
1
1 eE 2
2 md 2⋅9,11⋅10−31 kg⋅6,18⋅10−3 m
N
d = at 12=
t 1 ⇒ E= 2 ≃
≃4,13⋅103
.
−19
−9
2
2
2 m
C
et 1
1,6⋅10 C⋅4,13⋅10 s
L'elettrone esce dal condensatore con velocità verticale:
eE
1,6⋅10−19 C⋅4,13⋅103 N /C
m
v y =at 1= t 1≃
⋅4,13⋅10−9 s≃3,00⋅106
.
−31
m
s
9,11⋅10 kg
2
2
2
2
6
Quindi la velocità di uscita è: v=  v 0 v y ≃  5,45 3 ⋅10
m
m
≃6,22⋅106
.
s
s
5. L'energia iniziale dell'elettrone è la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale:
1
qe
E in = mv 02−k
. Se l'elettrone arriva all'infinito, la sua energia potenziale si annulla, mentre
2
r
l'energia cinetica è positiva o nulla (se ci arriva “fermo”). Imponiamo quindi:


1 2
qe
2 kqe
2⋅8,99⋅109⋅1,8⋅10−15⋅1,6⋅10−19
m
.
mv 0 −k ≥0 ⇒ v 0 ≥
≃
≃4,59⋅10 4
−31
−3
2
r
mr
s
9,11⋅10 ⋅2,7⋅10
Se l'elettrone descrive una traiettoria circolare, la forza di attrazione elettrostatica della sfera
agisce come forza centripeta:

mv 12
qe
kqe v 0
m
.
=k 2 ⇒ v 1=
= ≃3,25⋅10 4
r
mr
s
r
2
6. Imponiamo la conservazione dell'energia nel tratto in cui l'elettrone viene accelerato:
 
−19
1 2
2 eV
2⋅1,6⋅10 ⋅550
7m
.
mv =eV ⇒ v=
≃
≃1,39⋅10
−31
2
m
s
9,11⋅10
Nel moto circolare, la forza di Lorentz agisce come forza centripeta:
mv 2
mv 9,11⋅10−31⋅1,39⋅107
=evB ⇒ B= ≃
≃4,66⋅10−4 T .
−19
r
er
1,6⋅10 ⋅0,17
7. Imponiamo che la forza di Lorentz agisca come forza centripeta:
mv 2
mv
.
=qvB ⇒ r=
r
qB
Quindi, se elettrone e protone hanno stessa quantità di moto: me v e =m p v p ⇒ r e / r p =1 .
Se, invece, elettrone e protone hanno stessa energia cinetica:
2
e
me v =m p v
2
p

  
ve
mp
r e me v e me m p
me
9,11⋅10−31 kg
⇒
=
⇒
=
=
=
≃
≃2,34⋅10−2 .
−27
vp
me
r p m p v p m p me
mp
1,67⋅10 kg
3
N
−7 10
8. Il campo magnetico del solenoide è: B=0 i≃4 ⋅10 ⋅ ⋅2≃4 ⋅10−3 T .
l
0,2
La spira è quindi attraversata da un flusso:  B=B  r 2≃4 ⋅10−3⋅⋅10−4≃4 2⋅10−7 Wb .
La f.e.m. indotta nella spira è: f =
  4 2⋅10−7
≃
≃3,95⋅10−5 V .
0,1
t
f 3,95⋅10−5
La corrente indotta ha intensità: i= ≃
≃1,97⋅10−5 A .
R
2
Per la legge di Lenz, la corrente indotta deve essere
B sol
tale da opporsi alla causa che l'ha generata. In
questo caso, la causa che genera la corrente indotta
è la diminuzione del campo magnetico concatenato
B sp
i sol
B sol
i sol
i sp
ad essa. Pertanto, la corrente indotta deve avere verso tale da opporsi a tale diminuzione, e quindi
lo stesso verso della corrente che circolava inizialmente nel solenoide.
5^C PNI - FISICA
compito n°6 - 2011-2012
1. Una bobina quadrata di lato l=10 cm è formata da 20 spire di resistenza complessiva
R=10  . La bobina si trova disposta perpendicolarmente a un campo magnetico, la cui
intensità varia con il tempo secondo la legge Bt =ctB 0 , con B 0 =0,1 T e c=0,02 T / s .
Calcola il valore dell'intensità di corrente indotta nella spira.
N
P
2. Determina il verso della corrente indotta che si genera quando il lato MN
della spira in figura viene fatto scorrere a velocità v in un campo
×
× ×
× × ×
× × ×
× × ×
magnetico. Calcola la potenza necessaria. Calcola la circuitazione del Q
× × ×
× × ×
B
× v ×
× × ×
M
campo elettrico indotto sul percorso chiuso MNPQ. Cosa puoi concludere da tale risultato?
3. Due spire A e B sono disposte parallelamente. Inizialmente, nella spira A circola corrente in
senso orario, mentre nella spira B non circola corrente. Cosa succede nella spira B se
aumentiamo l'intensità della corrente che circola in A? Perché?
4. Calcola il coefficiente di autoinduzione di un solenoide. Facoltativo: calcola il coefficiente di
mutua induzione di due solenoidi avvolti sullo stesso nucleo ferromagnetico.
5. Ricava le relazioni che esprimono la densità di energia immagazzinata in un campo elettrico e
quella di un campo magnetico (puoi riferirti al campo elettrico di un condensatore piano e al
campo magnetico di un solenoide).
6. Due corpi metallici identici vengono fatti cadere contemporaneamente dalla stessa altezza. Il
corpo A cade nell'aria, mentre il corpo B passa tra le espansioni polari di un magnete. Quale dei
due cade per primo a terra? Perché?
7. Scrivi le equazioni di Maxwell in forma integrale e descrivine il significato fisico.
8. Elenca le principali componenti dello spettro elettromagnetico, possibilmente precisandone
l'ordine di grandezza della frequenza e della lunghezza d'onda, e descrivi le principali
caratteristiche di una di esse a tua scelta.
9. Facoltativo. Ricava la legge che esprime la variazione dell'intensità di corrente che attraversa un
circuito RL in funzione del tempo. Distingui i casi della chiusura e dell'apertura del circuito.
5^C - Fisica - Correzione compito n°6
1. Per la legge di Faraday – Neumann, la f.e.m. indotta è (a parte il segno):
f=
d  B
dB
T
=Nl 2 = Nl 2 c=20⋅10−2 m2⋅0,02 =4⋅10−3 V .
dt
dt
s
f 4⋅10−3 V
i=
=
=4⋅10−4 A .
L'intensità della corrente indotta è quindi:
R
10 
2. Poiché il movimento della spira provoca un aumento del flusso del campo magnetico entrante
nella pagina, la corrente dovrà scorrere in verso antiorario, per generare un campo magnetico
uscente dal foglio e opporsi così alla variazione del flusso (legge di Lenz).
B2 l 2 v 2
La potenza necessaria per estrarre la spira è P=
(vedi pagg. 255-256 del libro di testo).
R
L'unico contributo non nullo alla circuitazione del campo elettrico viene dal lato MN:
C  E =E⋅MN =
F
l=vBl . Il fatto che la circuitazione sia diversa da zero significa che il
q
campo elettrico indotto non è conservativo.
3. Nella spira B si avrà un impulso di corrente che circola in senso antiorario, in modo da generare
un campo magnetico che si opponga alla variazione di flusso provocata dall'aumento della
corrente nella spira A (ancora per la legge di Lenz).
4.
N N S
N2S
(pagg. 259-260). M =0 r 1 2
(pagg. 269-270).
L=r 0
l
l
5.
u E =0
B2
E2
(pagg. 83-84); u B =
(pagg. 263-264).
2 0
2
6. Cade per primo il corpo A, in quanto parte dell'energia meccanica del corpo B viene dissipata in
energia termica (per effetto Joule) dalle correnti parassite (o di Foucault – quello del pendolo!)
che si sviluppano al suo interno quando passa tra i poli del magnete.
7, 8, 9. Vedi libro di testo e/o appunti sul sito.
5^C PNI - FISICA
compito n°5 - 2010-2011
1. Due rotaie metalliche parallele sono poste ad una distanza l=25 cm l'una dall'altra. Su di esse
poggia il filo metallico MN, che si muove con velocità v=50 cm/ s . E' applicato un campo
N
magnetico uniforme di intensità B=0,25T perpendicolare al piano del P
foglio ed entrante nel piano stesso. Sapendo che la resistenza del circuito è
R=35  , calcola la f.e.m. indotta, l'intensità e, motivando la risposta, il
verso della corrente che circola nel circuito.
×
× ×
× × ×
× × ×
B
× v ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
Q
M
Rispondi alle stesse domande, con le dovute precisazioni, nel caso in cui il filo MN è fisso alla
distanza d =10 cm dal filo PQ, ma il modulo del campo magnetico diminuisce di  B=0,5 T in
un intervallo di tempo  t=2⋅10−3 s .
2. Una bobina composta da N =100 spire di filo conduttore, di sezione S =100 cm2 , ruota con
velocità angolare =377 rad / s in un campo magnetico di intensità
ω
B=0,45T . Esprimi il flusso del campo magnetico e la f.e.m. indotta in
B
funzione del tempo. Calcola valore massimo e frequenza della f.e.m.
3. Un solenoide è composto da n=50 spire / cm , ha diametro d =10 cm e lunghezza l=50 cm .
Collegandolo ad una batteria, l'intensità di corrente raggiunge il valore i=3 A nel tempo
t=2⋅10−3 s . Motivando le risposte, calcola la f.e.m. indotta, l'induttanza del solenoide e l'energia
accumulata nel campo magnetico del solenoide. Qual è il verso della f.e.m. indotta rispetto a quello
della batteria? Perché?
4. Un circuito RLC in serie ha R=400  , L=5 H , C =3  F ed è collegato alla corrente
alternata di tensione efficace V =220 V e frequenza =50 Hz . Calcola la reattanza induttiva e
quella capacitiva, l'impedenza del circuito, l'intensità efficace della corrente che scorre nel circuito,
le differenze di potenziale VR, VL, VC ai capi degli elementi del circuito, la differenza di fase tra
corrente e tensione, specificando se il circuito è capacitivo o induttivo e perché. Spiega perché
V R V LV C ≠V , e qual è il modo corretto di ottenere il valore di V. Calcola la frequenza di
risonanza del circuito. Calcola il fattore di potenza, la potenza dissipata nel circuito per effetto
Joule e la potenza totale applicata al circuito, verificando che tali valori siano in accordo.
5. Spiega brevemente (circa 5 righe):
a. cosa afferma la legge di Lenz e qual è il suo significato fisico;
b. cosa sono le correnti di Foucault.
5^C - Fisica - Correzione compito n°5
1. Con MN in movimento: f.e.m. indotta: f =vlB=0,5 m/ s⋅0,25T⋅0,25 m≃3,13⋅10−2 V .
f 3,13⋅10−2 V
i= ≃
≃8,94⋅10−4 A . La corrente scorre in verso antiorario, in modo da opporsi
R
35 
all'aumento del flusso del campo magnetico entrante (il campo magnetico generato dalla corrente
indotta ha verso uscente dal foglio).
Con MN fisso: f.e.m. indotta media: f =

B
0,5T
=S
=0,1 m⋅0,25 m⋅
=6,25V .
t
t
2⋅10−3 s
f 6,25V
i= ≃
≃0,179 A . La corrente scorre in verso orario, in modo da opporsi alla
R 35
diminuzione del flusso del campo magnetico (il campo magnetico generato dalla corrente indotta
ha verso entrante nel foglio).
2. Se all'istante iniziale la bobina è perpendicolare al campo magnetico, il flusso varia con la legge:
t = NS B cos  t  , per cui la f.e.m. indotta è: f t =−
−2 2
Il valore massimo è f max =NSB =100⋅10 m ⋅0,45 T⋅377
La frequenza è: =

=NSB  sen t  .
t
rad
≃170 V .
s
 377 rad / s
=
≃60 Hz .
2
2
3. Il campo magnetico generato dal solenoide è B=0 n i .
Il flusso del campo magnetico che attraversa il solenoide è: =N S B=0
Sezione trasversale del solenoide: S =
2
N
S i=Li .
l
d2
≃7,85⋅10−3 m2 . Numero di spire: N =n⋅l=2500 .
4
2
N2
−7 2500
L'induttanza del solenoide è: L=0
S ≃4 ⋅10 ⋅
⋅7,85⋅10−3 m2≃0,123 H .
l
0,5 m
La f.e.m indotta è in media: f =−

i
3A
=−L
≃−0,123 H⋅
≃−185V .
t
t
2⋅10−3 s
La f.e.m. indotta si oppone alla tensione della batteria (legge di Lenz).
1 2 1
2
Energia accumulata nel campo magnetico: E m= Li ≃ ⋅0,123 H⋅3 A ≃0,554 J .
2
2
4. Reattanza induttiva: X L = L=2 ⋅50 Hz⋅5 H ≃1571  .
Reattanza capacitiva: X C =
1
1
=
≃1061  .
C 2 ⋅50 Hz⋅3⋅10−6 F
Impedenza: Z =  R 2 X L− X C 2≃  400 21571−10612≃648 .
Intensità efficace della corrente: I =
V 220 V
≃
≃0,34 A . V R=iR≃0,34 A⋅400 ≃136 V ;
Z 648 
V L=iX L≃0,34 A⋅1571 ≃534 V ; V C =iX C ≃0,34 A⋅1061≃361V .
Si ha V R V L V C ≠V perché le tensioni variano con leggi sinusoidali e non sono in fase tra
loro; per la seconda legge di Kirchhoff, si avrebbe l'uguaglianza se si prendessero in
considerazione i valori istantanei, e non quelli efficaci.
Per ottenere V: V =  V 2R V L−V C 2≃  136 V 534 V −361V 2≃220 V .
Sfasamento: =arc tg
V L −V C
534 V −361V
≃arc tg
≃51,8° .
VR
136 V
Poiché
lo
positivo, la tensione è in anticipo sulla corrente e il circuito è induttivo.
Frequenza di risonanza: ris =
1
2   LC
=
1
2   5 H⋅3⋅10−6 F
≃41,1 Hz .
Fattore di potenza: cos ≃cos 51,8 °≃0,618 .
Potenza dissipata: P J =i 2 R≃0,34 A2⋅400 ≃46,2 W .
Potenza applicata: P tot =iV ≃0,34 A⋅220 V ≃74,8 W . Infatti: P tot =P J⋅cos  .
5. Vedi libro di testo.
sfasamento
è