Lezione di astronomia
Maurizio Tomasi
[email protected]
Dipartimento di Fisica
Università degli studi di Milano
7 Ottobre 2016
Parte I
Unità di misura
Oscillazioni di un pendolo
L
m
mg
Vogliamo ricavare l’espressione
che lega il periodo di oscillazione T
alle costanti fisiche del problema:
m, L e g.
T ∝ mα Lβ g γ
Derivazione del periodo
T ∝ mα Lβ g γ
Le unità di misura sono le seguenti:
I [m ] = kg,
I [L] = m,
I [g ] = m s−2 .
Derivazione del periodo
T ∝ mα Lβ g γ
Le unità di misura sono le seguenti:
I [m ] = kg,
I [L] = m,
I [g ] = m s−2 .
Dal momento che m è l’unica quantità che dipende
dalla massa, α = 0.
Derivazione del periodo
T ∝ mα Lβ g γ
Le unità di misura sono le seguenti:
I [m ] = kg,
I [L] = m,
I [g ] = m s−2 .
Dobbiamo quindi combinare una lunghezza e
un’accelerazione per ottenere un tempo.
Derivazione del periodo
Scriviamo l’equazione dimensionale:
s = kgα mβ mγ s−2γ
Poniamo α = 0:
s = mβ+γ s−2γ
L’equazione è vera se γ = −1/2 e β = −γ .
Soluzione
s
T ∝
L
g
Usando le leggi di Newton, il risultato è
s
T = 2π
L
.
g
È impossibile ricavare il fattore 2π dall’analisi
dimensionale.
Scopo dell’analisi dimensionale
L’analisi dimensionale serve per ricordare un
risultato già ottenuto, non per ottenere nuove
equazioni.
A volte può però tornare utile come spunto per
cercare nuove leggi fisiche: vedi ad esempio la
lunghezza di Planck
lp ≡
p
~G/c 3 ≈ 1.6 × 10−35 m,
che ancora non ha un significato fisico chiaro.
Pressione atmosferica
Ricaviamo ora l’equazione che lega l’altezza h dal
suolo alla pressione atmosferica P.
(Lo studio dell’atmosfera è importante per molti
campi, inclusa l’astrofisica).
Derivazione dell’equazione
Differenza delle pressioni:
dP = −
dF
(ρA dh)g
=−
= −ρg dh
A
A
Derivazione dell’equazione
dP = −ρg dh
Per legare ρ a P usiamo la legge dei gas perfetti:
PV = NkT
⇒
P=
ρ
m
kT
Combinando le due equazioni otteniamo:
dP = −
mgP
dh
kT
Risultato
mg P (h) = P0 exp −
h
kT
Risultato
mg P (h) = P0 exp −
h
kT
La quantità P0 è una costante di integrazione, ed è
la pressione ad h = 0.
Risultato
mg P (h) = P0 exp −
h
kT
La frazione tra parentesi ha unità di misura m−1 . Il
suo inverso
kT
h0 ≡
mg
dice a che altezza la riduzione di pressione inizia a
essere significativa.
Risultato
h
P (h) = P0 exp −
h0
Pressione
P0
P0/2
0
0
h0
2h0
Altezza dal suolo
Stima di h0
Risultato:
h0 ≈ 10 km,
usando per le costanti della formula questi valori:
1. k = 1.4 × 10−23 J K−1 ;
2. T = 300 K (considerata costante);
3. m = 28 mH = 4.7 × 10−26 kg è la massa di
una molecola di N2 ;
4. g = 10 m s−2 .
(L’altezza dell’atmosfera varia tra 9 e 17 km).
Ricostruire il risultato
Vogliamo ora derivare l’espessione di h0
dall’analisi dimensionale.
Quali sono le quantità fisiche in gioco?
Ricostruire il risultato
È necessario ricordarsi le seguenti cose:
1. Abbiamo fatto uso della legge dei gas perfetti
(con T costante);
2. La forza che genera la pressione è quella di
gravità.
Ricostruire il risultato
È necessario ricordarsi le seguenti cose:
1. Abbiamo fatto uso della legge dei gas perfetti
(con T costante);
2. La forza che genera la pressione è quella di
gravità.
Quindi le quantità da usare sono:
Ricostruire il risultato
È necessario ricordarsi le seguenti cose:
1. Abbiamo fatto uso della legge dei gas perfetti
(con T costante);
2. La forza che genera la pressione è quella di
gravità.
Quindi le quantità da usare sono: m, k , T
Ricostruire il risultato
È necessario ricordarsi le seguenti cose:
1. Abbiamo fatto uso della legge dei gas perfetti
(con T costante);
2. La forza che genera la pressione è quella di
gravità.
Quindi le quantità da usare sono: m, k , T , g
Ricostruire il risultato
[h] = [m]α [k ]β [T ]δ [g ]γ
m = kgα kgβ m2β s−2β K−β Kδ mγ s−2γ
m = kgα+β m2β+γ s−2β−2γ K−β+δ
da cui si ricava il sistema
α + β = 0,
2β + γ = 1,
−2β − 2γ = 0,
β=δ
Ricostruire il risultato
La soluzione del sistema è
(
α = γ = −1,
β = δ = 1,
da cui
h0 =
kT
.
mg
Avvertenze
Aspetti da non dimenticare:
1. Gli angoli sono numeri puri (rapporti di
lunghezze);
2. Esponenti e argomenti di funzioni (sin, cos,
exp, log. . . ) devono essere numeri puri;
3. Attenzione ai logaritmi! Alcune loro proprietà
invalidano la consistenza dimensionale.
Esempio:
log
a
= log a − log b.
b
Esercizi per casa (1/2)
Esercizio
Determinare l’espressione della velocità del suono
in un gas perfetto di densità ρ, pressione P e
temperatura T (usare anche k ).
Esercizio
Determinare l’espressione del raggio di
Schwarzschild di una stella di massa M (è legato a
fenomeni relativistici, quindi si deve usare anche G
e c).
Parte II
Magnitudini e indici di
colore
Magnitudini
Definizione della magnitudine apparente:
m1 − m2 = −2.5 log10
F1
F2
,
dove F1 e F2 sono i flussi ([F ] = W/m2 ). È una
differenza tra logaritmi, quindi un rapporto tra
flussi.
In più, il segno meno complica tutto!
Logaritmi e magnitudini
mA − mB = −2.5 log10
FA
FB
.
Il senso del logaritmo nella definizione è il
seguente:
I mA − mB = 2.5 mag ⇒
A è 10 volte meno brillante di B;
I mA − mB = 5 mag ⇒
A è 100 volte meno brillante di B;
I mA − mB = 7.5 mag ⇒
A è 1000 volte meno brillante di B;
I . . . e così via.
Esercizio sulle magnitudini
Se il flusso FA di una stella è la metà del flusso FB
di un’altra presa come riferimento, qual è la
differenza tra le loro magnitudini?
Esercizio sulle magnitudini
Se il flusso FA di una stella è la metà del flusso FB
di un’altra presa come riferimento, qual è la
differenza tra le loro magnitudini?
Ci aspettiamo che mA > mB (attenzione!).
Esercizio sulle magnitudini
Se il flusso FA di una stella è la metà del flusso FB
di un’altra presa come riferimento, qual è la
differenza tra le loro magnitudini?
Ci aspettiamo che mA > mB (attenzione!).
mA − mB = −2.5 log10
1
2
= 2.5 log10 2 ≈ 0.75.
Indici di colore
Un indice di colore è la differenza tra magnitudini
calcolate in due bande elettromagnetiche diverse.
Esso serve per quantificare il “colore” di una stella.
Colori delle stelle
Intorno alla lunghezza d’onda λ ≈ 700 nm (rosso),
una stella X emette il doppio dei fotoni rispetto a
una stella Y. È vero che X è più rossa di Y?
Colori delle stelle
Intorno alla lunghezza d’onda λ ≈ 700 nm (rosso),
una stella X emette il doppio dei fotoni rispetto a
una stella Y. È vero che X è più rossa di Y?
Esempio numerico (poco realistico!):
I Stella X: 400 fotoni “rossi”
I Stella Y: 200 fotoni “rossi”
Colori delle stelle
Intorno alla lunghezza d’onda λ ≈ 700 nm (rosso),
una stella X emette il doppio dei fotoni rispetto a
una stella Y. È vero che X è più rossa di Y?
Esempio numerico (poco realistico!):
I Stella X: 400 fotoni “rossi”, ma 800 fotoni blu;
I Stella Y: 200 fotoni “rossi”, ma un fotone blu.
Colori delle stelle
Intorno alla lunghezza d’onda λ ≈ 700 nm (rosso),
una stella X emette il doppio dei fotoni rispetto a
una stella Y. È vero che X è più rossa di Y?
Esempio numerico (poco realistico!):
I Stella X: 400 fotoni “rossi”, ma 800 fotoni blu;
I Stella Y: 200 fotoni “rossi”, ma un fotone blu.
Quindi X ha un colore violetto, Y un colore rosso.
(Però Y è più debole).
Colori delle stelle
È necessario considerare il rapporto tra flusso in
più bande, non il livello assoluto in una banda.
In alternativa al rapporto tra flussi, si può usare la
differenza tra magnitudini.
Esempio:
B − V ≡ mB − mV = −2.5 log10
FB
FV
,
dove B indica il filtro blu, V il filtro visuale (rispetto
a B è più verso il rosso).
Colori delle stelle
Nell’esempio di prima avevamo usato due filtri
immaginari, che ora chiamiamo B e R. L’indice di
colore di X è
(B − R)X ≈ −2.5 log10
800
400
= −0.75,
mentre l’indice di colore di Y è
(B − R)Y ≈ −2.5 log10
1
200
= 5.75.
Più positivo è il valore B − R, più rossa è la stella
(a causa del segno meno nella formula).
Indice di colore per un corpo nero
Legge di Planck ([bT ] = W/m2 /sr/Hz, “densità di
flusso spettrale”):
2hν 3
1
bT (ν) =
,
c 2 exp(hν/kT ) − 1
legata al flusso dalla relazione
Z
Z
dΩ
F =
Ω
dν P (ν)b(ν).
X
Nel caso in cui P (ν) = δ(ν − ν0 ) (caso
bicromatico):
m(ν1 ) − m(ν2 ) = −2.5 log10
bT (ν1 )
.
bT (ν2 )
Indice di colore per un corpo nero
m(ν1 ) − m(ν2 ) =
"
−2.5 log10
ν1
ν2
3
#
exp hν2 /kT − 1
exp hν1 /kT − 1
Indice di colore
ν1 > ν 2
Temperatura
Un esempio più realistico
In precedenza abbiamo supposto che le bande di
risposta B e R fossero monocromatiche (P = δ ).
In realtà le bande sono sempre identificate da una
risposta in banda, ad es. PB (ν) per la banda B.
Un esempio più realistico
Per bande B e V di forma arbitraria, l’indice di
colore diventa:
R∞
PB (ν)bT (ν) dν
mB − mV = −2.5 log10 R 0∞
.
P
(ν)
b
(ν)
d
ν
V
T
0
Bond, AJ (2005)
Bond, AJ (2005)
log g [cgs]: gravità superficiale
[Fe/H]: metallicità
Bond, AJ (2005)
Bond, AJ (2005)
Esercizi per casa (2/2)
Esercizio
Due stelle di uguale magnitudine m formano un
sistema binario stretto. Qual è la magnitudine del
sistema binario rispetto a quella di ciascuna stella
presa singolarmente?
Esercizio
Uno strumento che conta fotoni statisticamente
vuole misurare la magnitudine di una stella√con
errore ±0.02 mag. Assumendo che δ N ≈ N,
quanti fotoni dovrà misurare?
