Teoria dei Giochi

Teoria dei Giochi
Teoria dei Giochi
E’uno strumento decisionale, utile per operare previsioni sul risultato quando un decisore deve operare in
concorrenza con altri decisori. L’ipotesi principale su cui si basa la TdG è che i giocatori siano intelligenti e razionali.
Classificazione dei giochi:
1.-giochi competitivi  ciascun giocatore sceglie la propria strategia e riceve una ricompensa, payoff , in funzione di
scelte effettuate anche dagli altri giocatori. Non sono possibili accordi vincolanti tra i giocatori
-giochi non cooperativi  ciascun giocatore sceglie la propria strategia in funzione delle decisioni prese dagli altri
giocatori. Sono possibili accordi tra i giocatori.
2.-giochi simultanei  le strategie vengono giocate contemporaneamente
-giochi sequenziali  le strategie vengono giocate in modo sequenziale, ogni giocatore aspetta il suo turno
3.-giochi disputati una volta  si ha la certezza che il gioco non verrà mai ripetuto
-giochi ripetuti più volte  il gioco si ripete (es cliente abituale)
4.-giochi ad informazione perfetta  ogni giocatore conosce tutte le mosse eseguite dagli altri giocatori. Questi giochi
sono necessariamente sequenziali, in questo modo la mossa del giocatore è basata su una conoscenza completa del
contesto.
-giochi ad informazione imperfetta  ogni giocatore non conosce le mosse eseguite dagli altri giocatori. Questi giochi
sono necessariamente simultanei.
5.-gioco ad informazione completa  ogni giocatore conosce le regole del gioco e le funzioni utilità di ogni giocatore.
-gioco ad informazione incompleta  i giocatori conoscono le regole del gioco ma non le funzioni utilità. Questi giochi
sono necessariamente bayesiani.
Un gioco può essere rappresentato in due forme (è possibile ottenere l’una dall’altra):
1.forma strategica:
un gioco strategico è definito da: - un insieme finito N di giocatori
- per ogni giocatore esiste un insieme finito e non vuoto di mosse permesse
- per ogni giocatore esiste una relazione di preferenza espressa dalla funzione utilità
Un gioco strategico finito, con due giocatori, si può rappresentare con una tabella in cui le azioni di un giocatore sono
definite dalle righe e le azioni dell’altro giocatore sono definite dalle colonne. In ogni cella vi sono due numeri che
rappresentano i payoff dei giocatori in corrispondenza delle rispettive scelte.
Gioco a somma zero è un particolare caso di gioco strategico in cui per ogni terminazione del gioco, ogni cella, il valore
dei due payoff sommato dà zero.
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Per ottenere la soluzione ai giochi strategici, quindi individuare una situazione di equilibrio si usano diversi metodi:
Eliminazione iterata di azioni dominate: questo procedimento si basa sul concetto di comportamento razionale da
parte dei giocatori, infatti ogni giocatore crede che le azioni intraprese dall’avversario siano la miglior risposta ai fini
dei propri interessi. Non giocherà mai una strategia dominata.
Una strategia
è strettamente dominata dalla strategia
strategie dei giocatori, per i payoff vale
.
se, per ogni combinazione ammissibile tra le possibili
Equilibrio MaxMin: questo procedimento si basa sul concetto che ogni giocatore scelga la propria azione assumendo
che l’avversario sceglierà l’azione che lo contrasterà il più possibile. E’un metodo utile per decisori avversi al rischio e
si riassume come segue - il giocatore 1 risolve
individuando una strategia
- il giocatore 2 risolve
individuando una strategia
- l’equilibrio corrisponde alle due strategie che risultano minimizzare i danni
Equilibrio di Nash: questo procedimento si basa sul concetto che ogni giocatore scelga la propria strategia come
miglior risposta alla migliore mossa dell’avversario. Quindi la soluzione risulta massimizzare funzione di utilità di ogni
giocatore, tenendo conto delle migliori mosse possibili degli avversari.
In forma compatta si ha
con
= miglior mossa di i.
L’inefficienza di questo metodo porta a non individuare alcun equilibrio, oppure a trovare equilibri multipli.
2.forma estesa:
un gioco in forma estesa è composto da:
-un insieme finito N di giocatori
-un albero finito T=(V,L) con radice
. Connesso e privo di cicli
V è l’insieme finito di nodi ad ognuno dei quali si associa una possibile situazione di gioco
L è l’insieme finito di archi che rappresentano le mosse che si possono effettuare in una determinata situazione
Z è l’insieme dei nodi terminali ai quali è associata l’utilità finale
-una funzione etichetta che assegna ad ogni nodo il giocatore a cui spetta giocare in quella situazione
-ogni nodo ha una seconda etichetta che rappresenta il livello informativo
-ogni ramo uscente da un nodo ha un etichetta che sommata agli altri uscenti dallo stesso nodo dà 1
-ogni ramo uscente da un nodo deve soddisfare:
.Dati due nodi x,y con prima e seconda etichetta uguale, allora per ogni ramo uscente da x non esiste alcun ramo
uscente da y con la stessa etichetta
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.Dati due nodi x che precede y con prima etichetta uguale devono avere la seconda diversa
.Dati tre nodi x,y,z con la stessa prima etichetta, y,z con la stessa seconda etichetta, un qualsiasi ramo con etichetta b
e con y che segue x e b. Allora esiste un nodo ω con prima e seconda etichetta uguale ad x , ed un ramo con uscente
da ω, con etichetta c uguale a b e tale che z segue ω e c.
Si dice insieme di informazione per il giocatore i l’insieme di nodi con prima etichetta i , e seconda etichetta uguale.
Strategie: la strategia di un giocatore è un piano d’azione che specifica le mosse scelte per ogni storia dopo la quale
tocca a lui giocare. Si hanno:
-strategia pura  specifica un’azione da effettuare per il giocatore e determina univocamente lo svolgimento di un
gioco.
-strategia mista  si introduce per ovviare ai limiti del metodo di Nash, e si costruisce un modello in cui le scelte dei
partecipanti sono regolate da leggi probabilistiche. Quindi ad ogni strategia si associa la probabilità di giocarla.
Giochi dinamici
Un gioco dinamico è rappresentato con una struttura ad albero detta albero di gioco, grazie alla quale si ha una
descrizione dettagliata della struttura sequenziale di problemi di decisione che i giocatori incontrano in situazioni
strategiche. Il gioco è sequenziale, quindi ad informazione completa.
Può essere rappresentato anche in forma strategica, ma si deve tenere conto di tutte le strategie giocabili dei
giocatori.
Un gioco dinamico può essere risolto utilizzando l’EN, oppure il processo di induzione a ritroso.
Induzione a ritroso: l’idea di base è che la razionalità e l’intelligenza di cui sono dotati i giocatori permette di poter
prevedere il loro comportamento(ogni giocatore sceglierà la mossa che gli assicura maggiore payoff), e quindi
prevedere la scelta della strategia dei giocatori.
Nel caso in cui i payoff di due strategie per un giocatore siano uguali e questo adotta l’alternativa che danneggia
l’avversario si adotta la cosiddetta strategia di minaccia.
Sottogioco: un sottogioco di un gioco in forma estesa comincia da un single tone e comprende tutti i nodi decisionali e
terminali successivi al single tone.
Subgame Perfect Equilibrium SPE: Sono un raffinamento degli EN che sfruttano la forma estesa.
Un EN è perfetto nei sottogiochi se le strategie dei giocatori costituiscono un EN per ogni sottogioco. Viene quindi
calcolato con l’induzione a ritroso.
Lo SPE garantisce che se i giocatori si comporteranno razionalmente la soluzione trovata, ed il cammino
corrispondente, costituiscono la soluzione di equilibrio.
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Giochi ad informazione incompleta
-informazione perfetta  ogni giocatore conosce le mosse giocate dagli avversari prima di lui
-informazione imperfetta  un giocatore può non conoscere le mosse giocate in precedenza dagli avversari
-informazione completa  ogni giocatore conosce le regole del gioco ed i payoff di tutti gli avversari
-informazione incompleta  un giocatore conosce le regole del gioco ma non conoscere i payoff degli avversari, ciò
significa che l’altro giocatore è in possesso di un informazione privata ed avrà diverse strategie in base alla mossa che
avrà giocato il giocatore prima di lui
Per rappresentare un gioco ad informazione incompleta ci si avvale degli alberi di decisione che consentono di
riassumere in modo chiaro tutti i possibili sviluppi del gioco.
Si ricerca quindi una situazione di equilibrio, detto equilibrio bayesiano.
Secondo la dottrina di Harsany per rappresentare questo tipo di gioco si introduce un altro giocatore, la natura.
Introducendo le mosse fittizie della natura si riesce a descrivere il gioco ad informazione incompleta in un gioco ad
informazione imperfetta e quindi risolvere un equilibrio bayesiano per il gioco ad informazione incompleta con un
equilibrio di Nash per il gioco ad informazione imperfetta.
Si definisce gioco bayesiano
dove ogni giocatore dell’insieme N può essere estratto da un
insieme finito di tipi Ti di giocatore in accordo ad una distribuzione di probabilità p(t1,…,tn) , e ricevere un payoff Ui che
dipende dalle strategie Xi e dal profilo Ti.
Ciascun giocatore può inoltre calcolare la probabilità condizionata degli altri tipi t-i come
Giochi cooperativi
I giocatori possono stringere accordi di collaborazione e formare delle coalizioni. Di interesse è studiare il formarsi di
accordi statici che possono essere di vantaggio ai singoli componenti.
I giochi cooperativi che si studiano sono i giochi TU ossia ad utilità trasferibile, o con pagamenti laterali.
Giochi TU  sia N={1,…,n} l’insieme finito dei giocatori
Sia v:P(n)R un’applicazione detta funzione caratteristica tale che V(0)=0
La coppia (N,v) si dice gioco TU dove ogni gruppo di giocatori S (coalizione) è in grado di garantirsi una
somma di denaro v(S)
I giochi TU soddisfano le seguenti proprietà:
-additività:
-superadditività:
-coesivo:
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-definizione: preso un set di coalizioni
si dice che:
X è una preimputazione se
X è una imputazione se
E’possibile risolvere i giochi TU in due modi:
-Assiomatico: si considera il metodo del simplesso e si imposta il sistema considerando
1.efficienza 
2.razionalità collettiva 
In questo modo si individua un NUCLEO delle possibili soluzioni
-Algebrico: si calcolano gli indici di potere utilizzare il valore Shapley, il valore di Banzhaf-Coleman semplice e
normalizzato.
Dummy player: è quel giocatore che non apporta alcun contributo alla sua coalizione (xi=v(i)) gli viene assegnato solo
quello che otterrebbe giocando da solo.
Un gioco TU si dice semplice se le coalizioni possono assumere solo valori 0 e 1. In questo caso una coalizione si
dimostra vincente se ottiene o meno di far passare la propria decisione ed avrà valore 1.
Allocazione costi
Si vuole determinare una ripartizione dei costi di un progetto tra diversi utenti, tenendo conto del ruolo che ogni
utente ha avuto in esso. Ci si basa sul concetto della separazione dei costi.
Un cost game si definisce come un gioco TU G(N,v) in cui la funzione caratteristica risulta v(S)<0 per cui si adotta la
convenzione c(S) = -v(S).
Nella divisione dei costi si devono seguire due criteri:
-stand alone cost test 
che risulta la razionalità di coalizione
-incremental cost test 
Per risolvere l’allocazione dei costi si utilizza il metodo dei costi variabili.
Metodo dei costi variabili
Dato un cost game si definiscono:
-costo separabile  costo marginale di ogni giocatore mi=c(N)-c(N-{i})
-costo non separabile 
Si hanno quindi i valori ECA,ACA,CGA
Metodo del nucleolo  si basa sull’idea di minimizzare il massimo malcontento. Si introduce una nuova misura, il
rimpianto definito come e(S,x)=v(S)-x(S) per un gioco TU e e(S,x)=x(S)-v(S) per un cost game.
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