FAM
Serie 40: Meccanica VII
C. Ferrari
Premessa
I punti da seguire nello studio del moto sono:
• fare un disegno (se non presente);
• scegliere un sistema di riferimento ed un sistema di coordinate;
• disegnare le forze;
• esplicitare le leggi da utilizzare in termini delle variabili (= coordinate) scelte
per ottenere le equazioni del moto;
• determinare le costanti del moto (se ve ne sono);
• svolgere un’analisi qualitativa e/o analitica (in funzione in particolare della
possibilità di risolvere le equazioni del moto);
• discutere i risultati considerando i casi particolari (quelli semplici possono
essere utilizzati come verifica).
Esercizio 1 Forza elastica
Studia il sistema costituito da un PM di massa m appeso ad una molla di costante elastica k e massa nulla. All’istante t = 0 s il PM viene portato nella posizione
~x(0 s) = ~x0 e lasciato libero di muoversi. Trascura la forza d’attrito e introduci un sistema di coordinate costituito di un asse cartesiano verticale, orientato positivamente
verso il basso come indicato nella figura qui sotto.
0
111111111
000000000
k
ℓ
x(0)
PM
x
1
situazione di equilibrio della molla
Esercizio 2 Attrito viscoso
1. Studia il sistema costituito da un PM di massa m che all’istante t = 0 s
viene portato nella posizione ~x(0 s) = ~x0 e lasciato libero di muoversi in un
fluido con coefficiente di attrito λ. Supponi un regime a bassa velocità in cui
sui applica quindi la legge di Stokes. Supponi la massa del liquido nulla
cosı̀ da trascurare la forza di Archimede, e introduci un sistema di coordinate
costituito di un asse cartesiano verticale, orientato positivamente verso il basso
e con origine come indicato nella figura qui sotto.
0
x(0)
PM
λ
x
2. Studia il sistema costituito da un PM di massa m posto su un piano inclinato,
privo di attrito e di un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale. Quando il sistema è lasciato libero esso subisce una forza di attrito con l’aria, modellizzato
con il caso di alte velocità, a causa di una “vela” rotonda di raggio R. Introduci un sistema di coordinate costituito di un asse cartesiano lungo il piano,
orientato positivamente verso il basso e con origine come indicato nella figura
qui sotto.
0
x(0)
x
α
Indicazione:
Z
x
1
dx = 1 ln aa +
2
2
−
x
2a
a −x
Esercizio 3 Attrito radente
1. Studia il moto del sistema costituito da un PM di massa m posto su un piano
inclinato di angolo α rispetto all’orizzontale. Considera separatamente i casi
in cui la velocità iniziale è v0 > 0 e v0 < 0 (rispetto al sistema di coordinate
scelto). Siano µc e µs i coefficienti di attrito cinetico e statico.
2
2. Un solido di massa m è posto su una placca che si muove secondo l’equazione
xP (t) = A cos ωt con ω fissato. Per quali valori dell’ampiezza A il solido resta
immobile rispetto alla placca?
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
1111
0000
0000
1111
0000
1111
m
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0xP (t)
Esercizio 4 Particella carica in un campo magnetico
Una particella di carica elettrica q e massa m si muove con una velocità iniziale
~v0 ≡ ~v(0). All’istante t = 0 la particella si trova immersa in un campo magnetico
~ costante che forma un angolo α con il vettore ~v0 . Descrivi l’evoluzione temporale
B
trascurando la gravità:
1. integrando le equazioni del moto;
2. utilizzando le costanti del moto.
Esercizio 5 Campi elettromagnetici e sistemi di riferimento
~ un campo elettrico
Relativamente ad un sistema di riferimento inerziale R sia E
~ un campo magnetico omogeneo, tale che E
~ ⊥ B.
~ Studia il moto di
omogeneo e B
una particella di carica elettrica q e massa m, di velocità iniziale ~v0 perpendicolare
~ sia a B
~ (si trascura la gravità).
sia a E
Indicazione: Verifica che è possibile eliminare il campo elettrico introducendo un
sistema di riferimento inerziale R′ , in traslazione uniforme rispetto a R. Utilizza le
trasformazioni di Galileo.
3
Esercizio 6 Pendolo piano
Un pendolo matematico semplice è costituito da un punto materiale P di massa m
appeso all’estremità di un filo di lunghezza ℓ e di massa trascurabile, la cui estremità
−−→
è fissata ad un punto O fisso. Supponiamo pure che kOPt k = ℓ per ogni t e che il
moto sia nel piano xy.
y
O
ℓ
θ
P
~er
x
1. Determina le equazioni del moto in funzione della/e coordinata/e generalizzate.
2. Determina un’espressione della tensione del filo in funzione di θ e θ̇.
3. Determina una costante del moto associata all’EDO del punto precedente
(ossia un integrale primo). A quale grandezza fisica corrisponde?
4. Svolgi l’analisi qualitativa del moto utilizzando lo spazio delle fasi (moti periodici, punti di equilibrio stabili e instabili, . . . ) e in funzione di g/ℓ.
5. Linearizza l’EDO e studia il moto in un intorno dei punti di equilibrio (stabili
e instabili).
Esercizio 7 Sistemi vincolati
Studiare i seguenti moti in cui si trascura l’attrito.
1. Un punto matertiale di massa m lasciato cadere all’interno di un tubo verticale
che ruota attorno ad un asse verticale a velocità angolare ω costante.
2. Un punto materiale di massa m che si muove all’interno di un anello di raggio
R che ruota a velocità angolare ω costante attorno ad un asse verticale.
3. Un punto materiale di massa m che si muove all’interno di un tubo di lunghezza
ℓ che ruota attorno ad un asse verticale a velocità angolare ω costante. L’angolo
α tra il tubo e l’asse verticale è costante.
4
ω
ω
α
ω
Indicazione: Questo problemi sono caratterizzati da dei vincoli, ossia delle condi−−→
zioni che limitano il moto del PM. Nell’esercizio precedente il vincolo kOPt k = ℓ
implica l’esistenza di una forza T~ esercitata dal filo sul PM. In generale ammettere~ e di considerare il
mo che è sempre possibile rimpiazzare i vincoli con una forza R
~
sistema come un sistema senza vincoli sottoposto alle forze applicate e la forza R.
Quest’ultima forza si adatta istante per istante affinché i vincoli imposti al sistema
siano soddisfatti.
~ e la seguente: consideriamo la situazione alUna proprietà importante inerente R
l’istante t, se δ~x è uno spostamento compatibile con il vincolo imposto all’istante t
~ che traduce il vincolo
(detto spostamento virtuale compatibile) allora la forza R
è detta perfetta se per ogni δ~x
~ · δ~x = 0 .
R
In questo esercizio consideriamo sempre questo caso.
5
