Matematica, realtà e fantasia
Margherita D’Aprile
Università della Calabria
Vibo Valentia, 11 maggio 2009
Edwin A. Abbott (1838-1926)
2
Flatlandia, 1884
Molte edizioni in italiano
– Adelphi, Mursia
– Bollati Boringhieri (2008) con
DVD del film di Michele
Emmer (1982)
Flatland/the movie (2007)
http://www.flatlandthemovie
.com
Dà nome a un sito web
www.fardiconto.it/flatlandia/
3
Un mondo piatto
• Triangoli, quadrati, altre figure che si muovono
su un piano, che cosa vedono?
• Immaginiamo di abbassarci gradualmente, fino
ad avere gli occhi a livello del piano
4
Come ci si riconosce?
Tastando delicatamente gli angoli
A vista, grazie alla nebbia che fa sfumare gli
oggetti più lontani
5
Una società gerarchica e maschile
Triangoli isosceli con
base molto piccola
Soldati e operai
Triangoli equilateri
Commercianti
Quadrati (come il
narratore)
Pentagoni regolari
Professionisti
Gentiluomini
Poligoni regolari con molti Aristocratici
lati
Cerchi
Ordine sacerdotale
6
Regole crudeli
• Il primo figlio maschio delle classi alte ha
un lato più del padre
• Il figlio di un Isoscele è generalmente
Isoscele
• Solo se il padre Isoscele è stato bravo, il
figlio può nascere con una base più larga
• Raramente da un padre Isoscele nasce un
Equilatero, che viene subito affidato a un
Equilatero senza figli
7
Esseri fragili
• Muoiono se il loro perimetro viene
perforato
• Gli Isosceli con base molto piccola sono
molto pericolosi
• ma più ancora sono pericolose le donne
8
Le donne? Segmenti
Possono rendersi
invisibili
Se pungono, uccidono
Perciò devono
annunciare il loro
arrivo
Entrare in casa da
una porta riservata
9
La visita dello straniero
• Una presenza che si materializza senza passare
dalla porta
• Un cerchio? Parecchi cerchi in uno!
10
Sfera e piano
11
Punti comuni a piano e sfera
P è un punto comune
alla sfera di centro C
e ad un piano
H proiezione
ortogonale di C sul
piano
Per il teorema di
Pitagora, la distanza
di P da H è costante
Se H = C …
Se H sulla sfera …
12
La lezione della Sfera
S. Se un Punto si spostasse
verso il Nord, lasciando
dietro di sé una striscia
luminosa, come
chiamereste quella scia?
Q. Un segmento di retta.
S. E quanti estremi ha quel
segmento?
Q. Due.
13
Da una a due dimensioni
S. Adesso immaginate che questo segmento che punta verso Nord si
sposti parallelamente a se stesso, da Est verso Ovest, in modo che
ogni suo punto lasci come scia un segmento di retta. Come chiamate
la figura risultante? Supponiamo che si sposti per una distanza uguale
a quella che ha percorso prima: allora, come la chiamereste?
Q. Un Quadrato.
S. E quanti lati ha un Quadrato? Quanti angoli?
14
Da due a tre dimensioni
S. Adesso lavorate un po’ di fantasia, e immaginate un
Quadrato in Flatlandia che si sposti parallelamente a
se stesso verso l’alto.
Q. Come? Verso Nord?
S. No, non verso Nord, verso l’alto, fuori di Flatlandia.
Q. Pazzo, impostore!
15
I fatti e non le parole
proclameranno la verità
• S. Dalla mia posizione nello spazio posso
vedere l’interno delle cose che considerate
chiuse. Scenderò nell’armadio che avete
chiuso a chiave, prenderò la tavoletta che
vi avete messo e ve la porterò.
• Q. Sciocco, pazzo, irregolare!
• S. Uscirai dal tuo piano!
16
Ecco laggiù la tua casa
17
Oltre la terza dimensione
T. Banchoff, Zanichelli, 1993
• Il cubo rosso è stato
traslato secondo una
quarta dimensione, fino
al cubo blu
• Vertici: 8 + 8
• 32 spigoli: 12 rossi + 12
blu + 8 neri
• 24 facce piane: 6 rosse
+ 6 blu + 12 generate
dalla traslazione di ogni
spigolo rosso
• Quante facce
tridimensionali?
18
Per analogia
Dim nome
#
vertici
#
lati
#
#
facce cubi
#
ipercubi
0
punto
1
0
0
0
0
1
segmento
2
1
0
0
0
2
quadrato
4
4
1
0
0
3
cubo
8
12
6
1
0
4
ipercubo
16
32
24
8
1
19
Rappresentazioni
Proiezione centrale di un cubo su un piano
20
Proiezione centrale del cubo a 4
dimensioni sullo spazio a 3
21
http://www.pierelli.it/ipercubo.htm
22
Sviluppi
23
Salvador Dalì (1954)
La geometria
è per le arti
plastiche
quello che la
grammatica
è per l’arte
dello
scrittore
G. Apollinaire
(1880-1918)
Cube
film di fantascienza
Canada, 1997
24
Noi, sulla superficie terrestre
• E’ il piano il modello matematico del luogo
sui cui ci muoviamo?
• I problemi dei grandi navigatori del
Rinascimento:
– Qual è la via più breve da un luogo ad un
altro?
– Esistono mappe fedeli?
25
Tanti percorsi tra due luoghi
• Tra due ganci infilati
in due pareti diverse
• Da Roma a Reggio
Calabria?
• Dall’Europa
all’America?
26
La rotta più breve
• Messina e San Francisco sono circa sullo
stesso parallelo: qual dovrebbe essere la
rotta aerea migliore tra queste città?
• E’ vero che due punti sulla sfera sono
collegati da un arco di cerchio massimo?
• Perché “massimo”?
27
Un indovinello
Un orso, partendo da un punto P, cammina
per un chilometro verso Sud. Poi cambia
direzione, e cammina per un chilometro
verso Est. Poi svolta ancora a sinistra,
cammina per un chilometro verso Nord e
arriva al punto P da dove era partito.
Di che colore è l’orso?
(G. Polya, How to solve it, 1945)
28
Angoli tra archi di cerchi sulla sfera
• Sono gli angoli dei
piani che tagliano
quegli archi
• Due meridiani e un
parallelo
determinano un
triangolo due
volte rettangolo
29
Triangoli sulla sfera
30
Parti di sfera
31
Somma degli angoli di triangoli
sferici (da www.matematita.it)
90
+
45
+
60
=
195
?
32
Un altro tipo di triangolo
90
+
60
+
60 =
210
?
33
Casi speciali… o no?
Ragioniamo sull’area di
un triangolo sferico
Cominciamo dall’area
S di uno spicchio
(lunula) di angolo
• Se = ….
4 R2 : = S :
• S = 4 R2
34
Triangolo, tre angoli, tre spicchi
Il triangolo di
angoli , b, g
è contenuto
in ciascuno
degli spicchi
35
Triangolo, tre angoli, tre spicchi
L’unione delle tre lunule è
tutta la sfera
36
Triangolo, tre angoli, tre spicchi
E’ vero che l’area della
sfera è uguale alla
somma dell’area
delle tre lunule, cioè
che
4R2 = 4R2(+b+g) ?
37
Intersecando tre spicchi
In ogni lunula c’è
il triangolo ABC
ma anche
il triangolo A’B’C’
simmetrico
rispetto al
centro O della
sfera
38
Area di un triangolo
T area del triangolo
La somma delle aree delle
tre lunule supera l’area
della sfera
4R2(+b+g) = 4R2 + 4T
T = R2( + b + g −)
(A. Girard,1629)
T > 0 , quindi
+ b + g >
39
Perché per i triangoli nel piano…
40
Nel piano, una e una sola parallela
• Conseguenze:
– angoli alterni interni ….
– angoli coniugati …
– somma degli angoli di un triangolo
– somma degli angoli di un poligono
– i punti a un data distanza da una retta e
giacenti da una stessa parte della retta sono
su una parallela
41
Sulla sfera
• I cerchi massimi “fanno” da rette sulla
sfera, ma
• Non ci sono cerchi massimi che non si
incontrino
• Un essere bidimensionale che strisciasse
su Sferalandia e sapesse misurare gli
angoli capirebbe di non essere in
Flatlandia
42
Geometrie e problemi
All’epoca delle grandi
scoperte: problema
della rappresentazione
della terra
G. Mercatore 1512-1594
– Vita segnata da
persecuzioni religiose,
guerre
– Sulla copertina della
raccolta di carte mise la
figura del mitico Atlante
43
La proiezione cilindrica
• Cilindro tangente alla
sfera
• Centro di proiezione è
il centro della sfera
• Un punto della sfera e
il suo corrispondente
sul cilindro stanno
sulla stessa semiretta
per il centro
44
La proiezione di Mercatore
da http://mathworld.wolfram.com/MercatorProjection.html
La proiezione di Mercatore
Fedele all’equatore, distorce
le forme sempre più
verso i poli
Vantaggi: sono
rappresentati da rette
– i meridiani
– i paralleli (ma con forte
distorsione delle distanza
tra loro)
– le rotte che formano angolo
costante con i meridiani
(lossodromiche)
46
Si possono limitare le distorsioni?
C. F. Gauss, Theorema egregium (1828): si
può stendere un pezzo di una superficie
su un’altra, senza deformare angoli e
distanze, soltanto se le due superfici
hanno la stessa curvatura
• La curvatura è una funzione che misura,
punto per punto, di quanto una superficie
si scosti da un piano: è positiva per la
sfera, è uguale a 0 per il piano
47
Non esiste una mappa fedele
La risposta negativa apre nuovi interrogativi:
• come controllare le distorsioni?
• Si può estendere l’idea di curvatura?
• Qual è la geometria dell’Universo?
• ???
48
Da Flatlandia a Gauss e oltre
Fantasia
Dimensioni
Percorsi
Carte
geografiche
Tante geometrie
Realtà
49
Il messaggio del Quadrato
Eppure resisto nella speranza che queste memorie
possano trovare il modo di raggiungere le menti
di esseri umani viventi in qualche dimensione
e possano ispirare una razza di ribelli che
rifiutino di essere confinati in un mondo di
dimensioni limitate
50
