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MECCANICA RAZIONALE. Appello del 24.1.01
Proff. Brinis, Spinelli
Statica. In un piano orizzontale, due aste OA ed OB, omogenee di lunghezza ` e massa
m, sono incernierate nell’estremo fisso O. Un disco omogeneo di raggio r = 14 ` e massa
M , il cui centro E scorre su una guida liscia passante per O e diretta come l’asse x di
figura, si appoggia senza attrito sull’asta OA e può rotolare senza strisciare sull’asta OB.
Una molla di costante elastica k unisce gli estremi A e B delle due aste, mentre il centro
del disco è soggetto ad una forza costante F diretta verso il punto O.
Determinare il valore di k affinché il sistema sia in equilibrio con l’angolo tra le aste e
l’asse x pari a π6 ed, in tali condizioni, calcolare la reazione vincolare in O.
y
A
m, `
k
H
E
F
O
x
K
M, r
m, `
B
MECCANICA RAZIONALE. Appello del 24.1.01
Proff. Brinis, Spinelli
Dinamica. In un piano orizzontale, due aste OA ed OB, omogenee di lunghezza ` e
massa m, sono incernierate nell’estremo fisso O. Un disco omogeneo di raggio r = 41 ` e
massa M = 4m, il cui centro E scorre su una guida liscia passante per O e diretta come
l’asse x di figura, si appoggia senza attrito sull’asta OA e può rotolare senza strisciare
sull’asta OB. Il centro del disco è soggetto ad una
forza costante F diretta verso il punto
√
2 F
O, mentre una molla di costante elastica k = 2 ` unisce gli estremi A e B delle due
aste
Se il sistema parte dalla quiete con le aste inclinate di π3 rispetto all’asse x, determinare
l’atto di moto del sistema quando le aste diventano ortogonali tra di loro. Determinare
inoltre, in tale configurazione, la reazione vincolare agente sul disco in E.
y
A
m, `
k
E
F
O
x
K
n
M, r
m, `
t
B
Appello del 24.1.01
Proff. Brinis, Spinelli
Risoluzione: Dr. Paolo Biscari
Statica. Siano H e K rispettivamente i punti in cui le aste OA ed OB incontrano il
disco e sia ϑ = π6 l’angolo che le aste formano con l’asse x.
La seconda equazione cardinale della statica per l’asta OA, riferita al polo O, permette di
legare il valore della costante elastica k al modulo ΦH dell’azione ΦH = ΦH (− cos ϑ i +
sin ϑ j) , esercitata dal disco sulla stessa asta in H:
(OA)
MOz
= ΦH r ctg ϑ − k 2` sin ϑ ` cos ϑ = 0
=⇒
k=
ΦH
.
2`
Inoltre, la seconda equazione cardinale della statica per il sistema completo, riferita
sempre al polo O, permette di dimostrare che la reazione vincolare esterna in E è nulla:
ΦE = 0. A questo punto, la seconda equazione cardinale della statica per il disco, riferita
al polo K, permette di determinare ΦH , e quindi k:
(disco)
MKz
= −ΦH r sin 2ϑ − F r cos ϑ = 0
=⇒
ΦH = F
=⇒
k=
F
.
2`
Infine, per determinare la reazione vincolare esterna in O basta utilizzare la prima equazione cardinale per il sistema completo:
R(sist) = −F i + ΦO = 0
=⇒
ΦO = F i .
Appello del 24.1.01
Proff. Brinis, Spinelli
Risoluzione: Dr. Paolo Biscari
Dinamica. Siano K il punto in cui l’asta OB incontra il disco, ϑ l’angolo che le aste
formano con l’asse x (contato in verso antiorario per l’asta OA ed orario per l’asta
OB) e ϕ l’angolo di rotazione antioraria del disco. Siano inoltre t ed n i due versori,
rispettivamente tangente e normale all’asta OB, indicati in figura.
Il sistema possiede un solo grado di libertà, poiché gli angoli ϑ e ϕ sono legati dal vincolo
di puro rotolamento in K. Essendo
(E − O) =
r
i
sin ϑ
=⇒
vE = −
cos ϑ
rϑ̇ i ,
sin2 ϑ
e considerando che i = cos ϑ t − sin ϑ n , si ha:
(disco)
vK
(OB)
= v E + ϕ̇k ∧ (K − E) = r ϕ̇ − ϑ̇ ctg2 ϑ t + rϑ̇ ctg ϑ n .
Essendo v K = −ϑ̇k ∧ (K − 0) = rϑ̇ ctg ϑ n, risulta ϕ̇ = ϑ̇ ctg2 ϑ .
Per determinare l’atto di moto richiesto utilizziamo l’integrale dell’energia. Dato che
1 2 2 1
1 1
1
1 1
2
2 2
2
2
2
T = 2 m` ϑ̇ + M vE +
M r ϕ̇ =
+ ctg ϑ +
ctg ϑ cos ϑ m`2 ϑ̇2 ;
3
2
2 2
3 8
16
√
1
1
2
2
2
+ 2 sin ϑ F ` ,
U = −F xE − k 4` sin ϑ = −
2
4 sin ϑ
utilizzando i dati iniziali ϑ(0) =
π
3
e ϑ̇(0) = 0 ed il dato finale ϑf =
π
4
si ottiene:
√ r
F
443
ϑ̇f = − √
.
m`
47
Per determinare la reazione vincolare esterna ΦE = ΦEy j possiamo utilizzare la seconda
equazione cardinale della dinamica del sistema, riferita al polo O. Essendo opposto il
contributo delle due aste OA ed OB al momento della quantità di moto del sistema
(sist)
(sist)
rispetto ad O, si ha: ΓOz = 12 M r2 ϕ̇; inoltre, MOz = ΦEy xE , per cui si ottiene, nella
√
configurazione finale, ΦEy f = 42 m`(ϑ̈f − 4 ϑ̇2f ).
Il valore di ϑ̈f si ottiene derivando l’integrale dell’energia:
√
√
√
12(44 3 − 141 2) F
2(423 + 310 6)
ϑ̈f =
=⇒ ΦEy f = −
F .
2209
m`
2209