14/03/2011
Tutorial di fisica : 2° principio della din…
E-school di Arrigo Amadori
Tutorial di fisica
2° principio della dinamica
01 - Parte 1.
Come abbiamo visto in precedenza, un corpo non soggetto a forze (o per cui la risultante delle forze
è nulla) procede con velocità costante (in direzione, verso ed intensità) o rimane in quiete (rispetto ad
un sistema di riferimento inerziale) (primo principio della dinamica).
Domandiamoci ora : cosa succede quando su di un corpo agisce una forza (a risultante non nulla) ?
Possiamo vedere questo con un esperimento in cui ad un corpo libero di muoversi, praticamente senza
attrito, su di un piano viene impressa una forza costante. Abbiamo tolto (il più possibile, perché eliminarlo
del tutto è impossibile) l'attrito perché esso è di difficile misurazione per cui, senza il suo disturbo, possiamo
semplificare le nostre considerazioni.
Studiamo questo moto "fotografando" la posizione del corpo ad intervalli uguali di un secondo.
Supponiamo anche che l'unità di misura dello spazio sia il decimetro :
Essendo il tempo fra una posizione del corpo (indicata dal quadretto nero) e la successiva uguale ad
un secondo, la distanza fra due posizioni corrisponde alla velocità media (spazio / tempo = spazio / 1 =
spazio) che ha il corpo fra le suddette posizioni.
Riportiamo su di un grafico velocità-tempo queste velocità medie :
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Dal grafico si vede bene che ad ogni secondo successivo il corpo aumenta la propria velocità media
di un decimetro al secondo.
Questa variazione costante di velocità nell'unità di tempo la chiamiamo "accelerazione". Possiamo allora
concludere che un corpo soggetto ad una forza costante possiede un'accelerazione costante e non una
velocità costante, come si credeva fino a pochi secoli fa
Supponiamo ora di imprimere al corpo una forza doppia. Otteniamo così il grafico :
Riportiamo anche in questo caso le velocità medie fra le posizioni successive nel seguente grafico :
Otteniamo quindi che ad ogni secondo successivo il corpo aumenta la propria velocità media di due
decimetri al secondo.
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Possiamo quindi dedurre che se la forza raddoppia, l'accelerazione di conseguenza raddoppia.
La forza, in conclusione, è direttamente proporzionale all'accelerazione che imprime al corpo.
02 - Parte 2.
Abbiamo visto in precedenza che una forza costante produce un aumento continuo della velocità
di un corpo ad essa soggetto. Quando un corpo cambia la propria velocità si dice che accelera.
Desumemmo che una forza costante produce allora una accelerazione costante.
Naturalmente consideriamo tutti i moti rispetto ad un sistema di riferimento perché non esiste
il moto "assoluto". Se poi scegliamo un sistema di riferimento inerziale avremo sicuramente
dei vantaggi di semplicità nella descrizione del moto dei corpi.
Tutte le considerazioni che seguiranno saranno allora riferite ad un sistema di riferimento inerziale.
Abbiano anche visto che raddoppiando la forza, il corpo (il medesimo) subisce una accelerazione
doppia, triplicando la forza, l'accelerazione triplica ecc. Possiamo quindi affermare che :
la forza è direttamente proporzionale all'accelerazione.
Ora ci domandiamo : cosa succede se teniamo costante la forza e raddoppiamo la massa del corpo
(ovvero la sua "quantità di materia") ?
Per capire questo potremmo prendere due corpi uguali al corpo del precedente esempio e fonderli,
unirli, assieme.
Intuitivamente possiamo azzardare la risposta. Se la massa raddoppia a parità di forza, l'accelerazione
si dimezza. Questo risultato è verificabile sperimentalmente in maniera molto semplice. Se poi la massa
triplicasse, sempre a parità di forza, l'accelerazione diverrebbe un terzo.
Possiamo allora riassumere questo risultato nell'affermazione :
massa ed accelerazione sono grandezze inversamente proporzionali.
I due risultati sopra espressi possono essere sintetizzati da una formula della massima importanza, fra
le più importanti di tutta la fisica. La formula, dovuta al grande Newton, è :
F = m· a
dove F indica la forza che agisce sul corpo, m la sua massa ed a la sua accelerazione.
Vediamo ora se questa formula "funziona bene", ovvero se è in grado di riportarci i risultati che
abbiamo sopra elencato.
Supponiamo di avere un corpo di massa 2 Kg e che su questo agisca una forza di 10 N (la lettera
N indica l'unità di misura del newton con cui si misurano le forze nel Sistema Internazionale (vedi
più avanti)). Sostituendo nella formula F = m · a (ed intuendo il valore dell'accelerazione) otteniamo :
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10 N = 2 Kg · 5 m/s²
(l'accelerazione, essendo una variazione della velocità nel tempo, si misura in metri al secondo per
secondo, ovvero metri al secondo quadrato (vedi più avanti)).
Se raddoppiamo la forza, a parità di massa, dovremmo ottenere una accelerazione doppia, infatti :
20 N = 2 Kg · 10 m/s² .
Se teniamo la forza costante, per esempio 10 N , e l'applichiamo ad un corpo di massa doppia,
quindi 4 Kg, applicando al formula otteniamo :
10 N = 4 Kg · 2.5 m/s² .
Questo è esattamente ciò che ci aspettavamo, raddoppiando la massa, a parità di forza, l'accelerazione
dimezza.
Abbiamo così dimostrato che la formula che sintetizza il secondo principio della dinamica, F = m · a ,
è adatta ad esprimere i risultati sperimentali sopra elencati.
Aristotele, nella sua fisica, aveva invece erroneamente affermato che la forza è proporzionale alla
velocità. Cioè :
F = m· v
(dove v esprime la velocità del corpo).
Da questa formula si deduce che se la forza che agisce su un corpo è nulla, la velocità è di conseguenza
nulla. Aristotele non conosceva il principio d' inerzia !!! Noi invece sappiamo, grazie a Galileo, che se la
forza è nulla la velocità è costante.
03 - Alcune precisazioni sulle unità di misura sopra usate.
In fisica, ogni grandezza, dovendo esprimere fenomeni sperimentalmente verificabili, cioè misurabili,
deve essere espressa secondo certe unità di misura. Le unità di misura fisiche sono ovviamente
convenzionali e sono elencate nel cosiddetto Sistema Internazionale.
In fisica vi sono grandezze fondamentali, cioè non esprimibili in funzione di altre grandezze, e grandezze
derivate, cioè esprimibili in funzione di altre grandezze fondamentali.
La massa è una grandezza fondamentale e la sua unità di misura è il chilogrammo (kg). Il chilogrammo
è la massa di un certo cilindro di platino-iridio (una lega adatta a conservarsi "immutabile" nel tempo)
conservato a Parigi.
La velocità si misura in metri al secondo (m/s) (essendo la velocità definibile come spazio / tempo, dove
spazio e tempo sono grandezze fondamentali).
L'accelerazione si misura in metri al secondo per secondo (m/s²) (essendo l'accelerazione definibile come
variazione di velocità / tempo, quindi (m/s)/s , ovvero m/s² ).
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La forza si misura in newton (N).
Per definire il newton si usa la formula F = m · a per cui :
1 N = 1 kg · 1 m / 1 s² .
Per avere un'idea "pratica", intuitiva, di quanto "valga" un newton si può considerare cosa succede ai
corpi ordinari della nostra esperienza quotidiana qui sulla superficie terrestre, sotto l'effetto della forza
gravitazionale.
Immaginiamo un corpo della massa di 1 kg. Su di esso agisce la forza di gravità con una forza
che lo attira verso il centro della terra. Questa forza si chiama peso del corpo :
Il corpo in questione, se lasciato cadere sotto l'effetto del suo peso, subisce una accelerazione pari
a circa 9.81 m/s² (questo dato è facilmente ricavabile sperimentalmente). Si ottiene allora :
F = 1 kg · 9.81 m/s²
cioè circa 10 N .
Questo significa che un corpo di 1 kg viene attratto con una forza (il suo peso) pari a circa 10 N.
1 N corrisponderà allora a circa un etto !!! Così abbiamo un'idea di cosa sia 1 N (newton).
04 - Sul concetto di massa.
Grazie alla formula di Newton F = m · a possiamo chiarire meglio il concetto di massa. Già abbiamo
affermato che la massa di un corpo è la sua "quantità di materia". Il concetto può essere meglio espresso
affermando che :
la massa esprime la resistenza che un corpo oppone a cambiare il suo stato di moto
ovvero :
la massa esprime l'attitudine che ha un corpo a permanere nel suo stato di moto, cioè esprime la
sua inerzia ai cambiamenti di moto.
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Per questi motivi la massa, intesa in questo modo, è detta più esattamente massa inerziale.
05 - Semplici esercizi di applicazione della formula F = m · a .
Consideriamo un corpo di massa m = 1000 kg .
Supponiamo che su di esso agisca una forza costante F . Da misure di spazio e tempo effettuate
sul corpo in questione supponiamo che risulti che esso si muova (rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale) con una accelerazione costante a = 3 m/s² .
Domandiamoci : quanto vale la forza F applicata al corpo ?
Per il secondo principio della dinamica risulta :
F = m· a .
Facendo i calcoli si ottiene allora :
F = 3 · 1000 = 3000 N (newton).
(valendo 1 N circa un etto, questa forza sarà circa 300 chili (nella vecchia unità di misura
chilogrammo peso)).
Supponiamo ora che sullo stesso corpo agisca una forza costante F = 3000 N .
Domandiamoci : a che accelerazione a sarà soggetto il corpo ?
Applicando la medesima formula si ottiene :
3000 = 1000 · a
da cui :
a = 3000 / 1000 = 3 m/s² .
Supponiamo infine che su quel corpo agisca una forza nulla, ovvero F = 0 .
Risulta, sempre applicando la formula F = m · a , allora :
0 = 1000 · a
da cui :
a = 0 / 1000 = 0 m/s² .
L'accelerazione con cui risulta muoversi il corpo è nulla. Questo risultato naturalmente è estendibile
ad un corpo di massa m qualunque. Possiamo cioè affermare che se su un corpo qualunque agisce
una forza nulla ( F = 0 ) l'accelerazione che ne risulta è anch'essa nulla ( a = 0 ).
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Cosa significa che un corpo ha accelerazione nulla ?
Un corpo con accelerazione nulla non cambia la propria velocità (l'accelerazione è infatti la variazione
della velocità nell'unità di tempo) quindi si muove di velocità costante.
Abbiamo visto allora che il secondo principio della dinamica contiene dentro di sé il primo
principio (il principio d'inerzia) come caso particolare per F = 0 .
Fine.
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