Corso termo-fluidodinamica (modellizzazione di flussi turbolenti)
Testo: Turbulent flows di Stephen B. Pope (Cornell University)
Lo studio dei flussi turbolenti si divide in tre sottocategorie
• Osservazione-Descrizione: Come si comporta un flusso
turbolento? Come può essere descritto quantitativamente?
Quali sono i fenomeni fisici coinvolti?
• Modellizzazione: Sviluppo di modelli matematici che possano
prevedere accuratamente le proprietà dei flussi turbolenti.
• Controllo-Ottimizzazione : studi (sia sperimentali che
numerici) realizzati al fine di manipolare e controllare il flusso o
la turbolenza per trarne beneficio (es. cambiare la geometria per
migliorare il mescolamento o ridurre la resistenza areodinamica)
Corso termo-fluidodinamica (modellizzazione di flussi turbolenti)
Testo: Turbulent flows di Stephen B. Pope (Cornell University)
• Osservazione-Descrizione:
Modellizzazione della turbolenza
Difficoltà:
• Si devono risolvere numericamente sistemi di equazioni non-lineari che
descrivono fenomeni fisici complessi.
• Si affrontano flussi che evolvono su molteplici scale temporali e spaziali.
Risolvere tutte le scale richiede una elevata accuratezza.
• Vi è una grossa influenza della geometria del dominio di calcolo sulle
proprietà del flusso.
La simulazione numerica coinvolge numerose discipline
• Sviluppo di modelli di turbolenza. Risolvere tutte le scale di moto è molto
dispendioso per cui ci affida a modelli che permettano di ridurre il costo
computazionale (RANS).
• Sviluppo di metodi numerici robusti ad elevato ordine di accuratezza.
• Sviluppo di algoritmi di triangolazione del dominio di calcolo.
• Implementazione informatica di codici di calcolo paralleli.
Descrizione di flussi turbolenti
La turbolenza è un fenomeno random
Consideriamo un esperimento ripetibile n volte dato un insieme di
condizioni iniziali e operative C.
Consideriamo un evento A:= {U(x,t) < 10 m/s}.
• A si verifica inevitabilmente, è certo e sicuro.
• A non può verificarsi, è impossibile.
• A non è sicuro e nemmeno impossibile, è RANDOM.
Andamento della velocità U(n)
(nella posizione x e al tempo t)
misurata all’ennesima
ripetizione dell’esperimento.
La caratterizzazione di un
flusso turbolento richiede un
approccio statistico.
Descrizione di flussi turbolenti
Le equazioni che governano il moto dei fluidi costituiscono un
modello deterministico. Come è possibile che nel caso di flussi
turbolenti le soluzioni siano RANDOM?
1) Ad ogni ripetizione dell’esperimento si verificano, inevitabilmente,
perturbazioni delle condizioni iniziali, delle condizioni al contorno e
delle proprietà del fluido.
2) I flussi turbolenti sono molto sensibili a queste perturbazioni
Esempio: Acqua che scorre in un tubo dritto con pareti lisce.
Possibili perturbazioni delle condizioni nominali:
Condizioni al contorno (vibrazioni, rugosità della parete del tubo)
Proprietà del fluido (disomogeneità della temperatura, impurità)
Condizioni iniziali (fluido fermo, piccole variazioni locali di velocità)
Il numero di Reynolds determina la sensibilità alle perturbazioni:
A Re elevati l’evoluzione del campo di moto è estremamente sensibile a
piccole variazioni delle condizioni nominali.
Sensibilità a piccole perturbazioni (Equazioni di Lorentz)
Assegnati i coefficienti costanti = 10, = 83 , e ⇢ = 28,
le variabili x(t),y(t),z(t) evolvono secondo il seguente sistema di
equazioni differenziali ordinarie
dx
= (y x)
dt
dy
= ⇢x y xz
dt
dz
=
z + xy
dt
Scelgo due diverse condizioni iniziali e integro numericamente
a) [x(0), y (0), z(0)] = [0.1, 0.1, 0.1]
b) [xb(0), y (0), z(0)] = [0.1 + 10
6
, 0.1, 0.1]
Analizzo il comportamento di x(t) e xb(t) per t > 0.
Sensibilità a piccole perturbazioni (Equazioni di Lorentz)
Per t > 35 le differenze sono significative
Sensibilità a piccole perturbazioni (Equazioni di Lorentz)
Assegnati i coefficienti costanti = 10, = 83 , e ⇢ = 28,
le variabili x(t),y(t),z(t) evolvono secondo il seguente sistema di
equazioni differenziali ordinarie
dx
= (y x)
dt
dy
= ⇢x y xz
dt
dz
=
z + xy
dt
Per e fissati la sensibilità al dato iniziale dipende dal valore di ⇢.
Per ⇢ > 24.74 si innesca un andamento random.
Per ⇢ < 24.74 il sistema tende ad una soluzione stazionaria.
Le equazioni di Navier-Stokes (con BC stazionazie) hanno
comportamento analogo rispetto al numero di Reynolds.
Caratterizzazione di flussi turbolenti
Come caratterizzo l’andamento delle variabili in un flusso
turbolento? Devo ricorrere ad un approccio statistico.
Per la variabile casuale U(x,t) la probabilità di eventi quali
A:={U < 10 m/s}
B:={9 m/s < U < 10 m/s}
è nota se è nota la funzione densità di probabilità (PDF).
PDF:= f(V), doveV possibile valore assunto dalla variabile casuale U.
La probabilità che U assuma valori compresi tra Va e Vb è
P(Va < U < Vb ) =
Z
Vb
Va
f (V )dV
0⩽P⩽1: P=0 evento impossibile, P=1 evento certo
Caratterizzazione di flussi turbolenti
Come caratterizzo l’andamento delle variabili in un flusso
turbolento? Devo ricorrere ad un approccio statistico.
Per la variabile casuale U(x,t) la probabilità di eventi quali
A:={U < 10 m/s}
B:={9 m/s < U < 10 m/s}
è nota se è nota la funzione densità di probabilità (PDF).
PDF:= f(V), doveV possibile valore assunto dalla variabile casuale U.
La probabilità che U assuma valori compresi tra Va e Vb è
P(Va < U < Vb ) =
Z
Vb
Va
f (V )dV
La PDF associata alla variabili di un flusso turbolento non è nota.
In generale la PDF non è una funzione gaussiana.
Media e varianza
Conoscere la PDF:= f(V) permette di calcolare media e varianza
hU i :=
var (U ) :=
Z
Z
1
1
1
V f (V ) dV
(V
1
Introducendo la fluttuazione u 0 = U
hU i)2 f (V ) dV
D
hU i abbiamo var(U) = u 0
2
E
.
Per N equiprobabili valori discreti di U
N
X
1
hU iN =
U (n)
N
n=1
N
X
1
var(U) =
(U (n)
N
n=1
2
⌦
hU iN ) = U
2
↵
2
N
hU iN
Distribuzione normale o gaussiana
f (V ) = N (V ; µ,
2
)=
1
p
e
(2⇡)
1
2 (V
µ)2 /
2
Per una PDF gaussiana hU i = µ e var (U ) =
μ: valore atteso
σ: deviazione std
2
.
Z
Z
µ+
µ
µ+2
µ 2
Z µ+3
µ 3
f (V ) = 0.68
f (V ) = 0.95
f (V ) = 0.997
Caratterizzazione di flussi turbolenti
Caso particolare (PDF nota a priori): considero N ripetizioni di un
medesimo flusso turbolento nelle stesse condizioni nominali, in modo tale
che non vi sia alcuna dipendenza tra le ripetizioni.
Sia U una componente della velocità in una specifica posizione e ad un
dato tempo (dall’inizio dell’esperimento, U(x,t)).
Con U(n) indichiamo U all’n-esima ripetizione dell’esperimento.
N
X
1
(n)
La media su N ripetizioni hU iN :=
U è una variabile casuale
N
n=1
Per N tendente ad infinito la sua PDF è una gaussiana.
Le variabili casuali U(1),U(2),U(…) sono indipendenti e identicamente
distribuite (hanno la medesima PDF, cioè la PDF di U), quindi
hhU iN i =
*
1
N
N
X
n=1
U (n)
+
N D
E
X
1
1
(n)
=
U
= N hUi = hU i
N
N
n=1
1
Analogamente è possibile dimostrare che var(hU iN ) = var(U )
N
Variabili casuali vettoriali (media)
Considero una variabile casuale vettoriale, esempio U={U1,U2}.
PDF:= f12(V1,V2), doveV1 e V2 sono possibili valori di U1 e U2.
P{V1a < U1 < V1b , V2a < U2 < V2b } =
Z
V1b
V1a
Z
V2b
V2a
f12 (V1 , V2 )dV1 dV2
Definisco la media di U1
hU1 i =
=
=
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
Z
1
V1
1
Z
V1 f12 (V1 , V2 ) dV1 dV2
1
f12 (V1 , V2 ) dV2 dV1
1
✓Z
+1
f12 (V1 , V2 )dV2 = f1 (V1 )
1
V1 f1 (V1 )dV1
1
La media di U2 può essere calcolata in modo analogo,
indipendentemente da U1.
◆
Variabili casuali vettoriali (covarianza e correlazione)
Considero una variabile casuale vettoriale, esempio U={U1,U2}.
Definisco la covarianza di U1 e U2
cov(U1 , U2 ) = hu10 u20 i =
Z
1
1
Z
1
(V1
1
hU1 i) (V2
hU2 i) f12 (V1 , V2 ) dV1 dV2
e il coefficiente di correlazione
⇢12
hu10 u20 i
=
tale che
1 ,
(hu10 2 ihu20 2 i) 2
1 < ⇢12 < 1
Per valori unitari del coefficiente di correlazione le variabili U1 e U2 sono
perfettamente correlate, mentre se il coefficiente di correlazione è nullo le
variabili sono scorrelate.
Per N equiprobabili valori discreti di U1, U2
N ⇣
X
1
cov(U1 , U2 ) =
U1(n)
N
n=1
hU1 iN
⌘⇣
U2(n)
⌘
hU2 iN = hU1 U2 iN
hU1 iN hU2 iN
Esempi di distribuzione normale bivariata, PDF= f(x,y)
Distribuzione normale multivariata
Considero una variabile casuale vettoriale, esempio U={U1,U2, U3}.
La media e la fluttuazione sono
u0 = U
µ = hUi = {hU1 i , hU2 i , hU3 i}
hUi = {U1
hU1 i , U2
hU2 i , U3
hU3 i}
Introducendo la matrice di covarianza C
0
0
C = hu ⌦ u i =
hu10 u10 i
0 0
hu2 u1 i
hu30 u10 i
hu10 u20 i
0 0
hu2 u2 i
hu30 u20 i
hu10 u30 i
0 0
hu2 u3 i
hu30 u30 i
la PDF normale multivariata f(V) è
3
f (V) = [(2⇡) det(C)]
1/2
exp[
1
2 (V
µ)T C
1
(V
µ)]
Dipendenza dal tempo U=U(t)
La turbolenza è un fenomeno instazionario, U=U(t).
Per caratterizzare il processo dovrei considerare tutti gli istanti di
tempo, cioè la PDF multivariata fN(V1,t1; V2,t2; …; VN,tN).
Ad ogni istante t è associata una diversa variabile casuale U.
Questo in generale non è fattibile.
Dipendenza dal tempo U=U(t)
I flussi turbolenti, per buona parte, sono statisticamente stazionari:
dopo un transitorio iniziale la statistica è invariate rispetto al tempo.
Per t > 5 la statistica diventa
indipendente dal tempo,
anche se il processo U(t)
continua a variare in modo
significativo.
Per t > 5, N sufficientemente grande e T sufficientemente lungo
Z t+T
N
X
1
1
(n)
hU(t)iN =
U (t) '
U(t)dt = hUiT
N
T t
i=1
Stat. Staz:= per tutti gli intervalli di tempo T e qualsiasi scelta di {t1,t2,…,tN}
fN(V1,t1 + T; V2,t2 +T; …; VN,tN +T) = fN(V1,t1; V2,t2; …; VN,tN).
Dipendenza dal tempo U=U(t)
La turbolenza è un fenomeno instazionario, U=U(t).
I flussi turbolenti, per buona parte, sono statisticamente stazionari:
dopo un transitorio iniziale la statistica è invariate rispetto al tempo.
La funzione di autocorrelazione
hu 0 (t)u 0 (t + s)i
0
dove
u
(t) = U(t)
⇢(s) =
0
2
hu (t) i
hU i
esprime la il coefficiente di correlazione tra il processo al tempo t e t+s.
D
Per l’ipotesi di flusso stat. staz. si ha che hU i , u
dipendono dal tempo.
02
E
e ⇢(s) non
Proprietà della funzione di autocorrelazione
⇢(0) = 1, |⇢(s)| 1, ⇢(s) = ⇢( s)
Per flussi turbolenti la correlazione diminuisce rapidamente al crescere di s.
Dipendenza dalla posizione U=U(x,t)
La velocità e una variabile vettoriale che dipende dalla posizione e dal tempo.
La PDF associata al punto x al tempo t è f(V,x,t).
Per caratterizzare il campo di velocità dovrei considerare tutte le posizioni e
tutti gli istanti di tempo, cioè dovrei conoscere la PDF multivariata
fN(V1,x1,t1; V2,x2,t2; …; VN,xN,tN).
Ad ogni istante t e posizione x è associata una diversa variabile casuale
vettoriale U. Questo non è fattibile.
Per un processo statisticamente stazionario fN non cambia se (x,t) viene
sostituito con (x,t+T).
Per un campo statisticamente omogeneo fN non cambia se (x,t) viene
sostituito con (x+X,t). Questo implica che hUi sia uniforme.
La definizione di turbolenza omogenea è meno restrittiva:
la fluttuazione di velocità u0 è statisticamente omogenea.
Questo implica che r hUi sia uniforme.
Concetti importanti da ricordare
Dato che le PDF associate alle variabili casuali di flussi turbolenti
non sono note a priori consideriamo medie aritmetiche.
N
X
1
hU i '
U(n) (x, t), per N sufficientemente grande
N
n=1
Per fenomeni statisticamente stazionari le medie aritmetiche per
N ripetizioni dell’esperimento possono essere sostituite da medie
nel tempo.
Z t+T
1
hUi '
U(t)dt, per T sufficientemente lungo
T t
Il tensore hu0 ⌦ u0 i (matrice di covarianza) ha un ruolo
fondamentale nell'ambito della modellizzazione della turbolenza.
