130515 Lezione Termodinamica 2 - Dipartimento di Fisica e Geologia

Teoria cinetica dei gas
Fisica dei gas in
Termodinamica
—  Grandezze macroscopiche
—  P, V, T tutte conseguenza del moto delle particelle
—  Pressione:
—  Urti molecole contro pareti
—  Volume:
—  Assenza di legami tra le particelle
—  Temperatura:
—  Energia cinetica posseduta dalle particelle
—  è Teoria cinetica dei gas
—  Descrive la relazione P, V, T ó moto particelle
Numero di Avogadro
—  Calore specifico ó Calore specifico molare
— 
Per unità di massa ó per singola mole
—  Utilità mole per confrontare campioni con stesso numero di particelle elementari
— 
i.e. atomi, molecole…
—  Mole = numero di atomi o molecole pari a quelli contenuti in una massa in
grammi dell’isotopo 12 del Carbonio pari al suo numero di massa o peso atomico.
—  Numero di Avogadro NA
—  Vale per qualunque atomo o molecola:
NA corrisponde al numero di atomi o molecole necessario a formare una massa in
grammi pari numericamente al peso atomico o al peso molecolare rispettivamente
della sostanza
—  M=m*NA
—  M Massa molare
—  m massa di una molecola o di un atomo
—  Utilità mole/NA:
— 
I gas (ideali) mostrano identico comportamento e leggi quando hanno uguali
quantità in termini di moli e numeri di particelle e non in termini di massa
Gas ideali
—  Si vuole mettere in relazione le grandezze macroscopiche PVT di un gas
con comportamento microscopico dei componenti elementari
—  Evidenze sperimentali è tutti i gas hanno comportamento simile a
parità di numero di particelle coinvolte
—  Le differenze à0 per densità à0
—  Legge dei gas perfetti
—  R = costante dei gas
—  kB = R/NA = costante di Boltzmann
—  Gas perfetti = modello
pV = nRT
pV = NkT
Gas reali à gas perfetti per densitàà0
—  Numero di molecole molto grande
—  Distanza media di separazione >> dimensioni
—  è densità à 0
e
molecole puntiformi
—  Movimenti secondo meccanica Newton ma isotropici
—  Interazioni intermolecolari elastiche e solo a breve distanza
—  Interazioni molecole pareti con urti elastici
—  Gas puro à molecole tutte identiche
Lavoro di un gas
Casi particolari
—  L a temperatura costante
—  Espansione isoterma (iperboli p=cost/V)
L=
∫
Vf
Vi
p dV = nRT ∫
Vf
Vi
Vf
dV
Vf
= nRT[lnV ]Vi = nRT ln
V
Vi
—  L a volume costante
L=0
—  L a pressione costante
L=
∫
Vf
Vi
p dV = pΔV
Interpretazione molecolare
della pressione
—  N moli in scatola cubica (V, p; T=cost)
—  Trascuriamo le collisioni intermolecolari
px =
Ftot,x =
Ftot,x Ftot,x
= 2
A
d
molecole
∑
Fi,x =
molecole
∑
i
i
ΔQi,x = −ΔQ
molec
i,x
Δt =
(Px → pressione lungo x)
ΔQi,x
(Qi,x → QdM della parete lungo x )
Δt
= −(−2mvi,x )
2d
vi,x
molecole
v =
2
x
∑
i
N
2
vi,x
molecole
⇒
∑
2
mvi,x
= (nN A )mvx2
(vx2 = velocità quadratica media)
i
F
1
= 2⋅
px = tot,x
2
d
d
molecole
∑
i
/ i,x 1 molecole 2 (nN A )mvx2 (nN A )m v 2 2 N ' 1
*
ΔQi,x 1 molecole 2mv
= 2⋅ ∑
= 3 ⋅ ∑ mvi,x =
=
⋅ = ⋅ ) mv 2 ,
/
2d
+
d
d
V
Δt
V
3 3 V (2
i
i
vi,x
—  La pressione è proporzionale al
—  numero di particelle per unità di volume
—  Energia cinetica media per particella
Interpretazione molecolare
della temperatura
2 !1 2$
N # mv &
%
3 "2
pV = NkBT
2 !1 2$
⇒
T=
# mv &
%
3kB " 2
pV =
⇒
—  Anche T ha legame diretto con grandezze
microscopiche
—  Temperatura sistema proporzionale a:
—  energia cinetica media traslazionale di ogni
!1
$ 3
3
Etot = N ⋅ # mv 2 & = NkBT = nRT
"2
% 2
2
molecola
—  Energia cinetica traslazionale totale del
sistema
—  Per gas monoatomico, Ecin traslazionale è
l’unica forma di energia posseduta dalla
particella
—  è Eint correlata SOLO a temperatura sistema
—  Teorema equipartizione energia
1 2
1
1 2 3
mv = kBT ⇒ mvx,y,z
= k BT
2
2
2
2
—  L’energia di un sistema in equilibrio termico
è ugualmente suddivisa tra tutti i gradi di
libertà
—  Ampliabile ad altri tipi di energia
(i.e. vibrazionale e rotazionale)
Velocità quadratica media
—  Le velocità quadratiche medie sono molto elevate O(102-103m/s)
3RT
3kBT
=
M mol
m
—  Lentezza nell’occupare il volume disponibile dovuta al moto
browniano per gli urti tra molecole
—  Velocità di deriva complessiva e per particella molto più bassa
vrqm = v 2 =
—  È una velocità media
—  sia nel tempo per la singola molecola
—  sia tra molecola e molecola
—  è Distribuzione
velocità ó Maxwell-Boltzmann
3
mol v
! M mol $ 2 2 −M2 RT
P(v) = 4π #
& ve
" 2π RT %
2
n% =
x=
∫
v2
v1
P(v)dv
∞
xP(v)dv
∫
—  è Idrogeno assente in atmosfera perchè v
~17% vfuga
—  è (~ per liquidi) à fenomeno evaporazione e raffreddamento
0
rqm
Libero cammino medio
—  Urti anche tra particelle è distanza media tra collisioni
—  Solo molecola in studio si muove
—  Dimensione d’=2*d e le altre puntiformi
Vcil = (π d 2 )⋅ (v ⋅ Δt)
N coll = Vcil ⋅ (N / V )
⇒
λ=
L
1
=
N coll π d 2 (N / V )
—  in realtà si muovono tutte (in Vcil si usa velocità relativa)
λ=
—  Aria:
1
1
⋅ 2
2 π d (N / V )
λmare = 0.1µ m
λ100km = 16cm
λ300km = 20km
Calori specifici molari
—  CV,m = Q/(ΔT*n) a volume costante
⇒ Q = nCV ΔT
$ 3
'
ΔEint & = nR ⋅ ΔT ) = Q − L
% 2
(
3
⇔
Eint = nCV ⋅ T
CV = R
2
—  è ΔEint óT ma indipendente da tipo di trasformazione
—  CP,m = Q/(ΔT*n) a pressione costante
⇒ Q = nCP ΔT
ΔEint (= nCV ⋅ ΔT ) = Q − L
L = p ⋅ ΔV = nR ⋅ ΔT
CP = CV + R
—  Cp>Cv perchè Energia serve anche per lavoro
Gradi di libertà ó
gas poliatomici
—  Eint non solo traslazionale ma anche
vibrazionale e rotazionale!
—  Teorema equipartizione energia
—  Per ogni grado di libertà (f) è associata Eint,f=1/2kT
(Eint,f=1/2RT per ogni mole)
!f$
Eint = # & nRT
"2%
!f$
CV = # & R
"2%
⇒
Eint = nCV T