Matematica e Statistica Modulo di Matematica

Matematica e Statistica
Modulo di Matematica
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Biologia della Nutrizione
Argomento 1.
Successioni
a.a.
2013-2014
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
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Principio di Induzione
Outline
1
Principio di Induzione
2
Successioni e Limiti
Limiti notevoli
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Principio di Induzione
Consideriamo la seguente affermazione sulla funzione potenza x n ;
0 ≤ x1 < x2 → x1n < x2n .
Questa proposizione può essere dimostrata mediante il principio di
induzione.
Se quasta proprietà si suppone vera per un qualche n, e dimostriamo
che sia vera per n + 1, allora vele per tutti n.
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Principio di Induzione
Principio di Induzione
Supponiamo che una proposizione dipendente da un indice n ∈ N sia
vera per n = 1e che inoltre supposta vera per n, sia vera per n + 1.
Allora la proposizione è vera per ogni n ∈ N.
Esempi
Posso essere dimostrate per induzione le seguenti relazioni.
Formula di Gauss.
1 + 2 + 3 + ...n =
n(n + 1)
2
Disuguaglianza di Bernoulli. ∀x ∈ R, x ≥ −1 e ∀n ∈ N, si ha:
(1 + x)n ≥ 1 + nx .
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Successioni e Limiti
Outline
1
Principio di Induzione
2
Successioni e Limiti
Limiti notevoli
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Successioni e Limiti
Successioni
Definizione: Una successione è una funzione
N −→ R
n −→ an
che associa ad ogni numero naturale n un unico numero reale an ∈ R.
Esempio
Le seguenti sono esempi di successioni definiti sull’insieme N − {0}:
1. an = n1 , dunque si ha
1, 12 , 31 , . . . , n1 , . . .
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
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Successioni e Limiti
2. an =
n+1
n ,
dunque si ha
2, 32 , 43 , . . . , n+1
n , ...
a1 , a2 , a3 , . . . , an ,
...
3. an = (−1)n , dunque si ha
−1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . .
a1 , a2 , a3 , . . . , an ,
...
4. an = n2 , dunque si ha
1, 4, 9, . . . , n2 , . . .
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
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Successioni e Limiti
Sottosuccessione
Definizione. Data una successione an , si definisce
sottosuccessione una successione del tipo bn = akn , dove l’insieme
{kn ∈ : n ∈} ha infiniti elementi.
1
1
e cn = a2n+1 = 2n+1
Ad esempio, data an = n1 , allora bn = a2n = 2n
sono sottosuccessioni di an .
Limite
Definizione. Un numero reale a ∈ R è detto limite della successione
an (ed in questo caso an è detta successione convergente) se
∀ > 0 ∃ n ∈ : a − < an < a + , ∀n > n.
In tal caso si scrive
lim an = a.
n→+∞
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Successioni e Limiti
Ad esempio si ha che
lim
n→+∞
1
= 0,
n
infatti a − < an < a + ⇔ − < an − a < ⇔ |an − a| < ⇔ >
|an − a| = | n1 − 0| = n1 ⇔ n > 1 ⇔ n > 1 .
Dunque
∀ > 0 ∃ n ∈ (basta prendere n >
1
) : a − < an < a + , ∀n > n.
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Successioni e Limiti
Teorema: Unicità del limite
Una successione convergente non può avere due limiti diversi.
Proposizione.
Se la successione an converge ad a allora ogni sottosuccessione di an
converge ad a.
Successione divergente
Definizione: Una successione an ha limite +∞ (ed in questo caso an
è detta successione divergente) se
∀M > 0 ∃ n ∈ : an > M, ∀n > n.
In tal caso si scrive
lim an = +∞.
n→+∞
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Successioni e Limiti
Successione indeterminata
Definizione: Una successione an che non ammette limite è detta
successione indeterminata.
Esempio.
Vediamo alcuni esempi di limiti di successione.
1. limn→+∞ n2 = +∞, an = n2 è una successione divergente.
2. limn→+∞
n+1
n
= 1, an =
n+1
n
è una successione convergente.
(−1)n
3. limn→+∞
non esiste, an = (−1)n è una successione
indeterminata, infatti esistono due sottosuccessioni di an con limiti
diversi: limn→+∞ (−1)2n = 1, limn→+∞ (−1)2n+1 = −1.
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Successioni e Limiti
Se
limn→+∞ an = a, a ∈ R limn→+∞ bn = b, b ∈ R
allora si possono effettuare le seguenti operazioni sui limiti:
lim (an ± bn ) = a ± b
n→+∞
lim (an · bn ) = a · b
n→+∞
lim
n→+∞
a
an
= , se b, bn 6= 0
bn
b
Per i limiti infiniti si hanno le seguenti tabelle.
limn→+∞ an limn→+∞ bn limn→+∞ (an + bn )
a
±∞
±∞
±∞
±∞
±∞
∓∞
±∞
F.I.
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Successioni e Limiti
limn→+∞ an limn→+∞ bn limn→+∞ (an · bn )
a 6= 0
±∞
±segno(a)∞
0
±∞
F.I.
±∞
±∞
+∞
∓∞
±∞
−∞
limn→+∞ an limn→+∞ bn limn→+∞ abnn
a
±∞
0
±∞
b 6= 0
±segno(b)∞
±∞
0
?∞
a 6= 0
0
?∞
0
0
F.I.
∞
∞
F.I.
Altre forme indeterminate sono le seguenti: ∞0 , 00 , 1∞ .
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Successioni e Limiti
Teoremi di confronto
Teorema della permanenza del segno
Se limn→+∞ an = a > 0, esiste un numero N̄ tale an per ogni n > N̄.
Se una successione an converge ad un numero positivo, non vuol dire
che tutti i termini della successione sono positivi.
Esempio: an = (n − 7)/n.
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Successioni e Limiti
Corollario
Se limn→+∞ an = a e se an ≥ 0 ∀n ∈ N, allora anche a ≥ 0.
Corollario
Se limn→+∞ an = a, e limn→+∞ bn = b e se an ≥ bn ∀n ∈ N, allora
anche a ≥ b.
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Successioni e Limiti
Teorema dei carabinieri
Siano tre successioni an , bn , cn tali che
an ≤ cn ≤ bn
∀n .
Se limn→+∞ an = limn→+∞ bn = a, allora anche la successione cn è
convergente e limn→+∞ cn = a.
Valgono anche i seguenti risultati di confronto:
Se limn→+∞ an = +∞ e an ≤ bn ∀n ∈ N, allora limn→+∞ bn = +∞.
Se limn→+∞ bn = −∞ e an ≤ bn ∀n ∈ N, allora limn→+∞ an = −∞
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Successioni e Limiti
Limiti notevoli
Limiti notevoli
1. Se α > 0 allora
lim nα = +∞
n→+∞
inoltre
lim an = +∞ ⇒ lim (an )α = +∞
n→+∞
2.
n→+∞

+∞



1
lim an =
n→+∞
 0


non esiste
se a > 1
se a = 1
se − 1 < a < 1
se a ≤ −1
inoltre se limn→+∞ an = +∞ e aan è ben definita per n > N ∈,
allora

+∞
se a > 1



1
se
a=1
lim aan =
n→+∞
0
se − 1 < a < 1



non esiste se a ≤ −1
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Successioni e Limiti
Limiti notevoli
3. Se limn→+∞ an = ±∞ allora
1 an
=e
lim
1+
n→+∞
an
4. Se limn→+∞ an = 0 allora
lim
n→+∞
sin(an )
=1
an
1 − cos(an )
1
=
2
n→+∞
2
(an )
lim
ean − 1
=1
n→+∞
an
lim
log(an + 1)
=1
n→+∞
an
lim
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Successioni e Limiti
5.
lim loga n =
n→+∞
Limiti notevoli
+∞ se a > 1
−∞ se 0 < a < 1
inoltre se limn→+∞ an = +∞ allora
+∞ se a > 1
lim loga an =
n→+∞
−∞ se 0 < a < 1
6. Se limn→+∞ an = 0 e an > 0 allora
−∞ se a > 1
lim loga an =
n→+∞
+∞ se 0 < a < 1
7. Se limn→+∞ an = 0 e an > 0 allora
lim an loga an = 0.
n→+∞
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Successioni e Limiti
Limiti notevoli
8. Limiti notevoli sul confronto tra infiniti:
loga n
=0
n→+∞ nb
lim
∀b > 0, a > 0, a 6= 1;
nb
= 0 ∀b > 0, a > 1;
n→+∞ an
lim
an
=0
n→+∞ n!
lim
∀a > 1;
analogamente si ha sostituendo al posto di n una successione an
che diverge a +∞. Dunque, quando a > 1 e b > 0, si dice che il
loga n è un infinito di ordine inferiore ad una qualunque potenza
positiva nb , una qualunque potenza positiva nb è un infinito di
ordine inferiore a qualunque esponenziale an , un qualunque
esponenziale an è un infinito di ordine inferiore al fattoriale n!. Si
ricorda che il fattoriale di n è definito nel seguente modo:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1, ∀n ∈, 0! = 1.
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Successioni e Limiti
Limiti notevoli
Vediamo ora alcune tecniche per risolvere limiti che conducono a delle
forme indeterminate.
Se nel calcolo di un limite si ottiene una forma indeterminata del
∞
tipo ∞
, allora si divide il numeratore ed il denominatore per
l’infinito di ordine superiore che compare nell’espressione. Ad
esempio:
2n − 4n
= lim
lim
n→+∞
n→+∞ 3n + n!
2n −4n
n!
3n +n!
n!
=
2n
4n
n! − n!
lim
n
n→+∞ 3 + 1
n!
=0
Se nel calcolo di un limite si ottiene una forma indeterminata del
tipo +∞ − ∞, allora si raccoglie l’infinito di ordine superiore che
compare nell’espressione. Ad esempio:
n
n
limn→+∞ (2n + 3n − 4n ) = limn→+∞ 4n 42n + 34n − 1 =
n
= limn→+∞ 4n 21n + 34 − 1 = −∞
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Successioni e Limiti
Limiti notevoli
Se nel calcolo di un limite si ottiene una forma indeterminata del
tipo +∞ − ∞, ed a tale limite si arriva avendo una differenza di
due infiniti an e bn dello stesso ordine in cui almeno uno dei due è
una radice, allora si risolve effettuando i seguenti passaggi:
a2 − bn2
(an − bn ) (an + bn )
= lim n
.
n→+∞ an + bn
n→+∞
n→+∞
an + bn
√
√
Ad esempio: limn→+∞
n+3− n−2 =
lim (an − bn ) = lim
√
limn→+∞
(
= limn→+∞
√
√
√
n+3− n−2)( n+3+ n−2)
√
√
n+3+ n−2
=
n+3−(n−2)
√
√
n+3+ n−2
√
= limn→+∞
5√
n+3+ n−2
=0
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Successioni e Limiti
Limiti notevoli
Se nel calcolo di un limite si ottiene una forma indeterminata del
tipo ∞0 o 00 , allora si procede nel seguente modo:
lim an = lim elog an .
n→+∞
n→+∞
Ad esempio:
lim
n→+∞
√
n
n5
= limn→+∞ e5
5
n
= lim n = lim e
log n
n
n→+∞
n→+∞
5
log n n
5
= lim e n log n =
n→+∞
= e0 = 1
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