CAPITOLO SESTO
ANALOGIE FRA SISTEMI
TERMODINAMICI E SISTEMI
ELETTROMECCANICI
Varie forme di potenza
Il lavoro compiuto nell’unità di tempo rappresenta una potenza. Il lavoro che
può essere compiuto da una quantità di calore è rappresentato dalla sua energia
utilizzabile Q−T a S e pertanto tale grandezza, riferita all’unità di tempo è
data da:
P=−T a Ṡ :
essendo:
il flusso di calore in Wt;
Ta
la temperatura assoluta ambientale, in K
Ṡ
il flusso di entropia, in Wt/K
Un fluido invece trasporta una energia data dal prodotto della portata per
l’energia utilizzabile dovuta al calore (exergia specifica), sommata alla energia
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cinetica ed a quella gravitazionale:
c2
e f =b gz .
2
A queste relazioni possiamo aggiungere quelle di potenza elettrica e
meccanica:
Potenza elettrica
vi
W
Potenza meccanica
fc
W
Potenza meccanica
ω Cp
W
essendo:
v la tensione elettrica istantanea espressa in Volt (V),
i
la corrente elettrica istantanea espressa in Ampère (A),
f
la forza meccanica espressa in Newton (N),
c
la velocita espressa in metri al secondo (m/s).
Cp la coppia meccanica espressa in Newton per metro (N m),
ω la velocità angolare espressa in radianti al secondo (rad/s).
Le varie potenze (cioé quelle convertibili fra loro ed espresse in W) possono
essere considerate come il prodotto di una grandezza di stato (o di potenziale)
per una di flusso, come indicato dalla tabella 6.1.
Esiste pertanto una perfetta corrispondenza fra i fenomeni meccanici,
elettrici e termici sotto questo profilo.
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Tabella 6.1 – Grandezze di potenziale e di flusso che contribuiscono alla
costituzione della potenza.
Campo
Potenziale
Nome
Meccanico Forza
Meccanico Coppia
Flusso
Simbolo Unità
Nome
Potenza
Simbolo Unità
Unità
f
N
Velocità
c
m/s
W
Cp
Nm
Velocità
ω
rad/s
W
angolare
Elettrico
Tensione
v
V
i
A
W
Termico
Exergia
b
J/kg
G
kg/s
W
Macchine
Le macchine sono attrezzature che effettuano la conversione di energia sia
entro uno stesso campo (il trasformatore elettrico è una macchina che converte
una potenza da una tensione ad un’altra), sia fra campi diversi (un motore
termico converte l’energia di combustione in energia meccanica di rotazione
dell’albero motore).
Le macchine, dei tre campi citati, possono essere immaginate senza perdite
per attriti, ottenendo macchine ideali; queste ultime sono interessanti per
indagini sui modi più adatti per effettuare le trasformazioni energetiche
richieste.
Le macchine reali, associate alle corrispondenti macchine ideali, permettono
di esaminare gli effetti aggiuntivi legati alle perdite (per attriti, per scambi di
calore con salti finiti di temperatura, per resistenza elettrica dei cavi percorsi da
corrente elettrica, per isteresi magnetica, ecc.).
Tutte le macchine possono essere rappresentate ed analizzate allo stesso
modo e con simbologia simile, facendo riferimento alle coppie di grandezze
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indicate nella tabella 6.1.
La sostanza che viene usata, generalmente è costituita da un unico
componente chimico (o almeno schematizzabile come tale) che, per facilità di
trasferimento da una parte all’altra della macchina, è normalmente in fase fluida
(liquida o aeriforme); sono quindi esclusi i solidi.
Per lo studio del funzionamento ideale e reale delle macchine termiche è
necessario conoscere la funzione energia utilizzabile (exergia), in valore totale
ovvero in valore specifico se si considera la macchina termica come sistema
aperto. In questo secondo caso vanno tenute in conto le energie cinetiche e
gravitazionali come specificato al capitolo quinto. La funzione energia
utilizzabile (exergia) è derivabile da altre grandezze caratteristiche dello stato
del fluido.
Legge generale della potenza di un sistema complesso
(meccanotermoelettrico)
Un componente meccanico, termico od elettrico avrà un certo numero di
collegamenti con l’esterno attraverso i quali fluiscono energie trasportate da
elementi meccanici, da correnti elettriche o da fluidi.
Immaginando la contemporanea presenza delle elencate forme di energia, si
può costruire un vettore potenziale avente la forma:
v
f
V =
Cp
Nc
ef
essendo:
v
la tensione elettrica in V,
f
la forza meccanica in N,
Cp la coppia meccanica in Nm,
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Nc il numero di Carnot in J/Jt
ef
il potenziale termomeccanico in J/kg,
ed un vettore flusso:
I =
i
c
ω
Φ
G
essendo:
i
la corrente elettrica in A,
c la velocità lineare in m/s,
ω la velocità angolare in rad/s,
Φ il flusso di calore in Wt
G la portata massica in kg/s.
La potenza entrante per un sistema stazionario (nessun accumulo) sarà
rappresentata dal prodotto vettoriale (il prodotto matriciale si ottiene
effettuando il prodotto riga per colonna):
P=VI
anch’esso vettore le cui componenti rappresentano rispettivamente le potenze
elettrica, meccanica (per moto lineare e per moto rotatorio) e termica (per flusso
di calore o per portata di fluido).
Il modulo della potenza può essere considerato come la somma algebrica
delle componenti di tale vettore presentando ciascuna componente le unità di
misura di W (Volt per Ampère; N per m/s; Nm per rad/s; J/Jt per Jt /s; J/kg per
kg/s).
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Sistemi complessi stazionari
Un sistema complesso elettrotermomeccanico può essere concepito, per i
nostri scopi, nella forma semplice di nbipolo e come semplificazione doppio
bipolo:
1) come un nbipolo cioé come una scatola con n collegamenti doppi con
l’esterno, parte in ingresso (indice i) e parte in uscita (indice u), a due a due
percorsi dalla stessa grandezza di flusso, lo schema funzionale è rappresentato
in figura 6.1 e, in assenza di perdite:
Vi Ii = Vu Iu
il segno positivo a secondo membro dipende dal fatto che il flusso di energia in
uscita viene considerato come positiva.
Nel caso di doppio bipolo lineare e senza perdite (le perdite possono essere
conteggiate inserendo altri elementi sui collegamenti), fra grandezze in ingresso
ed in uscita possono scriversi due relazioni di proporzionalità del tipo:
V i = A11⋅V u A22⋅I u
I i = A21⋅V u A22⋅I u
da cui:
V i⋅I i = A11⋅A21⋅I u A12⋅A22⋅V u A11⋅A22 A12⋅A21 ⋅V u⋅I u .
Essendo il componente senza perdite, l’uguaglianza delle potenze fra
ingresso ed uscita porta alla relazione, valida per qualsiasi valore di V e di I:
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V i⋅I i =V u⋅I u ,
da cui, fra i parametri del quadripolo Axy dovranno sussistere le relazioni:
A11⋅A22− A12⋅A21 =1
ed:
A11=1/ A22
e di conseguenza :
A12= A21=0 .
Per i doppi bipoli esistono teorie ampiamente sviluppate cui si rinvia per
ulteriori approfondimenti; per gli nbipoli l’estensione non è difficile.
2) come un bipolo si intende un involucro nel quale entra energia attraverso
una apertura di ingresso ed esce una energia differente attraverso una seconda
apertura di uscita (es. una portata di fluido che porta energia entro un tronco di
tubazione e la stessa portata in uscita con un contenuto specifico energetico
diverso; un conduttore elettrico con una corrente che lo percorre e diverso
potenziale fra entrata ed uscita, ecc..); al suo interno avvengono trasformazioni
che lasciano inalterato il vettore di flusso (es. corrente elettrica, portata di
massa, ecc.): Apponendo l’indice 1 per il collegamento di ingresso e l’indice 2
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ii
iu
vi
vu
ci
cu
fi
fu
ωi
ωu
Cpi
Nci
Cpu
Φi
Φu
Ncu
Gi
Gu
efi
efu
Figura 6.1 – Schema di nbipolo termoelettromeccanico.
per quello in uscita (vedi Figura 6.2), la potenza persa nel bipolo sarà:
P p =P 1−P 2=V 1−V 2 I .
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Figura 6.2 – Schema di bipolo termoelettromeccanico
Seguendo l’impostazione dell’elettrotecnica che considera direttamente la
differenza di potenziale piuttosto che la differenza dei valori assoluti di
potenziale, si può rinominare con:
V = V1 – V2 ;
in tal caso si può definire per il bipolo in esame una funzione resistenza
esprimibile in forma matriciale:
R=
V/I =
v/i
Re
f / c
Rml
Cp / ω
=
Rma
Nc / Φ
Rq
e/G
Rt
avendo indicato con:
Re
la resistenza elettrica in Ohm ( ),
R ml
la resistenza meccanica al moto lineare in Ns/m,
R ma la resistenza meccanica al moto rotatorio in Nms/rad,
Rq
la resistenza termodinamica al moto dell’energia termica in Js/Jt2,
Rt
la resistenza termodinamica al flusso dell’energia termica trasportata
dal fluido in Js/kg2.
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Allora, matricialmente:
V =R⋅I
e:
P=V⋅I =V 2 / R=R⋅I 2
con P potenza complessivamente scambiata con l’esterno.
Con questa simbologia appare evidente che una resistenza elettrica avrà in
ingresso ed in uscita vettori costituiti con le sole grandezze di tensione e di
corrente e la funzione caratteristica sarà costituita dalla resistenza elettrica dello
stesso componente.
Discorso simile può essere fatto per una tubazione, nella quale intervengono
solo le grandezze meccaniche e la funzione caratteristica è rappresentata dalla
resistenza al passaggio del fluido.
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