lezione_condensatori(1)

Lezione
1
Condensatori e capacità
Consideriamo un sistema costituito da due conduttori disgiunti A e B, abbastanza lontani da ogni altra carica o conduttore, in modo da giustificare l’approssimazione che lo spazio vuoto in cui sono immersi si estenda fino a distanze
infinite.
Sappiamo dalle proprietà dei conduttori che, all’equilibrio elettrostatico, la
funzione potenziale elettrico V (~r) (che prenderemo uguale a zero all’infinito)
assumerà nel volume occupato da ciascuno dei due conduttori un valore uniforme
(cosicché il campo all’interno di ciascun conduttore sia nullo). Indichiamo i due
valori del potenziale con VA e VB ; in generale avremo VA 6= VB .
Sappiamo anche che all’interno di un conduttore all’equilibrio non si può
avere una densità di carica di volume ρ 6= 0: le eventuali densità di carica
elettrica non nulle si dispongono sulla superficie del conduttore stesso.
Consideriamo dapprima il caso in cui il campo elettrico sia nullo non solo
all’interno dei conduttori, ma anche in tutto lo spazio esterno. Il potenziale sarà
allora costante (e in particolare nullo) in tutto lo spazio, conduttori compresi:
VA = VB = 0. Dal teorema di Gauss deduciamo anche che
QA = QB = 0
(Infatti, se prendiamo per esempio una superficie chiusa che racchiude il
conduttore A, avremo che il flusso del campo elettrico sarà uguale a QA /0 , ma
il flusso di un campo nullo è nullo, dunque QA = 0. Lo stesso naturalmente
vale per QB ). Non solo: dalle proprietà dei conduttori (teorema di Coulomb)
sappiamo che, se è nullo il campo esterno, sarà nulla anche la densità superficiale
di carica su ciascuno dei conduttori.
Supponiamo ora di prelevare una certa carica netta Q dal conduttore B
e spostarla (non ci interessa come) sul conduttore A. Poiché i due conduttori sono disgiunti la carica in eccesso rimarrà su ciascuno dei due conduttori,
distribuendosi all’equilibrio sulla superficie. All’equilibrio si avrà
QA = Q
QB = −Q
La carica totale del sistema rimane nulla, ma su ciascuno dei due conduttori si ha una carica netta non nulla. Chiamiamo un sistema di questo genere
condensatore, di cui i due conduttori costituiscono le armature.
1
!
V(r )
-­‐Q Q A !!
E(r )
Figura 1: Chiamiamo condensatore un sistema di due conduttori disgiunti la
cui carica elettrica totale sia nulla.
In questa situazione avremo un campo elettrico non nullo nello spazio ester~ r) e un corrispondente V (~r) (in generale
no ai conduttori.1 Ci saranno un E(~
non calcolabili analiticamente) tali che V sia costante sulle superfici dei due
conduttori e sia nullo a distanza infinita. Chiamiamo VA e VB il valore che
assume V sulle superfici (e quindi anche all’interno) dei due conduttori, e
∆V = VA − VB
la differenza di potenziale tra le due armature del condensatore.
Non è difficile convincersi che la differenza di potenziale ∆V è proporzionale
a Q, per il sistema dato.
Prendiamo infatti la funzione V (~r) corrispondente all’equilibrio elettrostatico precedente, e consideriamo la nuova funzione V 0 (~r) ≡ αV (~r), corrispondente
~ 0 (~r) = αE(~
~ r), dove α è un numero reale qualunque. Anche V 0 (~r) è
al campo E
~ 0 soddisfa il teorema
una funzione nulla all’infinito e costante sui conduttori, e E
~
di Gauss nel vuoto come E. Dunque si tratta di una soluzione perfettamene lecita del problema, e rappresenta quella in cui le armature hanno carica Q0 = αQ.
Un altro modo di vederlo è il seguente: data la distribuzione di carica (sulla
superficie dei conduttori) che si crea all’equilibrio elettrostatico del caso considerato, se moltiplichiamo tutti i valori delle cariche dq per α, senza modificarne
la distribuzione spaziale, abbiamo che
~ r) =
E(~
X
i
kdqi
X
~r − ~ri
~r − ~ri
~ r) = E
~ 0 (~r)
−→
kαdqi
= αE(~
3
3
|~r − ~ri |
|~
r
−
~
r
|
i
i
V (~r) −→ αV (~r) = V 0 (~r)
grazie alla linearità del campo elettrico rispetto alle cariche.
1 Ce
lo garantisce ancora una volta il teorema di Gauss: basta considerare di nuovo una
superficie chiusa attorno a uno dei due conduttori: se il campo fosse nullo lo sarebbe anche il
flusso, e quindi anche la carica sul conduttore, che invece è diversa da zero per ipotesi.
2
Questa nuova distribuzione è ancora una distribuzione di equilibrio elettrostatico, giacché la condizione affinché questo si verifichi è che il campo all’interno
~ è nullo nei conduttori, lo è anche E
~ 0 = αE.
~
dei conduttori sia nullo. Poiché E
Nella nuova configurazione si ha anche VA0 = αVA , VB0 = VB e dunque
∆V 0 = α∆V
Troviamo quindi che, nella nuova configurazione di equilibrio “moltiplicata
per α”,
αQ
Q
Q0
=
=
∆V
α∆V
∆V
In conclusione:
grazie in ultima analisi alla linearità delle equazioni del campo elettrico e
della dipendenza del campo elettrico dalle cariche, in un sistema di due conduttori disgiunti con carica opposta (condensatore), la differenza di potenziale tra
i due conduttori (o armature) è proporzionale alla carica presente su ciascuna
delle due.
Il rapporto tra (valore assoluto della) carica e (valore assoluto della) differenza di potenziale in un condensatore si chiama capacità: si tratta di una quantità
dimensionale caratteristica di un dato condensatore, il cui valore dipende solo
dalla sua geometria.
Q
∆V
L’unità di misura della capacità è il farad (F) .
C≡
1F =
1C
1V
• Esempio: condensatore piano
L’esempio più semplice di condensatore è il condensatore piano, in cui i due
conduttori sono due lastre metalliche piane e parallele poste a una distanza
d molto più piccola delle dimensioni trasversali delle lastre stesse. In
questo caso è lecito approssimarle a due lastre infinite (si tratta comunque
di un’approssimazione, il che significa che i risultati trovati non sono esatti,
ma validi nel limite d a, dove a è una dimensione laterale tipica della
lastra, per esempio il lato se si tratta di un quadrato).
Per calcolare la capacità di un condensatore con questa geometria, dobbiamo prima capire come si distribuiscono le cariche all’equilibrio se mettiamo
una carica Q su un’armatura e −Q sull’altra. Le cariche si disporranno
in modo da rendere equipotenziali le superfici dei due conduttori (che immaginiamo piani infiniti). Per maggiore chiarezza scegliamo un sistema di
assi cartesiani in modo che la lastra con carica Q si trovi sul piano x, y a
z = 0, e la seconda si trovi sul piano z = d (vedi fig. 3).
Nell’approssimazione di lastre piane infinite, e dunque di sistema invariante per traslazioni nel piano x, y, ci aspettiamo che anche la distribuzione
di carica all’equilibrio abbia la stessa simmetria, e sia cioè una distribuzione (superficiale) di carica uniforme sulla superficie di ciascun conduttore.
3
Figura 2: Rappresentazione di un condensatore piano.
Ipotizziamo dunque che all’equilibrio la carica Q sulla lastra a z = 0 si distribuisca uniformemente con una σ = Q/A, dove A è l’area della lastra,2
e con densità opposta −σ = −Q/A sulla lastra a z = d.
Il campo elettrico risultante è la somma dei campi di due configurazioni già
note, ciascuna costituita da un piano infinito uniformemente carico, per il
quale sappiamo – dal teorema di Gauss – che il campo elettrico generato
è uniforme in ciascun semispazio individuato dal piano, perpendicolare al
piano stesso, e cambia segno passando da un semispazio all’altro:
~ r) = E(z)ẑ
E(~
con
E(z) =
σ z
20 |z|
Dunque per il campo totale avremo
~ r) = E
~ 1 (~r) + E
~ 2 (~r)
E(~
~1 e E
~ 2 sono i campi generati dalle due lastre cariche prese singolardove E
mente, e valgono
~ 1 (~r) = E1 (z)ẑ
E
~ 2 (~r) = E2 (z)ẑ
E
2 Può sembrare contraddittorio attribuire un’area A a una lastra che supponiamo infinita.
In realtà l’approssimazione è, lo ricordiamo, che d a dove, per esempio A = a2 nel caso
di lastre quadrate: la lastra insomma, non è davvero infinita: la consideriamo tale agli effetti
pratici, per calcolare in maniera approssimata il campo elettrico.
4
con
σ
20
σ
E1 (z) = −
20
E1 (z) = +
e
z>0
z<0
σ
20
σ
E2 (z) = +
20
E2 (z) = −
z>d
z<d
La somma dei due campi è quindi
~ r) = E
~ 1 (~r) + E
~ 2 (~r) = Ez ẑ
E(~
con
E(z) = 0
E(z) = +
σ
0
z<0
0<z<d
E(z) = 0
z>d
-­‐Q !
E
d Q Figura 3: Condensatore piano visto di taglio
Questa è una buona configurazione di equilibrio elettrostatico, perché le
superfici dei conduttori sono equipotenziali (essendo il campo perpendicolare alla superficie). Notiamo che all’esterno del condensatore il campo
è nullo, mentre è diverso da zero (e uniforme) solo nello spazio compreso
tra le due armature.
Calcoliamo la differenza di potenziale tra le armature. Il conto è facile:
Z
∆V ≡ |V2 − V1 | =
1
5
2
~ · d~`
E
(la differenza di potenziale tra l’armatura 2 e l’armatura 1 è negativa, ma
nella definizione di capacità se ne usa per convenzione il valore assoluto).
Essendo il campo uniforme e diretto lungo z
~ · d~` = Ez dz
E
dunque
Z
∆V =
1
2
~ · d~` = σ d = Qd
E
0
A0
dove d è la distanza tra le armature (e non va confusa con il simbolo
di differenziale), e dove abbiamo sostituito il valore di σ in termini della
carica Q e dell’area A.
Otteniamo quindi facilmente che per un condensatore piano
C≡
Q
A0
=
∆V
d
La capacità risulta direttamente proporzionale all’area delle armature e
inversamente proporzionale alla distanza tra le stesse.
NB È importante ricordare che si tratta di una semplificazione e di
un’approssimazione (si parla spesso di condensatore ideale): nel limite di
lastre molto vicine (rispetto alle dimensioni trasversali) queste si possono
considerare infinite ma solo lontano dai bordi, cioè a distanze dal bordo
di ciascuna lastra molto più grandi di d. Vicino ai bordi di un condensatore reale, infatti, il campo non sarà uniforme: le sue linee di campo si
incurveranno verso l’esterno3 come in figura 4.
Usare l’approssimazione di condensatore piano ideale significa quindi trascurare i cosiddetti effetti di bordo.
• Esempio: condensatore sferico
Le armature di un condensatore sferico sono due gusci sferici concentrici,
per esempio di raggio a e b con a < b.
Questo caso è risolvibile esattamente, essendo il problema a simmetria
sferica e in presenza di corpi di dimensione finite.
3 Nel caso di lastre finite non è possibile che, rimanendo nella regione 0 < z < d ma
avvicinandosi al bordo, il campo rimanga uniforme tra le due lastre e sia nullo fuori, come
disegnato in figura 3. Questa configurazione di campo non rispetterebbe la condizione di
continuità di Ek attraversando la superficie di bordo del condensatore, quella che unisce i
bordi delle due lastre, dato che il campo uniforme sarebbe a essa parallelo, nullo fuori e non
nullo all’interno. Un altro modo di vederlo è che la differenza di potenziale tra le due armature
deve essere calcolabile anche seguendo un cammino che congiunge le due armature e che è
completamente esterno allo spazio compreso tra le due. Se il campo esterno fosse esattamente
nullo, non sarebbe possibile ottenere un ∆V 6= 0.
6
-­‐Q !
E
Q Figura 4: Effetti di bordo per un condensatore piano.
Supponiamo che sull’armatura interna (la sfera di raggio a) sia depositata
la carica Q, e su quella a raggio b la carica −Q. Data la simmetria sferica,
ipotizziamo che la carica si distribuisca uniformemente su entrambe le
superfici, dando luogo alle densità di carica
Q
4πa2
Q
σb = −
4πb2
σa =
sulla sfera interna ed esterna rispettivamente.
-­‐Q Q !
E
a b Figura 5: Condensatore sferico.
Sappiamo che il campo prodotto da una distribuzione di carica superficiale
uniforme su un guscio sferico dà luogo a campo nullo all’interno del guscio
e uguale a quello di una carica puntiforme all’esterno. Sommando i campi
dei due gusci otteniamo che il campo elettrico risultante vale
~ r) = E(r)r̂
E(~
7
con
E(r) = 0
E(r) =
r<a
Q
4π0 r2
a<r<b
E(r) = 0
r>b
Il risultato si poteva ottenere, sempre sfruttando la simmetria sferica e
dunque ipotizzando una distribuzione uniforme della carica sulle superfici,
direttamente usando il teorema di Gauss su una superficie sferica di raggio
r generico nelle tre regioni r < a, a < r < b, r > b.
Osserviamo che campo ottenuto è buono come configurazione di equilibrio
elettrostatico del sistema, perché i due gusci sferici in questo campo sono
effettivamente superfici equipotenziali.
La differenza di potenziale tra le due armature diventa allora
Z
∆V =
b
E(r) dr =
a
Q
4π0
Z
a
b
dr
Q
=
r2
4π0
1 1
−
a b
La capacità del condensatore è dunque
C=
Q
ab
= 4π0
∆V
b−a
Notiamo che il risultato rimane finito nel limite b → ∞:
∆V →
Q
,
4π0 a
C → 4π0 a
il che rende possibile parlare di condensatore sferico a una sola armatura,
o di capacità di una sfera.
• Esempio: condensatore cilindrico
Il condensatore cilindrico è formato da due cilindri coassiali molto lunghi,
ossia di lunghezza molto maggiore del raggio. Come nel caso del piano,
questa ipotesi permette di approssimarli a cilindri infinitamente lunghi, e
quindi cercare soluzioni con la simmetria di un cilindro infinito: ancora
una volta, cioè, distribuzioni uniformi di carica su entrambe le armature:
Q
2πaL
Q
σb = −
2πbL
σa =
dove a e b sono i raggi del cilindro interno ed estermo rispettivamente, e
L b è la sua lunghezza.
8
-­‐Q Q !
E
a b Figura 6: Condensatore cilindrico (sezione).
Come nel caso del condensatore piano, il fatto che stiamo facendo l’approssimazione di cilindri infiniti (con invarianza per traslazioni lungo l’asse)
significa che stiamo considerando il campo in zone lontane dai bordi.
Usando come prima i risultati noti per una distribuzione di carica uniforme su un guscio cilindrico, oppure direttamente il teorema di Gauss su
superfici cilindriche di raggio r < 0, a < r < b, r > b troviamo
~ r) = E(r)r̂
E(~
dove r è la coordinata cilindrica (distanza dall’asse) con
E(r) = 0
r<a
Q
2π0 rL
E(r) = 0
E(r) =
Z
∆V =
a
b
a<r<b
r>b
Q
E(r) dr =
2π0 L
Z
a
b
Q
b
dr
=
ln
r
2π0 L a
da cui
C=
1.1
2π0 L
ln ab
Condensatori in serie e in parallelo
Un condensatore è dunque caratterizzato da una capacità C tale che, se tra le
due armature viene stabilita una differenza di potenziale ∆V , queste si caricano
di carica opposta, che in valore assoluto vale
Q = C|∆V |
9
C1 C2 C1 C2 ΔV
ΔV
Q1 Q -­‐ Q ΔV1
Q Q2 -­‐ Q ΔV2
Figura 7: Condensatori collegati in serie (a sinistra) e in parallelo (a destra).
NB Per stabilire i segni, occorre ricordare che tra le due armature le linee di
campo elettrico vanno dalla carica positiva a quella negativa, e che la direzione
del campo elettrico è quella di potenziale crescente. Dunque se ∆V è presa
positiva, è la differenza tra il potenziale dell’armatura carica positivamente e
quello dell’armatura carica negativamente.
Simbolicamente, i condensatori si rappresentano come sbarrette parallele, che
rappresentano un condensatore piano visto in sezione.
Spesso in elettrotecnica si usano condensatori collegati elettricamente tra
loro. Due condensatori di capacità note C1 e C2 possono essere collegati in
due modi interessanti: in serie o in parallelo. I due modi sono rappresentati
simbolicamente in figura 7.
Nel collegamento in parallelo le armature di due condensatori distinti vengono collegate tra loro a due a due, come schematizzato nel disegno a destra
in figura 7. Collegare (elettricamente) due conduttori significa connetterli tra
loro per mezzo di un filo di materiale conduttore, cosı̀ da permettere il passaggio di cariche dall’uno all’altro (e renderli di fatto un unico conduttore, i cui
punti all’equilibrio elettrostatico devono trovarsi tutti allo stesso potenziale).
Se colleghiamo tra loro le due armature superiori in figura e le poniamo a una
differenza di potenziale ∆V data rispetto alle due armature inferiori, anch’esse
collegate tra loro, avremo che per entrambi i condensatori le armature si trovano
alla differenza di potenziale data. Dunque sulle armature (per esempio inferiori)
avremo all’equilibrio le cariche
Q1 = C1 ∆V
Q2 = C2 ∆V
mentre sulle armature superiori avremo le cariche opposte. Dunque il sistema
si comporta esso stesso come un condensatore: due conduttori (ottenuti ciascuno
collegando due armature di condensatori diversi) sono posti a una data differenza
10
di potenziale, e su ciascuno si accumula una carica totale che in valore assoluto
vale
Q = Q1 + Q2 = C1 ∆V + C2 ∆V ≡ Ceq ∆V
La capacità di questo “condensatore equivalente” è semplicemente la somma
delle due capacità date:
Ceq = C1 + C2
Nel collegamento in serie due armature di due condensatori diversi sono
collegate tra loro da un filo conduttore, mentre le rimanenti due sono lasciate
libere, e considerate le nuove armature di un condensatore equivalente, a cui
applicare una differenza di potenziale nota. Come prima, le due armature collegate tra loro sono a tutti gli effetti un unico conduttore, che questa volta è
sconnesso (dal punto di vista elettrico) dalle due armature libere. Quando i due
condensatori sono scarichi la carica su tutte le armature è nulla, tutti i campi
elettrici sono nulli, e tutte le armature sono allo stesso potenziale. Quando si
portano le due armature esterne a una differenza di potenziale ∆V , in generale
ci saranno cariche su tutte e quattro le armature, le quali avranno anche valori
diversi del potenziale.
Notiamo però che le due armature centrali, essendo lo stesso conduttore, all’equilibrio elettrostatico devono essere allo stesso potenziale. Non solo: la carica
totale presente sul “conduttore di mezzo” costituito dalle due armature connesse tra loro era zero inizialmente, e deve continuare a essere zero, perché non ci
sono collegamenti elettrici che possano aggiungere o togliere carica dall’esterno:
il conduttore di mezzo è isolato elettricamente dal resto del mondo.
Dunque avremo la situazione illustrata nello schema di sinistra della figura 7:
sulle due armature centrali si ha carica opposta ±Q, ma poiché anche ciascun
condensatore ha cariche opposte sulle proprie armature, deve essere che su tutte
e quattro si ha in valore assoluto la stessa carica. La differenza di potenziale tra
la prima armatura a sinistra e l’ultima a destra (le due armature libere) sarà
allora data da
Q
1
1
Q
+
=Q
+
∆V = ∆V1 + ∆V2 =
C1
C2
C1
C2
dove ∆V1 e ∆V2 sono le differenze di potenziale rispettivamente tra la prima
e la seconda armatura, e tra la terza e la quarta (seconda e terza sono allo stesso
potenziale).
Dunque il sistema di due condensatori collegati in serie si comporta ancora
come un condensatore, dato che
∆V =
Q
Ceq
1
+
=
con
Ceq =
1
C1
1
C2
C1 C2
C1 + C2
Notiamo che Ceq è sempre minore sia di C1 , sia di C2 .
11
Riassumendo: le capacità di due condensatori in parallelo si sommano, mentre per due condensatori in serie l’inverso della capacità
equivalente è la somma degli inversi delle due capacità di partenza.
1.2
Lavoro per caricare un condensatore
Per caricare un condensatore bisogna compiere un lavoro, che è sempre positivo.
Supponiamo infatti di partire da un condensatore scarico. Per caricarlo occorre
prelevare una quantità piccola carica dq da una delle due armature e portarla
sull’altra, e ripetere questo processo fino a quando le armature hanno la carica
desiderata. Per spostare la prima carica infinitesima non si fa lavoro, ma appena
la carica totale sull’armatura comincia a diventare apprezzabile, per spostare
ogni nuova carica infinitesima dq occorre compiere un lavoro positivo dW =
dq∆V (q), dove ∆V (q) è la differenza di potenziale presente in quel momento
tra le armature. Che il lavoro fatto dall’operatore esterno debba essere positivo
lo vediamo dal fatto che se vogliamo aumentare la carica in valore assoluto sulle
armature dobbiamo spostare per esempio un dq > 0 dall’armatura negativa a
quella positiva, cioè portarla da potenziale inferiore a potenziale maggiore (come
spostare massa da quote più basse a quote più alte).
Siccome si tratta di un condensatore di capacità nota C, quando sulle armature è presente una carica q, la differenza di potenziale è ∆V (q) = q/C,
dunque
q
dW = dq∆V (q) = dq
C
Il lavoro totale sarà dunque
Z
W =
0
Q
dq
1 Q2
=
C
2 C
Interpretiamo questo lavoro come energia potenziale immagazzinata nel condensatore (ricordiamo che stiamo parlando una forza conservativa, quella di
Coulomb), che vale dunque
1 Q2
1
1
= Q∆V = C∆V 2
(1)
2 C
2
2
dove abbiamo fatto uso della definizione di capacità Q = C∆V .
Osserviamo che a questo risultato si poteva arrivare anche da quello più
generale che esprime l’energia elettrostatica di un sistema di cariche
U=
U=
1X
qi Vi
2 i
(2)
dove Vi è il potenziale presente nel punto ~ri in cui si trova la carica puntiforme
qi , preso con la convenzione di potenziale nullo all’infinito.
Nel caso del condensatore, infatti, i valori possibili del potenziale nei punti
in cui sono presenti cariche sono solo due, i potenziali VA e VB a cui si trovano
le armature. La sommatoria dell’equazione precedente si riduce quindi alla
somma di due contributi, uno di tutte le cariche che stanno a VA , e l’altro per
le rimanenti che stanno a VB
U=
1
1
QA VA + QB VB
2
2
12
Ma nel condensatore QA = Q, QB = −Q, dunque
1
1
1
1
QVA − QVB = Q(VA − VB ) = Q∆V
2
2
2
2
che coincide con la formula 1.
U=
1.3
Densità di energia del campo elettrico
Consideriamo il caso di un condensatore piano ideale, di superficie A e distanza
tra le armature d, di cui abbiamo calcolato la capacità
0 A
d
Se sulle armature è presente una carica Q (valore assoluto), l’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore vale
C=
U=
1 Q2 d
1 Q2
=
2 C
2 A0
(3)
Sappiamo anche che il campo elettrico all’interno del condensatore è uniforme (in approssimazione di condensatore ideale) e vale in modulo
E=
σ
Q
=
0
A0
da cui
Q = 0 AE
Sostituendo nell’espressione 3 troviamo
U=
1 Q2 d
1 E2
=
Ad
2 A0
2 0
L’energia immagazzinata nel condensatore piano proporzionale al volume
del condensatore stesso, e al modulo quadro del campo elettrico presente in quel
volume. Possiamo dunque interpretare
u≡
1 2
E
20
come una densità di energia per unità di volume contenuta nel campo
elettrico, e proporzionale al modulo quadro del campo stesso.
Questo risultato, che abbiamo trovato per un esempio specifico particolarmente semplice, è in realtà generalissimo e si può dimostrare rigorosamente a
partire dalla forma 2: l’energia elettrostatica di un sistema di cariche si può
esprimere come
Z
Z
1 2
E dV
U = u dV =
20
dove dV qui indica l’elemento di volume, e l’integrale è esteso a tutto lo
spazio in cui è presente campo elettrico.
13