FAM
Serie 33: Elettrodinamica VIII
C. Ferrari
Esercizio 1 Momento meccanico su una spira: “motore elettrico”
Una spira conduttrice quadrata di lato 10 cm si trova nel piano xy. Una corrente
di 10 A la percorre nel senso indicato in figura. Si applica una campo magnetico
~ x) = Bx~ex , con Bx = 0,1 T.
B(~
1. Determina la forza risultante sulla spira, cosa puoi dedurre sull’equilibrio della
spira?
2. Determina il momento meccanico risultante rispetto a O, cosa accade?
3. Cosa bisogna fare per ottenere un moto rotatorio continuo?
z
y
asse di rotazione
O
x
I
Indicazione: Prendi come punto di applicazione della forza su ogni lato della spira
il suo centro di massa e trascura la differenza tra i due segmenti della spira paralleli
all’asse x.
1
Esercizio 2 Campo magnetico dipolare (difficile)
Lo scopo di questo esercizio è di determinare il campo magnetico per la situazione
illustrata nella figura di sinistra e in un punto ~x per il quale k~xk ≫ a,b. Sia S la
sezione dei fili della spira.
z
z
y
y
b
−j
b
+j
O
O
x
+ρ
−ρ
x
a
a
Per far ciò utilizziamo la conoscenza del potenziale dipolare elettrico e la struttura
matematica dell’equazione di Poisson per il potenziale elettrico ϕ rispettivamente il
~
potenziale vettore A.
1. Scrivi l’equazione di Poisson per il potenziale scalare ϕ e per le componenti del
~ (in coordinate cartesiane). Osserva che hanno la stessa
potenziale vettore A
struttura matematica e identifica le corrispondenze.
2. Ad una distanza k~xk ≫ a,b possiamo assimilare le due sbarre della figura di
destra qui sopra ad un dipolo, il potenziale elettrostatico vale
ϕ(~x) =
1 p~ · x̂ ,
4πε0 k~xk2
scrivi questa espressione in termini dei dati.
3. Sfruttando le corrispondenze scrivi l’espressione della componente Ay potenziale vettore. In modo analogo determina Ax . Inoltre, poiché jz = 0, possiamo
porre Az = 0.
4. Deriva il campo magnetico.
5. Confronta con il campo elettrico associato al potenziale dipolare del punto 2.,
in cui il momento di dipolo elettrico p~ è orientato lungo l’asse z nel verso
positivo (ossia p~ = (0,0,p)). Commenta.
Referenza: R. Feynman, Elettromagnetismo e materia, Zanichelli (2001), capitolo
14, in cui sono trattati altri esempi basati su questo metodo.
2
Esercizio 3 Momento magnetico in campo inomogeneo
Considera un magnete che genera un campo magnetico inomogeneo come illustrato
sulla figura qui sotto in cui facciamo passare un insieme di sistemi con carica elettrica
q = 0 e con un momento magnetico ~µ 6= ~0.
schermo
N
asse del fascio
N
~
B
~v0
~
B
~µ
z
z
S
x
S
y
d
L
Il magnete genera un forte gradiente di campo verticale, tenendo conto della condi~ = 0 e supponendo che L sia sufficientemente grande rispetto alla distanza
zione ∇· B
tra i magneti, il campo magnetico sull’asse del fascio può essere scritto come
Bx ≃ 0
By ≃ B1 y
Bz ≃ B0 − B1 z
con B1 > 0.
1. Determina la forza subita dal sistema. (La forza di Lorentz interviene?)
2. Determina la posizione d’impatto (yimp,zimp ) sullo schermo (utilizza anche i
parametri della figura) e verifica che il risultato è fisicamente accettabile1 .
3. Se ripetiamo l’esperimento con un grande numero di sistemi con stessa velocità,
ma con distribuzione aleatoria ma isotropa del momento magnetico la cui
norma vale sempre µ, determina i possibili valori di zimp e yimp. Disegna sul
piano yz corrispondente allo schermo la distribuzione dei punti d’impatto per
un numero N → ∞ di esperimenti.
Osservazione: Questo è il risultato che si ottiene con un sistema macroscopico.
4. Considera ora lo stesso esperimento del punto precedente ma con un atomo
che possiede un momento magnetico orbitale µ (per esempio l’atomo di idrogeno). Nella “vecchia” teoria quantistica si suppone che la componente µz del
momento magnetico orbitale possa assumere solo un numero dispari di valori2 ,
nel caso non triviale più semplice
µz ∈ {−µB , 0, µB }
dove µB = e~ = 9,27 · 10−24 J/T è chiamato magnetone di Bohr e ~ =
2me
h
2π
è la costante di Planck divisa per 2π.
1
È utile controllare il risultato, in particolare confrontare se i parametri giocano il ruolo atteso.
Questo risultato segue dalle regole di quantificazione di Bohr–Sommerfeld. Esse non si
basano su una nuova teoria, bensı̀ sfruttano la fisica classica applicata al modello atomico di Bohr
al quale si aggiungono delle regole “ad hoc” costruite per poter render conto della quantificazione
di alcune osservabili nel caso dell’atomo di idrogeno.
2
3
Determina le possibili posizioni d’impatto sull’asse z dello schermo, rappresenta questo graficamente e confrontalo con il punto precedente.
Esercizio 4 Paramagnetismo
1. Si consideri un gas paramagnetico i cui atomi hanno un momento di dipolo
magnetico intrinseco di 1,0·10−23 J/T, che si trova in una regione in cui vi è un
campo magnetico di intensità 0,50 T. A che temperatura l’energia cinetica di
traslazione media degli atomi del gas uguaglia l’energia richiesta per invertire
un dipolo nel campo esterno?
2. Un campione di un sale paramagnetico la cui curva di magnetizzazione è riportata qui sotto è mantenuto a temperatura ambiente (300 K). Che campo
magnetico bisogna applicare affiché la saturazione magnetica del campione sia
il 50%? Con un campo magnetico di 4 T quale deve essere la temperatura per
ottenere la stessa saturazione?
M/Mmax
1
1
Best /T
Esercizio 5 Solido paramagnetico
Considera un solido composto da N atomi per unità di volume in cui ciascun atomo
ha un momento di dipolo magnetico ~µ. Si supponga che la direzione dei dipoli
~ (come,
possa essere solo parallela o antiparallela a un campo magnetico esterno B
ad esempio, nel caso in cui µ sia il momento magnetico di spin µs di un singolo
elettrone).
Secondo la fisica statistica, si può dimostrare che la probabilità che un atomo si
trovi in uno stato di energia U è proporzionale a e−βU dove β = 1/(kB T ) è chiamata
temperatura inversa, questa è nota come legge di Boltzmann. Poiché U =
~ la frazione di atomi il cui dipolo è parallelo a B
~ è proporzionale a eβµB e la
−~µ · B,
~ è proporzionale a e−βµB .
frazione il cui dipolo è antiparallelo a B
1. Dimostra che il valore medio della magnetizzazione di questo solido è
hMi = Nµ tanh(βµB)
e rappresenta graficamente la funzione hMi(T ).
4
(⋆)
2. Dimostra che (⋆) si riduce a hMi = Nµ2 B/(kB T ) per µB ≪ kB T , cosa indica
questo caso limite?
3. Dimostra che (⋆) si riduce a hMi = Nµ per µB ≫ kB T , cosa indica questo
caso limite?
Indicazione: Il punto 1. è un problema di variabili aleatorie discrete.
Osservazione: Lo scopo della fisica statistica è di spiegare con l’ausilio della meccanica (microscopica) le proprietà termodinamiche (e più generalmente macroscopiche) con l’ausilio della teoria delle probabilità, qui per esempio conoscendo
l’energia di interazione di un singolo atomo possiamo fare delle previsioni sul comportamento della grandezza macroscopica magnetizzazione. Il fattore e−βU che da
il “peso” statistico ad un possibile valore microscopico di ~µ, è chiamato fattore di
Boltzmann.
5
