Nicola GigliettoA.A. 2013/14
11.1-Campo di Forze centrali
11.1-Campo di Forze centrali
Forze centrali
Definiamo campo di forze centrali una forza agente in una regione di spazio
con la caratteristica che in ogni punto di spazio la direzione della forza è
diretta sempre per un punto fisso O detto centro (o polo) della forza, il
modulo della forza è inoltre una generica funzione solo della distanza r dal
punto O ovvero F=F(r). Tra le forze centrali vi sono la forza elastica, quella
gravitazionale e quelle elettriche (che vedremo dopo).
Proprietà delle forze centrali: se calcoliamo il momento della forza
~
~ =~
r×F
r × ûr F (r) = 0 per cui
centrale rispetto al polo O si ha: ddtL = ~
~
~
L=~
r ×p
~ = cost In un campo di forze centrali il momento angolare
rispetto al centro della forza si conserva. Di conseguenza il moto di
una particella soggetta a forze centrali deve giacere nel piano definito da ~
r
e~
v (il moto è piano) Dal momento che il moto è piano verifichiamo una
~ =~
proprietà del moto risultante. L
r × m~
v=~
r × m(~
vr + ~
vt) = ~
r × m~
v t da
dθ
dθ
2
cui L = rmvt = rmr dt = mr dt e la costanza di L implica quindi che lo sia
il termine r2 dθ
dt . Se consideriamo una porzione infinitesima della generica
traiettoria definita dal punto nel suo movimento, possiamo definire l’area
infinitesima spazzata dal punto, approssimandola ad un triangolo di base
ds = rdθ e altezza r, l’area risulterà dA = 21 r2 dθ per cui possiamo definire
1 2 dθ
L
la velocità areale dA
dt = 2 r dt = 2m Quindi nel moto in un campo di
forze centrali la velocità areale è costante.
Le forze centrali sono conservative
RB
~ =
Tutte le forze centrali sono conservative infatti L = LAB = A F~ · ds
RB
R rB
~
~
A F (r)ûr · ds ma ûr · ds = dr quindi L = rA F (r)dr = f (rB ) − f (rA )
ovvero dipende solo dalle coordinate di A e B e non dal percorso effettuato.
11.2 Legge di gravitazione universale
11.2 Legge di gravitazione universale
La forza con cui si attraggono due masse qualunque è F = −γ m1r2m2 con r
la distanza tra le masse m1 e m2 e γ = 6.67 · 10−11 N m2 /Kg 2 ed è sempre
attrattiva
Cap11-Gravitazione
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14.4 Gravità vicino la Terra
Quando siamo sulla Terra, approssimandola ad una sfera di raggio R, otteniamo che la forza gravitazionale è data da F = γ MRT2m se l’oggetto di
T
massa m è lasciato libero di cadere esso è soggetto ad accelerazione per cui
T
= g con MT = 5.98 · 1024 kg eRT = 6400km questa
F = ma ⇒ a = γ M
R2
T
accelerazione (g=9.81m/s2 ) è indipendente dalla massa m.
Deviazioni dalla costanza di g sono dovute a:
1. la Terra non è omogenea;
2. la Terra non è sferica;
3. la Terra ruota su se stessa
11.5 - Energia potenziale gravitazionale
11.5 - Energia potenziale gravitazionale
∆U = −L = −
Z
r2
F (r)dr = +γM m
r1
1
γM m[− ]rr21 =
r
∆U = U (r2 ) − U (r1 ) =
Mm
U(r) = −γ
r
R r2
GM m
r1
γM m
r1
−
1
r1 r 2 dr
−
=
γM m
r2
γM m
r2
⇒
Avendo posto la costante arbitraria =0 per r → ∞
velocità di fuga
Per la cons. en. meccanica E = U + Ek = cost consideriamo allora il
caso di un razzo da sparare per allontanarlo definitivamente dalla Terra:
Uin + Ek,in = Uf in + Ek,f in il punto finale si deve trovare ad ∞ e nella
situazione minima deve essere fermo a questo punto Ek,f in = 0 ⇒ −γ MRTTm +
T
= 0 ⇒ v2 = 2 γM
RT ed è detta velocità di fuga è un valore che dipende
solo dalla massa della Terra ed è v=11.2 km/s (e cambia a seconda della
massa dell’astro).
1
2
2 mv
11.2 - Leggi Keplero
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11.2 - Leggi Keplero
Nel sistema solare è il sole il principale attrattore gravitazionale: il sistema
solare costituisce un campo gravitazionale centrato nel sole ed essendo un
campo di forza centrale il moto dei pianeti è piano. Si hanno le seguenti
leggi:
[¡+-—alert@+¿]I Legge di Keplero: il moto dei pianeti avviene su
orbite ellittiche, di cui il sole è uno dei fuochi II Legge di Keplero,
Legge delle aree: il raggio che collega il sole con i pianeti descrive aree
uguali in tempi uguali; III Legge T 2 = kr3
Dalle leggi di Keplero si può dedurre la legge di gravitazione universale:
infatti assumendo orbite circolari (come approssimazione), dalla seconda
1 2 dθ
dθ
legge si ha: dA
dt = 2 r dt ⇒ dt = cost quindi il moto è circolare uniforme.
2
Di conseguenza l’accelerazione è solo centripeta: F = mω 2 r = m( 2π
T ) r con
2
T periodo di rotazione e utilizzando la terza legge di Keplero T = kr3 :
2
F = 4πk rm2
Esempio 11.5 - Il moto dei satelliti
Esempio 11.5 - Il moto dei satelliti
Moto dei satelliti
Un satellite di massa m descrive un’orbita circolare intorno un pianeta di
massa M; il raggio dell’orbita è r ed il periodo T. Calcolare il valore di M
del pianeta e l’energia del satellite.
2
4π 2 r 3
L’energia totale è
T2 γ
2
mM
γ r2 = m vr ⇒ v 2 = γ M
r ⇒
abbiamo γ mM
= mω 2 r = m 4π
r da cui M =
r2
T2
E = Ek +Ep quindi E = 12 mv 2 −γ mM
r e poichè
mM
1 mM
1 mM
E = 2 r − γ r = − 2 γ r < 0 L’energia totale è negativa, quindi
il satellite non può sfuggire all’attrazione del pianeta ed il sistema si dice
gravitazionalmente legato
Satelliti terrestri
Satelliti terrestri
Assumendo mT = 5.98 · 1024 kg, rt = 6.38 · 106 m e per un satellite di massa
m=1000kg, calcolare il periodo in funzione di r. Usando gli stessi passaggi
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q
r3
4π 2
=
r
⇒
T
=
2π
precedenti γ M
2
2
γmt In genere si considera la quota sopra
r
T
la superficie della Terra per i satelliti, che di solito si trovano tra i 100km
e i 300 km. Se r = 100 + rt = 6.48km ⇒ T = 86.5′ se r = 300 + rt =
6.68km ⇒ T = 90′ Se il satellite è invece geostazionario allora T=24h per
cui si ricava r=42300km.
11.6 Moto di un corpo nel campo gravitazionale (in generale)
11.6 Moto di un corpo nel campo gravitazionale (in
generale)
Orbite
Il moto in un campo di forze centrali è sempre piano. Si può inoltre dimostrare che il moto di un corpo sottoposto all’accelerazione gravitazionale
è descritto da una conica (ellisse, iperbole,parabola) a seconda dell’energia
totale della particella.
Supponiamo di considerare una massa m sotto l’azione gravitazionale di
una massa M. L’energia totale di m è data da E = Ek +Ep . Nel caso di orbite
aperte (iperbole,parabola) E ≥ 0 ed m non è gravitazionalmente legata, nel
caso E < 0 la traiettoria ha un’orbita ellittica e m risulta gravitazionalemnte
legato.
Orbite ellittiche
Orbite ellittiche
Nel caso delle orbite ellittiche si può definire eccentricità dell’orbita ε2 =
2
1 − ab 2 , con a semiasse maggiore e b semi asse minore dell’ellisse descritta.
ε < 1 ed è uguale a zero nel caso della circonferenza. Abbiamo visto che
nei sistemi legati E = −γ mM
2r ma si può dimostrare che l’energia dipende
dal solo semiasse maggiore: E = −γ mM
2a e che il momento angolare risulta
m2 M 2
2
2
L = γ m+M a(1 − ε )
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