Appunti di Fisica I
Dalle lezioni del Prof. Paolo Rossi
Simone Cappellini
A.a. 2014/2015
18 giugno 2015
http://poisson.phc.unipi.it/~cappellini
Indice
1 Introduzione alla Meccanica
1.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le equazioni del moto . . . . . . . . . .
1.3 I Principi della Dinamica . . . . . . . .
1.4 Ancora moti (?) . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Leggi di Conservazione . . . . . . . . . .
1.6 Le leggi di Keplero . . . . . . . . . . . .
1.7 Cose (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Dinamica dei fluidi e Cinematica dei gas
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3
3
5
6
7
9
11
11
15
24
24
2 Meccanica Lagrangiana
27
2.1 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Equazioni Lagrangiane e Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . 29
2
Capitolo 1
Introduzione alla Meccanica
1.1
Prime definizioni
Controllo: per verificare un risultato, si controlla che abbia senso fisico e
si verificano i suoi limiti.
Sistema Internazionale: si compone di 7 unità di grandezza, tra cui:
• Unità di lughezza: metro (m)
• Unità di tempo: secondo (s)
• Unità di massa. chilogrammo (kg)
Queste 3 formano l’MKS (in opposizione al cgs, “centimetro-grammo-secondo”
ed altri sistemi).
Secondo: Si definisce “secondo” la durata di 9.192.631.770 periodi della
radiazione [...] dell’atomo di Cesio-133.
Metro: Sidefinisce “metro” la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in
1
299.792.458 secondi. Di fatto, si pone fissa la velocità della luce e si definisce
il metro di conseguenza.
Chilogrammo: Non ha ancora una definizione accettabile (viene utilizzata ancora una massa campione).
Unità derivate: Ogni unità meccanica avrà struttura:
[L]α [T ]β [M ]γ
3
Ad esempio, si ha:
[v] = [L][T ]−1
[a] = [L][T ]−2
[F ] = [L][T ]−2 [M ]
[W ] = [L]2 [T ]−2 [M ] = [M ][v]2 = [E].
Spazio: Lo spazio è omogeneo, isocrono e isotropo.
Vettori: Il vettore posizione dipende dall’origine degli assi, il vettore spostamento no.
Prodotto Scalare: Il prodotto scalare deve avere queste proprietà:
1. ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c;
2. ~a · ~b = ~b · ~a;
3. ~0 · ~a = ~a · ~0 = ~0;
4. ~a · ~a = |~a|2 .
Sia ~c = ~a + ~b, allora:
~c · ~c = |~c|2
2
~c · ~c = (~a + ~b) · (~a + ~b) = |~a|2 + ~b + 2~a · ~b →
2
2
→ 2~a · ~b = |~c|2 − |~a|2 − ~b = 2 |~a|2 ~b cosθ → ~a · ~b = abcosθ.
dove l’ultima uguaglianza segue dal teorema dei coseni (teorema di Carnot).
Versori: Sono particolari vettori per i quali si ha:
• î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1;
• î · ĵ = ĵ · k̂ = k̂ · î = 0.
Attraverso le coordinate si ha che ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz .
Prodotto Vettoriale: Direzione e verso sono dati dalla regola della
mano
destra. ~
~a × b = |~a| · ~b.
Altre proprietà sono:
• ~a × ~b = −~b × ~a;
• ~a × ~a = ~0;
4
• ~i × ~i = ~j × ~j = ~k × ~k = ~0;
• ~i × ~j = −~k;
• ~j × ~k = −~i;
• ~k × ~i = −~j.
ay bz − az by
~
In coordinate, ~a × b = az bx − ax bz .
ax by − ay bx
1.2
Le equazioni del moto
x(t)
Legge Oraria (di un punto materiale): ~r(t) = y(t) . Il grafico è
z(t)
la traiettoria del punto materiale di cui ~r(t) rappresenta la posizione.
Velocità:
d
dt x(t)
d
dt y(t)
d
dt z(t)
~v (t) =
.
Accelerazione:
~a(t) =
dVs
dVs
dVs
dT̂
dT̂
dT̂ ds
=
=
T̂ + Vs
T̂ + Vs
T̂ + Vs2
dt
dt
dt
ds dt
dt
ds
con T̂ il versore traiettoria.
Detto
dT̂
n̂
=
ds
ρ
con n̂ il versore ⊥ alla traiettoria e ρ è il raggio del cerchio osculatore, allora
~a(t) =
dVs
T̂
|dt
{z }
+
variazione del modulo
.
Vs2
n̂
ρ
| {z }
variazione della direzione
Moto generico:
1
~r(t) = ~r0 + ~v0 t + ~a0 t2 + O(t3 )
2
5
.
Moto circolare:
(
x(θ) = Rcosθ
→
y(θ) = Rsinθ
(
Vx = −Rsinθ · θ̇
→
Vy = Rcosθ · θ̇
(
ax = −Rcosθ · θ̇2 − Rsinθ · θ̈
ay = −Rsinθ · θ̇2 + Rcosθ · θ̈
!
~ = R −sinθ θ̇ = RT̂ θ̇, e la velocità scalare Vs = Rθ̇. DeQuindi V
cosθ
finendo la velocità angolare ω
~ come un vettore avente direzione l’asse di
rotazione e verso risultante dalla regola della mano destra (uscente se la
rotazione avviene in senso antiorario), e modulo |~
ω | = θ̇, si può ottenere
un’altra riformulazione della velocità come:
~ =ω
V
~ × ~r
. Analogamente alla velocità abbiamo che l’accelerazione
~a = R
−cosθ
−sinθ
!
−sinθ
cosθ
2
θ̇ + R
!
θ̈ = Rn̂θ̇2 + RT̂ θ̈ =
n̂Vs2
+ T̂ s̈
R
poiché s = Rθ, ṡ = Rθ̇, s̈ = Rθ̈. In conclusione
~a =
+
ω
~ × (~
ω × ~r)
| {z }
~
V
|
{z
accelerazione tangenziale
}
accelerazione centripeta
.
1.3
d~
ω
× ~r
dt
| {z }
I Principi della Dinamica
1.Principio di Inerzia: Un corpo non soggetto a forze si muove di moto
rettilineo uniforme.
2.F~ = m~a.
3.Principio di Azione e Reazione: Per ogni forza esercitata da un corpo su un altro, ne esiste un’altra uguale in modulo e direzione, ma di verso
opposto, causata dal secondo corpo e agente sul primo.
Principio Zero (Assioma di relatività Galileiana): esistono infiniti sistemi di riferimento, costituiti da una terna di assi cartesiani e da
un orologio, tali che tutte le leggi della fisica abbiano la stessa forma e che
ciascuno di essi si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad ogni altro.
Tali sistemi si dicono “inerziali” e in essi si intendono validi i tre principi.
6
Formulazione di Mach: Quando due punti materiali interagiscono tra
di loro, essi accelerano in direzioni opposte, e il rapporto delle loro accelerazioni
è sempre lo stesso.
(
~a2 = −C2,1~a1
con Ci,j coefficiente positivo che dipende dai due corpi.
~a1 = −C1,2~a2
Allora C1,2 C2,1 = 1.
(
~a3 = −C3,1~a1
, si scopre empiricamente che
Analogamente con 3 corpi,
~a3 = −C3,2~a2
C3,1
C3,2
= C2,1 .
In generale si ha che
Cx,y
Cx,z
= Cz,y e la soluzione generale è:
Cx,y =
m(y)
m(x)
dove m(x) è la massa di x, da cui:
~a2 = −
m1
~a1 → m2~a2 = −m1~a1
m2
.
La massa è una proprietà del corpo. Integrando l’uguaglianza qui sopra, si
ottiene:
!
Z
Z
~1
~2
dV
dV
m1
dt = 0 dt
+ m2
dt
dt
~1 + m2 V
~2 = costante
m1 V
che è il vero principio, valido anche nella fisica moderna, detto conservazione
della quantità di moto.
Forza: È la derivata della quantità di moto rispetto al tempo, quindi
F~ = m~a.
d~r
d2~r
F~ (~r, ) = m 2
dt
dt
è un’equazione differenziale del secondo ordine, che per essere risolta univocamente ha bisogno di avere i due dati iniziali ~r(0) e ~v (0).
1.4
Ancora moti (?)
Moto Uniformemente Accelerato: Dati
g
~a = ~
~r(0) = ~r
0
~
v (0) = ~v0
1
⇒ ~r(t) = ~r0 + ~v0 t + ~g t2
2
7
.
Posso scegliere un sistema di riferimento con origine in ~r0 e direzione dell’asse
y tale che ~g sia verso il basso, e ruotare attorno a tale asse fino a rendere
nulla la componente z di ~v0 . Allora:
(
.
x(t) = v0x t
y(t) = v0y − 12 ~g t2
Molla:
−k(x − xe ) = m
→
d2 x
dt2
→
q q
k
k
x = xe + Acos
m t + Bsin
mt
x(0) = x0
v(0) = v0
q q
k
k
x
=
x
+
Acos
t
+
Bsin
e
m
mt
x0 = xeq+ A
v =B k
0
m
s
→ x = xe + (x0 − xe )cos
Posto ω =
q
k
m
si ottiene:
k
t + v0
m
x = xe + (x0 − xe )cos(ωt) +
r
s
m
sin
k
k
t
m
v0
sin(ωt)
ω
Tutti gli oggetti che oscillano sono, in un intorno sufficientemente piccolo
dell’equilibrio, approssimabili con un moto armonico.
Il periodo del moto armonico, dalla formula, è:
2π
ωT = 2π ⇒ T =
= 2π
ω
r
m
k
In 3 dimensioni: Oscillatore isotropo (il k è lo stesso in ogni direzione).
m
d2~r
~
~
= −k(~r − ~r0 ) ⇒ ~r = ~r0 + Acos(ωt)
+ Bsin(ωt)
dt2
~ = ~r0 − ~re ; B
~ = ~v0
con A
ω
Osservazione: Il moto è sempre planare. Infatti ~r è parametrizzato da
solamente 2 vettori indipendenti.
8
Oscillatore 3D: Lavoriamo con un oscillatore tridimensionale:
m
~v0
d2~r
= −k~r → ~r(t) = ~r0 cos(ωt) + sin(ωt)
2
dt
ω
Derivo: ~v (t) = −ω~r0 sin(ωt) + ~v0 cos(ωt).
Cerchiamo un istante di tempo in cui ~r e ~v siano in una posizione reciproca
particolare. Di sicuro non potranno mai essere paralleli, altrimenti il moto
avverrebbe su una retta. Studiamo la perpendicolarità.
⇔
"
−ω~r02 +
~r ⊥ ~v ⇔ ~r · ~v = 0
#
~v02
sin(ωt0 )cos(ωt0 ) + ~r0~v0 cos2 (ωt0 ) − sin2 (ωt0 ) = 0
ω
h
i
⇔ sin(2ωt0 ) −ω 2~r02 + ~v02 + 2ω~r0 · ~v0 cos(2ωt0 ) = 0
⇔ tan(2ωt0 ) =
2ω~r0 · ~v0
ω 2~r02 − ~v02
Ma essendo la tangente una funzione surgettiva, ⇒ ∃ t0 tale che ~v ⊥ ~r.
Inoltre, dalla formula, si vede che i momenti di perpendicolarità sono 4 ed
equidistanziati
temporalmente.
(
x(t) = r0 cos(ωt)
⇒ ellisse. Se r0 = vω0 → v0 = ωr0 → moto circolare uniforme
y(t) = vω0 sin(ωt)
Moto Circolare Uniforme:
1.5
(
~v = ω
~ × ~r
~a = ω
~ × (~
ω × ~r)
Leggi di Conservazione
Leggi di Conservazione: Da ogni simmetria deriva un’invarianza, e dunque una “legge di conservazione”. Ad esempio,
m1~a1 + m2~a2 = 0 ⇒ m1~v1 + m2~v2 = costante
La conservazione della quantità di moto corrisponde all’invarianza per traslazione spaziale, così come l’invarianza per traslazione temporale è la conservazione dell’energia. L’invarianza per rotazione è:
~ = ~r × m~v
L
[Momento Angolare]
Abbiamo:
~
dL
d~r
d~v
~˙ = ~r × F~
=
× m~v + ~r × m
= ~v| ×{zm~v} +~r × m~a → L
dt
dt
dt
=0
9
Ne segue che tutte le forze centrali (cioè dirette verso un punto fisso), avendo
~ = costante e dunque producono un moto piano (perché ~r,
~r k F~ , hanno L
~
come ~n, rimane ⊥ a L).
Consideriamo il momento angolare totale di due particelle:
~ = ~r1 × m1~v1 + ~r2 × m2~v2
L
Derivando:
~˙ = ~v1 × m1~v1 + ~r1 × m1~a1 + ~v2 × m2~v2 + ~r2 × m2~a2
L
= (~r1 − ~r2 ) × m1~a1
perché, se non esistono altre particelle, −m1~a1 = m2~a2 .
Ma poiché sia ~r1 − ~r2 che ~a1 sono rivolti lungo la congiungente delle due
particelle, dunque
~˙ = 0 ⇒ L
~ costante
L
In generale, attraverso una simmetria assiale, si conserva la componente di
L diretta come l’asse di simmetria.
Il momento angolare può non conservarsi, conservarsi soltanto in una componente, oppure conservarsi del tutto (ma non in 2 componenti, ad esempio).
Forze frenanti:
α
d~v
α
F~ = −α~v →
= − ~v → ~v = ~v0 e− m t
dt
m
x(t) =
α
v0 m 1 − e− m t + x0
α
x
x0 +
v0 m
α
x0
O
t
Resistenza dell’Aria:
m
d2 ~y
d~y
= −m~g − α
2
dt
dt
10
È una equazione differenziale lineare, quindi:
α
Soluzione omogenea: mÿ + αẏ = 0 → y = A + Be− m t
mg
Soluzione particolare: ẏ = − mg
α → y = − α t.
α
Quindi la soluzione generale sarà del tipo: y(t) = A + Be− m t −
Con y(0) = h e ẏ(0) = 0, ad esempio:
(
A+B =h
α
− mg
α − Bm = 0
Da cui
(
ÿ = −ge− m t
α
−m
t
ẏ = m
−
α ge
1.6
Le leggi di Keplero
→ y(t) = h +
mg
α t.
m2 − α t mg
m2
g
−
ge m −
t
α2
α2
α
α
mg
α
e la velocità limite ẏ∞ = − mg
α .
1. Le orbite sono ellissi di cui il Sole occupa un fuoco.
2. La velocità areolare è costante.
3. T 2 ∝ R3 , con R il semiasse maggiore.
Chiamando A l’area spazzata si ha che la velocità areolare è:
va =
Dalla 3. si ha:
dA
1
1 ~ = rvsinθ =
L = costante
dt
2
2m
v2
F (R) = m = m
R
Definendo GM :=
1.7
4π 2
K
2πR
T
R
2
=
m4π 2 R
4π 2 mR
4π 2 m
=
=
T2
KR3
KR2
l’equazione diventa F (R) =
GM m
.
R2
Cose (?)
Molle appese: Analizziamo il moto di una massa m attaccata ad una
molla con coefficiente di elasticità k e prendendo come origine del sistema di
riferimento il punto di contatto della molla con il soffitto e direzione e verso
positivo dello spostamento gli stessi di ~g .
F = mg − kr =
Se req. =
mg d2 r
k , dt2
k
= −m
(r − req. ) e quindi
r=
d2 r
m
dt2
mg
+ Acos(ωt) + Bsin(ωt)
k
11
Vincoli Olonomi: Sono vincoli che non modificano l’aspetto del moto, e
per questo sono ⊥ alla direzione del moto.
Pendolo: Sia l la lunghezza del filo e θ l’angolo formato rispetto alla
verticale.
s = lθ
ṡ = lθ̇
s̈ = at = lθ̈ = −gsinθ ≈ g θ −
at = −gsinθ
g
→ θ̈ ≈ − θ → ω =
l
r
g
→ T = 2π
l
s
θ3
6
+ ...
l
g
~ la forza
Piani Inclinati: Sia α l’angolo di inclinazione del piano, sia N
~
vincolare normale alla superficie del piano inclinato, e sia A la forza parallela alla superficie del piano che ha direzione opposta alla componente di ~g .
Se l’oggetto è fermo:
~ = mgsinα
A
s
~ = mgcosα
N
~
Attrito Radente: A~s ≤ N
µs .
Quindi un comportamento limite si ha quando
mg sinαs∗ = mg cosαs∗ µs → tan αs∗ = µs
~
Se l’attrito è dinamico: A~d = N
µd .
Se fosse µd ≥ µs , l’oggetto, superato il limite, andrebbe verso l’alto o starebbe fermo, il che è assurdo. Dunque µd < µs .
Se tanαd∗ = µd :
• α ≥ αs∗ L’oggetto inizia a muoversi e non si ferma più;
• αs∗ > α ≥ αd∗ L’oggetto se è fermo resta fermo, se si muove non rallenta
ma continua a muoversi;
• αs∗ > α L’oggetto sta fermo o frena e prima o poi si ferma.
Sistemi di Punti Materiali: La forza totale su un sistema è pari alla
forza totale esterna (quella interna si annulla), e dunque:
F~esterna =
X
i
mi~ai =
d X
d X
mi~vi =
p~i
dt i
dt i
12
→
dP~
= F~esterna
dt
P
P~ = i mi~vi =
e
d
dt
[1a Equazione Cardinale]
P
~ = Pi mi~ri e M = P mi allora
ri . Se R
i mi~
i
m
P
~˙ = V
~centro
R
¨~
R
= ~acentro
i
i
di massa
P
= Pi
di massa
P
mi~vi
= Pi
i mi
mi~ai
~cm
→ P~ = M V
i mi
M~acm = F~esterna
Dunque possiamo trattare un corpo esteso come un punto materiale posizionato nel centro di massa.
Esempio di sistema con 2 punti materiali: In generale si ha che la
forza totale agente su un punto materiale è:
mi~ai = F~esternai +
X
F~ji
i6=j
~ =
Nel caso specifico di 2 punti materiali il centro di massa è R
~ = ~r2 − ~r1
chiamando S
(
~
m1~r1 + m2~r2 = (m1 + m2 )R
~
~r2 − ~r1 = S
~
~ − m2 S~
r1 = R
m1 +m2
→
~
~=R
~+
r2 = ~r1 + S
→
(
m1 ~
r1 +m2 ~
r2
m1 +m2 ,
e
~
~r2 = ~r1 + S
~ = (m1 + m2 )R
~
(m1 + m2 )~r1 + m2 S
~ sta sulla retta che congiunge ~r1 e ~r2
⇒R
~
m1 S
m1 +m2
Sistema isolato di 2 punti:
(
Chiamando µ =
~a − ~a = F~1 2 − F~21
m1~a1 = F~21
2
1
m1 m2
→
~12 1 + 1
dS~22 = F
m2~a2 = F~12
m1
m2
dt
m1 m2
m1 +m2
si ha
1
µ
=
1
m1
+
1
m2
e
~2
~ = µ dS
F~12 (S)
dt2
Oscillatore Smorzato: Siano
g
l
:= ω02 e
13
γ
m
:=
1
τ
con l la lunghezza
del filo, γ resistenza dell’aria (ha dimensioni di una massa per un tempo−1 ,
visto a pag.10) e τ tempo di frenaggio.
F = −mg sinθ − γlθ̇ ≈ −mgθ − γlθ̇ = ma = mlθ̈
g
θ̇
γ
→ θ̈ ≈ − θ − θ̇ → θ̈ + + ω02 θ = 0
l
m
τ
• Se
1
2τ
≥ ω0 la soluzione dell’equazione differenziale è del tipo
q
t
− 2τ
+t
θ(t) = Ae
1
−ω02
4τ 2
oppure
p
t
+ Be− 2τ −t
t
1
−ω02
4τ 2
t
θ(t) = Ae− 2τ + Bte− 2τ
e gli esponenti sono reali e negativi. Perciò il pendolo frena verso il
punto di equilibrio senza oscillare;
• Se
1
2τ
< ω0 la soluzione è del tipo
t
θ(t) = Ae− 2τ cos(Ωt + ϕ)
q
con Ω = ω02 − 4τ12 . Il pendolo frena oscillando fino al punto di equilibrio. Se τ → +∞ ⇒ γ → 0+ ⇒ non c’è freno e θ(t) diventa un
coseno.
Oscillatore Forzato: mẍ = −kx − γ ẋ + F (t). Se F (t) = F0 cos(ωt),
posto f0 = Fm0 l’equazione diventa
1
ẍ + ẋ + ω02 = f0 cos(ωt)
τ
x(t) = xomog. (t) + xpart. (t), ma xomog. (t) → 0 per t → +∞ (vedi sopra) e
quindi possiamo ignorarla.
ω
xp (t) = x0 ei(ωt−ϕ) → −ω 2 xp + i xp + ω02 xp = f0 cos(ωt)
τ
ω02
ω
ω
xp = f0 eiωt → ω02 − ω 2 + i
x0 = f0 eiϕ
−ω +i
τ
τ
2
Uguagliando parte reale e parte immaginaria:
(
(ω02 − ω 2 )x0 =
ω
τ x0 = f0 senϕ
ω
tanϕ = τ (ω02 −ω2 )
f0 cosϕ
f0
⇒
x =q
2
2
0
2
ω −ω 2 + ω
(
14
0
)
τ2
Senso fisico: se si forza un pendolo ad una certa frequenza, il pendolo tenderà ad oscillare alla stessa frequenza (e non più alla propria), con ampiezza
pari a x0 (ω).
Quando ω → ω0 si va in risonanza e l’ampiezza ha un massimo, che aumenta
all’aumentare di ω0 t.
x
x0
O
ω
ω0
Piano Inclinato non Fissato: Sia α l’inclinazione del piano, R e R′
le reazioni vincolari della massa m con il piano e del piano con il pavimento.
~g
.
Il sistema di riferimento è standard, con x̂ ⊥ ŷ e ŷ = − |g|
m~ax = Rx = Rsinα
m~
ay = Ry − mg = Rcosα − mg
MA
~ x = −Rx = −Rsinα
~ y = R′ − Ry − M g = R′ − Rcosα − M g = 0
MA
)
Rx
= tanα
R
y
vincoli
y
(X − x) =
tanα
con x e y l’ascissa e l’ordinata del punto materiale e X l’ascissa dell’intersezione tra la superficie inclinata e il pavimento.
→
1.8
ay = (Ax − ax )tanα
A = −ma
x
M x
a = R sinα
x
x
⇒
ax =
gsinαcosα
m
sin2 α
1+ M
gsinαcosα
ay = 1+ m sin2 α tanα
( M
)
m gsinαcosα
Ax = − M
m
sin2 α
1+ M
−g
Energia
Variazione Energia Cinetica: Definiamo potenza W := F~ ·~v = m~a ·~v =
v
d 2
d
m d~
v = 12 m dt
v = dt
Ec ponendo Ecinetica := 12 mv 2 .
dt · ~
Ne segue:
R
R
R
r
~ ~ r
∆Ec = R F~ · ~v dt = F~ · d~
dt dt = F (R)d~
= Fx dx + Fy dy + Fz dz := L
[Lavoro]
15
Osservazione: Dal secondo passaggio siamo passati da una dipendenza
dell’energia cinetica dal moto in funzione del tempo ad una dipendenza alla
sola traiettoria.
Se F~ = F~0 costante allora L = F~0 · ∆~r, che non dipende dalla traiettoria.
Conservazione dell’Energia Cinetica: Se F~ = F~0 costante è la gravità:
1
mv 2 + mgh = costante
2
Vincoli Lisci: Sono quei vincoli che agiscono senza attrito. Essi non altera~ v = 0.
no l’energia, perché la loro reazione vincolare è ⊥ al moto e dunque R·~
Oscillatore Armonico:
F~ = −k~r → L = −k
→
Z
1 ~rd~r = − k r22 − r12
2
1
1
mv 2 + kr2 = costante
2
2
Forze Conservative: Sono quelle forze in cui il lavoro non dipende dalla traiettoria. Equivalentemente possiamo dire che sono quelle per cui i
percorsi chiusi hanno lavoro nullo:
I
F~ · d~r = 0
cioè le forze per cui esiste una funzione U scalare tale che
~ r)
F~ = −∇U(~
con ∇ che sta ad indicare il gradiente della funzione, ossia il vettore che ha
come componenti le derivate parziali rispetto ad un sistema di riferimento
cartesiano ortonormale.
∂U (x,y,z)
Fx = − ∂x
F = − ∂U (x,y,z)
Ne segue:
Z
r2
r1
y
∂y
F = − ∂U (x,y,z)
z
∂z
F~ · d~r = U1 − U2 = Ec2 − Ec1
→ E c 1 + U1 = E c 2 + U2
⇒ Ec + U = costante
[Energia Mecanica Totale]
16
Sono conservative le forze costanti, quelle centrali (dunque anche tutte quelle fra 2 soli corpi) e quelle ⊥ ~v .
F~ (~r) =
f (r)
r
r ~
Z
= f (r)r̂ Forza centrale. Allora
F~ (~r) · d~r =
Z
f (r)
r
~|r {z
· d~r}
=
= 21 d~r2
= 12 dr2
= rdr
Z
f (r)dr = ∆U(r)
Piano inclinato Mobile (parte 2): Sotto le stesse ipotesi e notazioni
della Parte 1 (pag.15).
1
1
E = M V 2 + m(vx2 + vy2 ) + mgy
2
2
Ma y = tan α(x − X), quindi vy = tan α(vx − V ) e
1
1
1
E = mV 2 + mvx2 + m(vx − V )2 tan2 α + mg tan α(x − X)
2
2
2
Applicando anche la conservazione della quantità di moto M V + mvx =
cost., si riesce a scrivere tutto in funzione di vx e x.
Pendolo:
θ
1 2
θ̇ + 2ω 2 sin2 = cost.
2
2
Esempio: Caso di sistema con 2 Corpi:
~ = m1~r1 + m2~r2
MR
~ = ~r2 − ~r1
S
~ + m1 S
~ = M~r2
MR
|
{z
~ + m1 S
~
~r2 = R
M
~
~ − m1 S
~r1 = R
M
~ + m1 S
~˙
~v2 = V
M
~˙
~ − m2 S
~v1 = V
M
⇓
1
1
~
E = m1 v12 + m2 v22 + U(S)
2
2
1
1 2
~
E=
MV 2
µṠ
+
+U(S)
2
2
| {z }
| {z }
en. cinetica
del c.m.
en.cinetica
nel c.m.
17
}
con µ =
m1 m2
m1 +m2 ,
detta massa ridotta.
→0=
d
¨~ ~˙ ~
~˙ · S
E = 0 + µS
+ S · ∇U
dt
¨~
¨~
~˙ S
~ = 0 ⇒ F (S)
~ = µS
→ S(µ
− F (S))
Momento angolare:
~ = ~r1 × m1~v1 + ~r2 × m2~v2
L
m2 ~
~
~ −
= R−
S × m1 V
M
˙
m2 ~
M S
~ × µS
~˙
~ × MV
~ + S
= |R
{z }
| {z }
mom.ang.
mom.ang.
del c.m.
nel c.m.
~+
+ R
m1 ~
M S
× m2
~ +
V
˙
m1 ~
M S
In un Campo Centrale: Prendiamo le coordinate polari e riscriviamo
l’energia meccanica totale.
1
1
E = mṙ2 + mr2 θ̇2 + U(r)
2
2
In un campo centrale il momento angolare L si conserva, riscriviamo quindi
la relazione in funzione di esso.
L = mr2 θ̇
Quindi θ̇ =
Si ha
L
mr 2
→ E = 21 mṙ2 +
1 L2
2 mr 2
+ U(r).
ṙ = f (r, t, L) → t − t0 =
Potenziale Efficace: Ueff =
L2
2mr 2
Z
r
r0
dr′
f (r′ , t, L)
+ U(r), da cui:
1
E = mṙ2 + Ueff (r)
2
Potenziale Efficace nel caso della Gravità:
GM m
L2
GM m
GM m
r̂
→
U(r)
=
−
→
U
(r)
=
−
F~ = −
eff
2
2
r
r
2mr
r
′ (r) = 0.
Vediamo quando Ueff (r) è al minimo, ovvero quando Ueff
L2
GM m
=
⇔ L2 = GM m2 re
mre3
re2
18
⇒ Ueff (r) =
L2
GM m
−
2
(re + x) 2m re + x
E quindi, per piccole oscillazioni,
3 L2 2 GM m 2 1
1 GM m 2
1
x −
x = mẋ2 + U0 +
x
E = mẋ2 + U0 +
4
3
2
2 mre
re
2
2 re3
Come dimostrare le leggi di Keplero:
(1.) E = 12 mṙ2 + Ueff (r) → ṙ = f (r, E, L)
→ t = t(r) → r = r(t); L = mr2 θ̇ →
da cui
(
dθ
dt
=
→
L
(t)
mr 2
t − t0 =
→ θ =
θ(t)
→ r(θ). Dimostrazione valida, ma molto lunga.
r(t)
R
Rr
dr
r0 f (r) ,
L
mr(t) dt;
~
(~
r·~v )~
r
(~
r·~v )~
r
~
r ×(~
r×~v )
~v
~
r d~
r
~
r·~v ~v
dr
×L
= − ~rmr
(2.) dr̂
3,
dt = r − r 3 , poiché dt = r dt = r . r − r 3 = −
r3
~
~
da cui possiamo definire N := ~v × L − GM mr̂ che ha derivata
~
~
dN
~ + ~r × L GM m =
= ~a × L
dt
mr3
F~
~rGM m
+
m
mr3
!
~ =0
×L
~ si dice vettore di
Abbiamo quindi trovato una legge di conservazione: N
Lenz.
~ · ~r = N r cosθ = ~r · (~v × L)
~ − GM mr = L2 − GM mr → r =
Allora N
m
1
L2
,
che
è
l’equazione
di
una
conica.
m N cosθ+GM m
GM m
2 1
2
L2 + (GM m)2 =
Inoltre N 2 = m
2 mv −
r
Allora, sostituendo, otteniamo
1
L2
r=
=
m N cosθ + GM m
con
N
e=
=
GM m
s
1+
L2
GM m2
2EL2
G2 M 2 m3
2E 2
mL
!
+ (GM m)2 .
1
1 + e cosθ
l’eccentricità
• e < 1 → ellisse
• e = 1 → parabola
• e = 0 → circonferenza
• e > 1 → iperbole
Usando p =
L2
GM m2
possiamo riassumere la conica come r =
rmin =
p
1+e
rmax =
19
p
1−e
p
1+e cosθ .
r
+ rmax
p
a = semiasse magg. = min
=
2
1 − e2
p
p
b = semiasse min. = √
= a 1 − e2
1 − e2
L’energia in un’orbita ellittica è:
E=−
perché e =
s
1−
b2
a2
GM m
2a
cioè dipende solamente dal semiasse maggiore.
Il momento angolare è massimo (a parità di energia), quando l’orbita è
circolare.
Ueff
parabola
circonferenza
O
r
iperbole
ellisse
Dal grafico possiamo vedere come l’energia meccanica totale in un campo centrale sia negativa in un moto ellittico, positiva in un moto iperbolico
e nulla in caso di moto parabolico.
(3.) La velocità areolare è costante, quindi T =
√2π a
GM
3
2
→ ω=
Le coppie
dell’orbita.
a
b
2π
T
!
,
=
√
GM
3
R2
rmax
rmin
area ellisse
L
2m
=
2m
L πab
=
.
!
,
E
L
!
determinano univocamente la forma
2
=
Velocità di fuga: E = 0 ↔ 12 mvfuga
→ vfuga =
s
GM m
r
2gM
r
Pendolo sferico: Sia r la lunghezza del filo, θ l’angolo rispetto all’asse z
e ϕ l’angolo rispetto all’asse x. Allora:
h = −rcosθ → U = −mgrcosθ
20
x = rsinθcosϕ
y = rsinθsinϕ →
z = rcosθ
vx = r θ̇cosθcosϕ − r ϕ̇sinθsinϕ
v = rθ̇cosθsinϕ + rϕ̇sinθcosϕ
y
v = −r θ̇sinθ
z
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ
1
→ E = mr2 (θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ) − mgrcosθ
2
E dipende solo da ϕ̇, e non da ϕ: si dice quindi che ϕ è una coordinata
ciclica. Se esiste una coordinata ciclica allora esiste sempre una legge di
conservazione.
La componente lungo l’asse z del momento angolare si conserva:
Lz = (xvy − yvx )m
= m(rsinθcosϕ)(rθ̇cosθsinϕ + rϕ̇sinθcosϕ)−
−m(rsinθsinϕ)(rθ̇cosθcosϕ − rϕ̇sinθsinϕ)
= mr2 ϕ̇sin2 θ
→ ϕ̇ =
Lz
2
mr sin2 θ
L2z
1
1
− mgrcosθ
⇒ E = mr2 θ̇2 +
2
2m r2 sin2 θ
Possiamo quindi definire anche qui un potenziale efficace.
Ueff
E
O
θmin
θmax
θ
′ = 0, ovvero al minimo valore possibile per E, il pendolo si
Quando Ueff
muove di moto circolare; per valori maggior di E il pendolo si muove tra un
θmin e un θmax .
Cambio di Sistema di Riferimento: Sia ı̂1 , ı̂2 , ı̂3 un sistema di riferimento centrato in O e sia ı̂′1 , ı̂′2 , ı̂′3 un nuovo sistema di riferimento centrato
in O′ .
X
~r′ =
x′α ı̂′α
α
~r =
X
xα ı̂α = ~rO′ + ~r′
α
dr X dxα
=
ı̂α ;
dt
α dt
X
dr′ X dx′α ′
dı̂′
=
ı̂α +
x′α α
dt
dt
α dt
α
21
~v =
d~r
d~rO′ d~r′
=
+
=
dt
dt
dt
+
~vO′
|{z}
X
x′α
dı̂′α
dt
{z
}
α
veloc. del
sistema O’
|
+
rotazione
del sistema O’
~v
′
r
|{z}
veloc. del punto
nel sistema O’
′
~ è la velocità angolare istantanea di rotazione.
~ ×ı̂′α , dove ω
Abbiamo dı̂dtα = ω
P ′ dı̂′α
P
P ′
~ × ~r′ .
Dunque α xα dt = α xα (~
~ × α x′α ı̂′α = ω
ω × ı̂′α ) = ω
~ × ~r′ + ~vr′
⇒ ~v = ~vO′ + ω
L’accelerazione è invece:
ω × ~vr′ +
~a = ~aO′ + ~ar′ + 2~
dω
× ~r′ + ω
~ × (~
ω × ~r′ ) = ~at + ~ac + ~ar′
dt
con ~at = ~aO′ + dω
r′ + ω
~ × (~
ω × ~r′ ) l’accelerazione di “trascinamento”, e
dt × ~
~ac = 2~
ω × ~vr′ l’accelerazione di “Coriolis”.
Pendolo di Foucault: ???
Momento Angolare in un Sistema di Punti Materiali:
~ =
L
X
~ri × mi~vi
~
X
X
X
dL
=
~vi × mi~vi +
~ri × mi~ai =
~ri × F~i
dt
Volendo considerare separatamente le forze interne e quelle esterne:
~
X
X
X (int)
dL
(est)
~ (est) +
(~ri × F~ji + ~rj × F~ij )
Fji ) = M
=
~ri × (Fi
+
dt
i<j
j6=i
Ma ~ri × F~ji + ~rj × F~ij = (~ri − ~rj ) × F~ji = 0, perché ~ri − ~rj k F~ji
⇒
~
dL
~ (est)
=M
dt
[Momento tot. forze Esterne]
Il momento totale delle forze interne è nullo in qualsiasi sistema di riferimento.
Equazioni Cardinali della Dinamica dei Sistemi:
(
~
dP
dt
~
dL
dt
= F~e
~e
=M
Momento Angolare rispetto a O e al CM:
~ + ~si ⇒ L
~O = R
~ × MV
~ +
~ri = R
22
X
i
~si × m~s˙ i
L’energia meccanica è:
1
1X
E = MV 2 +
mi ṡ2i + U
2
2 i
Infine
~
dL
(e)
~ × F~ (e) + M
~ cm
=R
dt
Quindi anche se le forze esterne si annullano posso avere variazione di momento angolare.
Corpo Rigido:
•
~
dP
dt
= F~ (e) ;
•
~
dL
dt
~ (e) ;
=M
• E=
P2
2M
1
2
+
P
2
i mi si ;
~ =R
~ × P~ + P ~si × m~s˙ i ;
• L
i
• ~s˙ i = ω
~ × ~si ;
~ + ~si ;
• ~ri = R
~˙ + ω
• ~vt = R
~ × ~si ;
• ~vr′ = ~vi,r′ + ~vt ;
• Ecm =
1
2
P
ω
i mi (~
× ~si )2 =
1
2
P
i
~α · ω
~ β.
mi s2i δαβ − mi~siα · ~siβ ω
P
Detto Tensore di inerzia: Tαβ := i mi s2i δαβ − ~siα · ~siβ , con δαβ il delta
di Kronecker, si ha:
1X
Tαβ ω
~α · ω
~β
Ecm =
2 α,β
T è quindi una matrice. Per ogni corpo rigido, esiste un sistema di riferimento in cui T è diagonale.
Se l’origine del sistema di riferimento non coincide con il centro di massa il
tensore di inerzia si modifica così:
(R)
(cm)
Tαβ = Tαβ
+ M (R2 δαβ − Rα Rβ )
Momento di Inerzia: [...]
23
1.9
Urti
Conservazione della quantità di moto: Durante un urto tra due corpi, essi si comportano come un sistema isolato, e quindi la quantità di moto
di conserva.
Urto Elastico: Un urto si dice elastico se in esso si conserva (oltre alla
quantità di moto) anche l’energia cinetica totale dei corpi che interagiscono.
(
m1 v1 + m2 v2 = m1 V1 + m2 V2
1
1
1
1
2
2
2
2
2 m1 v1 + 2 m2 v2 = 2 m1 V1 + 2 m2 V2
Urto anelastico: Un urto si dice completamente anelastico se i due
corpi che collidono rimangono uniti dopo l’urto. La velocità finaledei due
corpi è determinata dalla sola conservazione della quantità di moto
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )V
1.10
Dinamica dei fluidi e Cinematica dei gas
Liquidi Perfetti: Sono fluidi caratterizzati da incomprimibilità e assenza
di attriti interni.
Gas Perfetti: Gas privi di attriti interni e durante gli urti tra particelle non vi è dispersione di energia cinetica.
⊥
Pressione: P = dF
dS , con S la superficie e F⊥ la componente normale
alla superficie della forza.
Principio di Pascal: In un fluido perfetto, la forza è sempre normale
alla superficie.
Portata: Π =
Densità: ρ =
Quindi
dM
dt
dM
dV
con M la massa.
con M la massa e V il volume.
Π=
dM
dM dV
=
=ρ
dt
dV dt
dV
dt
|{z}
portata
volumetrica
24
dV
= Sv
con v la velocità
[Legge di Leonardo]
dt
In un condotto la portata del fluido perfetto è costante.
Legge di Stevino: La pressione esercitata da una colonna di fluido di
densità ρ su un punto a profondità h è direttamente proporzionale alla
profondità e all’accelerazione gravitazionale.
P S = Fp = mg = V ρg = Shρg ⇒ P = ρgh
Principio di Archimede: Ogni corpo immerso parzialmente o completamente in un fluido riceve una spinta verticale dal basso verso l’alto, uguale
per intensità al peso del volume del fluido spostato.
F = (ρgh1 − ρgh2 )S = ρg∆hS = ρgV
Legge di Boyle: Nei gas perfetti:
P V = costante
La costante in questione è N kb T , con N numero di molecole e:
1 D E
kb T = m v 2
2
con m la massa di una molecola e v 2 la velocità quadratica media delle
molecole.
Per cui:
D E
1
1 D 2E
2
P V = mN
⇒
P
=
v
v ρ
2 |{z}
2
M
Ne segue:
2P
dP
2g
dP
= ρg = − 2 g ⇒
= − 2 dz
dz
hv i
P
hv i
−
⇒ P = P0 e
2gh
hv 2 i
− hh
= P0 e
0
h i
dove h0 = 2g è l’altezza massima media a cui può arrivare una molecola
sparata verso l’alto.
Tipicamente, v 2 è il quadrato della velocità del suono; h0 è in genere 5 km.
v2
Teorema di Bernoulli:
1
dM (v22 − v12 ) + dM g(h2 − h1 ) = P1 S1 dx1 − P2 S2 dx2
{z
}
|
2
{z
}
|
lavoro
variaz. di energia
25
Ma S1 dx1 = S2 dx2 = dV , poiché la portata è costante, quindi
1
1
dM (v22 − v12 ) + dM g(h2 − h1 ) = (P1 − P2 )dV ⇒ P + ρv 2 + ρgh = costante
2
2
Questo vale in qualsiasi fluido con moto sufficientemente “non turbolento”,
in cui le linee di flusso non si intersecano.
Possiamo riscriverla come:
P
ρg
|{z}
altezza “piezometrica”
+
v2
2g
|{z}
altezza “cinetica”
+
h
|{z}
= costante
altezza“f isica
Con altezza piezometrica si intende la distanza dal “pelo del fluido”; con
altezza cinetica si intende l’altezza da cui deve cadere un oggetto per assumere velocità v.
Effetto Venturi: La pressione è minore se il fluido si muove velocemente.
In un recipiente la velocità di uscita del fluido da un buco è la stessa che
avrebbe il liquido in cima in caduta libera fino al foro.
Gas Perfetto: È costituito da punti materiali che interagiscono elasticamente. [...]
26
Capitolo 2
Meccanica Lagrangiana
2.1
Vincoli
Problemi con Vincoli: Se ho g gradi di libertà, ma v vincoli, allora
il numero di effettivi gradi di libertà è g − v. In generale servono g + v
equazioni per risolvere completamente il problema, ma è possibile sempre
ridursi a g − v equazioni, infatti:
detti δ~ri gli spostamenti virtuali delle molecole, se abbiamo N molecole
posso scomporli in 3N componenti. Allora:
X
i
(F~i − m~ai ) · δ~ri = 0
(a)
F~i
F~i =
i
(a)
F~i · δ~ri =
X
i
i
|{z}
reazione per vincolo olonomo
forze attive
X
~
R
+
| {z }
P ~
ri = 0, per cui:
i Ri · δ~
[lavoro forze interne =0]
mi~ai · δ~ri ⇒
X
i
(a)
(F~i
|
− mi~ai )
{z
}
la loro somma fa 0
·δ~ri = 0
Quindi F~i = mi~ai ∀i e ~ri = ~ri (qj , t)∀i. Le qj sono coordinate generalizzate,
che vanno bene per tutti gli ~ri .
P ∂~ri
δqj .
Scriviamo quindi δ~ri = j ∂q
j
⇒
X
i,j
(a)
(F~i
− mi~ai )
∂~ri
δqj = 0
∂qj
Adesso le qj sono linearmente indipendenti (contrariamente agli ~ri ), e quindi
deve essere
X (a)
∂~ri
(F~i − mi~ai )
= 0 ∀j
∂qj
i
27
Queste sono in totale g − v equazioni.
Forze Generalizzate: Definiamo:
Qj :=
ri
(a) ∂~
∀j
F~i ·
∂qj
X
i
Ma vale anche:
~ ({~rk })
∂V
(a)
F~i = −
∀i
∂~ri
Per cui
(en.potenziale espressa in coordinate rk )
X ∂V
i
∂~ri
·
∂~ri
∂V (rk (q))
=
∂qj
∂qj
Possiamo quindi riscrivere:
X
i
X
i
d2~ri ∂~ri
mi 2 ·
dt
∂qj
!
+
∂V
= 0 ∀j
∂qj
d X d~ri ∂~ri
d2~ri ∂~ri
mi
=
mi 2
dt ∂qj
dt
dt ∂qj
i
Ma scrivendo
d ∂~ri
∂ d~ri
=
dt ∂qj
∂qj dt
X
i
mi
e
!
−
X
i
→
d~ri d ∂~ri
·
mi
dt dt ∂qj
∂ d~ri
∂~ri
=
∂ q̇j dt
∂qj
∂~vi
∂~vi X
d X
d2~ri ∂~ri
mi~vi ·
mi~vi ·
=
−
2
dt ∂qj
dt i
∂ q̇j
∂qj
i
Tenendo conto che K =
1
2
P
2
i mi vi ,
con K l’energia cinetica:
∂~vi
d X
∂~vi X
d ∂K
∂K
mi~vi ·
mi~vi ·
−
=
−
dt i
∂ q̇j
∂q
dt
∂
q̇
∂qj
j
j
i
⇒
d ∂K
∂K
∂V
−
+
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
Ponendo L = L(qj , q̇j , t) = K − V :
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
[Lagrangiana]
Piano Inclinato (Parte 3): Impostiamo la Lagrangiana:
1
L = mṡ2 − mg j sinα
2
28
!
→
d
(mṡ) + mgsinα = m(s̈ + gsinα) = 0 → s̈ = −gsinα
dt
Pendolo (Parte 2): Impostiamo la Lagrangiana:
1
L = mr2 θ̇2 + mgr cosθ
2
→
g
d
(mr2 θ̇) + mgr sinθ = 0 → θ̈ = − sinθ
dt
r
Il risultato è valido anche per forze non necesariamente conservative, ma
comunque scindibili come:
Qi =
d ∂U(q, q̇)
∂U
−
dt ∂ q̇j
∂qj
dunque con U dipendente anche dalla velocità:
~ r) · ~v
U(~r, ~v ) = V(~r) + A(~
2.2
Equazioni Lagrangiane e Hamiltoniana
Meccanica Lagrangiana:
• L=
K − V
∂L
d
• dt ∂∂L
q̇j − ∂qj = 0
)
Equazioni Lagrangiane
Momento Generalizzato:
pi =
∂L
∂ q̇i
Se poi ∂∂L
q̇i = 0, allora qi si dice coordinata ciclica e una sua variazione non
incide sulla Lagrangiana.
∂L
Si ha che ṗi = ∂q
.
i
Hamiltoniana:
H=
X
i
pi q̇i − L
∂L
dH
=−
dt
∂t
29
Infatti:
Ḣ =
Ma
X
ṗi q̇i +
X
i
i
pi q̈i −
dL
dt
X ∂L
dL X ∂L
∂L
=
q̇i +
q̈i +
dt
∂qi
∂ q̇i
∂t
i
i
Quindi, risostituendo:
Ḣ =
X ∂L
i
∂qi
q̇i +
X ∂L
i
∂ q̇i
q̈i −
X ∂L
i
→ Ḣ = −
∂L
• ṗi = ∂q
i
• Ḣ = − ∂L
∂t
)
∂qi
q̇i −
X ∂L
i
∂ q̇i
q̈i −
∂L
∂t
∂L
∂t
legame tra simmetrie e leggi di conservaz.
Se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, allora l’Hamiltoniana si conserva (cioè è costante, avendo derivata nulla).
30
