Intorno al teorema di densità di Lebesgue (e su alcuni insiemi di

Intorno al teorema di densità di Lebesgue (e su alcuni
insiemi di misura nulla forse non del tutto trascurabili).
A. Andretta1
C. Costantini1
R. Camerlo2
1 Dipartimento
di Matematica
Università di Torino
2 Dipartimento
di Matematica
Politecnico di Torino
Torino 10 marzo 2014
Andretta, Costantini, Camerlo (Torino)
Densità
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Il teorema di densità di Lebesgue
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f : [0; 1] → R è continua, allora
1
f (x) = lim
ε↓0 2ε
Z
x+ε
f (t) dt.
x−ε
Il teorema di densità di Lebesgue
Se f : [0; 1] → R è Lebesgue integrabile, allora
Z x+ε
1
f (x) = lim
f (t) dt quasi ovunque.
ε↓0 2ε x−ε
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Densità
Il teorema di densità di Lebesgue
Se A ⊆ R è Lebesgue misurabile e λ è la misura di Lebesgue su R
λ(A ∩ (x − ε; x + ε))
ε↓0
2ε
Φ(A) = {x ∈ R | DA (x) = 1} .
DA (x) = lim
Se nel Teorema di Lebesgue f = χA è la funzione caratteristica di un
insieme Lebesgue misurabile A
χA (x) = DA (x) quasi ovunque
e
Φ(A) è Lebesgue misurabile e λ(Φ(A) 4 A) = 0.
Queste definizioni valgono in contesto più generale. . .
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Scopo del seminario di oggi. . .
Provare a rispondere a qualche domanda tipo:
In quali spazi e per quali misure vale il Teorema di densità di
Lebesgue? (Rn , 2N , . . . )
Qual’è la complessità topologica di Φ(A)? (aperto, chiuso, Borel, . . . )
Qual’è il range di DA ? ({0, 1}, [0; 1], . . . )
Quanto dipende dalla metrica il computo di DA e Φ(A)?
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Un po’ di notazione in teoria della misura
µ : S → [0; ∞] una misura su X, dove S una σ-algebra su X.
Measµ la σ-algebra dei µ-misurabili,
Nullµ = {A ⊆ X | A ∈ Measµ ∧ µ(A) = 0},
µ è completa se ∀A ∈ Null ∀B ⊆ A [B ∈ Null],
µ è non singolare se µ({x}) = 0 per ogni x ∈ X,
A ⊆µ B se e solo se A \ B ∈ Null,
A =µ B se e solo se A ⊆µ B e B ⊆µ A,
Malg = Meas/Null = Meas/=µ .
Malg è un’algebra di Boole: [A] ∧ [B] = [A ∩ B], [A] ∨ [B] = [A ∪ B],
[A]0 = [X \ A]. Infatti è un’algebra di Boole completa, cioè sup X e
inf X esistono per tutti gli X ⊆ Malg.
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Misure Boreliane
Se X è uno spazio topologico, Bor(X) la σ-algebra dei Boreliani di X.
Una misura Boreliana è una misura µ definita su Bor(X); il suo
supporto è
[
supt(µ) = X \ {U | U aperto e µ(U ) = 0} .
Se (X, d) è metrico, una misura di Radon è una misura Boreliana tale
che µ(B(x; ε)) < ∞ per ogni x ∈ X e ogni ε sufficientemente piccolo.
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Spazi Polacchi
Definizione
X spazio topologico è Polacco se è separabile e completamente
metrizzabile, cioè c’è una metrica completa che induce la topologia di X.
Esempi
Z, Rn , (0; 1), (0; 1], spazi di Banach separabili, . . .
Se X è Polacco, Malg(X) è uno spazio Polacco.
Se X, Y sono Polacchi e privi di punti isolati, allora
Malg(X) ∼
= Malg(Y ).
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Prodotto di spazi Polacchi
Se Xn è Polacco (n ∈ N), allora
Q
n Xn
è Polacco.
Dimostrazione.
Fisso dn ≤P1 metrica completa su Xn e pongo
d(~x, ~y ) = n dn (xn , yn ) · 2−n−1 . Se Dn = {dn,i |Qi ∈ N} è denso in Xn ,
allora {~x | ∃i ∃N ∀n ≥ N [xn = dn,i ]} è denso in n Xn .
In particolare se diamo a 2 = {0, 1} la topologia discreta, lo spazio di
Cantor 2N di tutte le x : N → 2 è Polacco. Un aperto di base è della forma
def
Ns = {x ∈ 2N | s ⊆ x}.
dove s ∈ 2<N è una sequenza finita. La distanza è d(x, y) = 2−n , se n è
minimo tale che x(n) 6= y(n). È un’ultrametrica, cioè
d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)) e gli Ns sono chiusi-aperti, quindi 2N è
totalmente sconnesso.
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Lo spazio di Cantor
Per esempio se s = 010, allora Ns = {x ∈ 2N | s ⊆ x} è
hi
0
01
010
Il
di Ns è 2− lh s .
diametro
x ∈ 2N | x è definitivamente costante è denso e numerabile.
2N è, a meno di omeomorfismo, l’unico spazio compatto, metrico, privo di
punti isolati, totalmente sconnesso.
Se invece dell’albero binario completo avessimo preso un albero ternario, o
un albero finite branching avremmo ottenuto lo stesso spazio.
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Insiemi di Cantor in R
K∅ ⊆ R intervallo chiuso, I∅ intervallo aperto totalmente contenuto in K∅ .
K∅ \ I∅ si spezza in due sottointervalli chiusi K0 < K1 . Ripetendo questa
operazione si ottengono intervalli chiusi Ks contenenti intervalli aperti Is
per s ∈ 2<N . Quindi
s <lex t ⇒ Ks < Kt
e
[
K = K∅ \
Is
s∈2<N
=
\ [
Ks .
n lh(s)=n
è compatto e non vuoto.
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Insiemi di Cantor in R
Se
∀x ∈ 2
N
lim |Kxn | = 0 ,
n→∞
allora K ha interno vuoto e
T
HK (x) = l’unico elemento di n Kxn
è un omeomorfismo. La costruzione di Cantor Ks | s ∈ 2<N è
HK : 2N → K
centrata se gli Is sono centrati in Ks ;
uniforme se |Is | = |It | per lh s = lh t;
ha ragione r se |Is | = r|Ks | per ogni s.
Se la costruzione è centrata, K ∼
= 2N . E1/3 è l’insieme di Cantor centrato
di ragione 1/3.
Se la costruzione è centrata e di ragione fissata r, allora λ(K) = 0.
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Insiemi di Cantor in R
È possibile costruire insiemi di Cantor in R (eventualmente centrati e/o
uniformi) di misura positiva.
Un K ⊆ R compatto, più che numerabile, privo di interno e privo di punti
isolati è omeomorfo a 2N .
Dimostrazione.
Siano a = min K, b = max K. Allora [a; b] \ K è unione di intervalli aperti
disgiunti, e sia I la famiglia di questi intervalli: (I, <) è un ordine lineare
numerabile denso senza primo o ultimo elemento, e per un teorema di
Cantor è isomorfo a (2<N , ), dove per ogni s
sa 0 s sa 1.
A partire da questo isomorfismo si definisce la costruzione di Cantor per
K.
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Insiemi di Cantor in spazi Polacchi
Teorema (Cantor, Bendixson, Alexandroff)
Se X è Polacco e più che numerabile e B ⊆ X è Borel, allora
B contiene un sottoinsieme chiuso omeomorfo a 2N , oppure
B è numerabile.
Se µ è una misura di Radon su uno spazio Polacco X, allora
µ(B) = sup {µ(K) | K compatto ⊆ B}
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Misure su 2N
La misura µC su 2N è definita da µC (Ns ) = 2− lh s
1
1/2
1/4
1/8
Più in generale, una misura su 2N è data da una mappa
w : 2<N → [0; M ]
tale che w(s) = µ(Ns ). Le proprietà cruciali sono
w(∅) = M
w(sa 0) + w(sa 1) = w(s).
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Densità
Generalizziamo la definizioni precedenti. . .
Consideriamo (X, d, µ) con
(X, d) spazio metrico,
µ una misura di Radon a supporto pieno (cioè Boreliana e tale che
0 < µ(B(x; ε)) < ∞ per ogni x ∈ X e ogni ε sufficientemente
piccolo).
Per x ∈ X e A misurabile definiamo
DA+ (x) = lim sup
ε↓0
µ (A ∩ B(x; ε))
µ (B(x; ε))
µ (A ∩ B(x; ε))
ε↓0
µ (B(x; ε))
µ (A ∩ B(x; ε))
DA (x) = lim
ε↓0
µ (B(x; ε))
Φ(A) = {x ∈ X | DA (x) = 1} .
DA− (x) = lim inf
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Spazi DPP
Definizione
(X, d, µ) soddisfa la Density Point Property (DPP) se per ogni A
µ-misurabile.
Problema
Quali (X, d, µ) sono DPP, cioè soddisfano l’analogo del teorema di densità
di Lebesgue?
Rn e µ di Radon a supporto pieno,
lo spazio di Cantor 2N con la misura µC ,
Più in generale ogni spazio Polacco ultrametrico con misura di
Radon [Mil08].
La metrica gioca un ruolo cruciale nello studio della densità!
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Proprietà di Φ
Se A, B, Ai sono misurabili:
1
Φ(A) è Borel
2
A ⊆µ B ⇒ Φ(A) ⊆ Φ(B)
3
Φ(A ∩ B) = Φ(A) ∩ Φ(B)
4
se N ∈ Null allora Φ(N ) = ∅ e Φ(X \ N ) = X
5
Φ({A) ⊆ {Φ(A)
6
S
S
Φ(A
∪
B)
⊇
Φ(A)
∪
Φ(B)
e
Φ(
A
)
⊇
i
i∈I
i∈I Φ(Ai ), se
S
i∈I Ai ∈ Meas
7
Φ(U ) ⊇ U , per U aperto e Φ(C) ⊆ C, per C chiuso
8
Φ(C1 ∪ C2 ) = Φ(C1 ) ∪ Φ(C2 ), se C1 , C2 sono chiusi disgiunti.
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Gerarchia Boreliana
Un sottoinsieme B di uno spazio Polacco è
S
Fσ o Σ02 se B = n Cn , con Cn chiuso,
Gδ o Π02 se è il complemento di un Fσ , cioè B =
aperto,
S
Gδσ o Σ03 se B = n Gn , con Gn ∈ Π02 ,
T
Fσδ o Π03 se è il complemento di un Gδσ , cioè B =
Fn ∈ Fσ ,
n Un ,
T
con Un
n Fn ,
con
Σ0α = unioni numerabili di insiemi che sono Π0β con β < α;
Π0α = intersezioni numerabili di insiemi che sono Σ0β con β < α.
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Complessità di Φ(A)
In Rn con la misura di Lebesgue e la distanza solita, oppure 2N con µC e
distanza solita, Φ(A) ∈ Π03 .
Teorema ([AC13])
Se K ⊆ 2N è un compatto di misura positiva e privo di interno, allora
Φ(K) ∈ Π03 \ Σ03 .
Corollario ([AC13])
[A] ∈ Malg | Φ(A) ∈ Π03 \ Σ03 è comagro in Malg.
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Qualche estensione
Una misura di Bernoulli di tipo p è una misura su 2N definita da una
w : 2<N → [0; 1] tale che w(∅) = 1 e per ogni s
w(sa 0) = w(s) · p
oppure w(sa 1) = w(s) · p
Teorema (G. Carotenuto)
Se K ⊆ 2N è un compatto di misura positiva e privo di interno, e se
utilizziamo una misura di Bernoulli di tipo p , allora Φ(K) ∈ Π03 \ Σ03 .
Teorema (G. Carotenuto)
Se K ⊆ R è un insieme di Cantor simmetrico, uniforme e di misura
positiva, allora Φ(K) ∈ Π03 \ Σ03 .
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Proprietà di Φ per spazi DPP
1
T = {A ⊆ X | A ⊆ Φ(A)} è una topologia, la topologia della
densità su X,
2
Φ̂ : Malg → Meas è un selettore, cioè Φ̂([A]) = Φ(A) ∈ [A],
T è più fine della topologia indotta da d,
A = Φ(A) se e solo se A un aperto regolare di T, cioè
A = IntT ClT A,
Φ : Meas → Meas non è un omomorfismo!
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Spazi non DPP
Teorema (Käenmäki-Rajala-Suomala [KRS])
C’è una metrica completa d su 2N compatibile con la topologia standard,
una misura µ di Radon pienamente supportata ed un compatto K di
misura positiva tali che Φ(K) = ∅.
Quindi il teorema di densità di Lebesgue non vale nello spazio (2N , d, µ).
La metrica d non può essere un’ultrametrica.
Teorema
Per ogni spazio Polacco (X, d) più che numerabile e per ogni misura di
Radon a supporto pieno µ, c’è una metrica compatibile d0 e un compatto
K di misura positiva tali che Φ(K) = ∅.
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Oscillazione
Sia (X, d, µ) DPP. L’oscillazione di x in A è OA (x) = DA+ (x) − DA− (x).
Quindi DA (x) esiste se e solo se OA (x) = 0.
Definizione
A è solido se OA (x) = 0 per tutti gli x ∈ X.
A è quasi-dualistico se OA (x) = 0 ⇒ DA (x) ∈ {0, 1} per tutti gli x ∈ X.
A è dualistico se è solido e quasi-dualistico.
Esempi
Un intervallo è solido: i punti interni hanno densità 1, quelli esterni 0,
gli estremi 1/2.
Ogni chiuso-aperto è dualistico.
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Proprietà elementari
(R, T) non è metrizzabile o separabile.
A ⊆ X è dualistico e non banale se e solo se A è chiuso-aperto in
(X, T).
(R, T) è connesso.
(R2 , T) non è connesso.
Se A è chiuso-aperto allora A è dualistico.
Gli insiemi solidi (o i dualistici) formano un’algebra di Boole.
Proposizione
Se X ⊆ R è dualistico, allora X ∈ Null oppure R \ X ∈ Null.
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Punti eccezionali in R
Definizione
x ∈ R è δ-eccezionale per A con 0 ≤ δ ≤ 1/2 se e solo se
δ ≤ DA− (x) ≤ DA+ (x) ≤ 1 − δ.
Quindi x è δ-eccezionale per A se DA (x) esiste e appartiene a [δ; 1 − δ],
oppure se DA (x) non esiste e tuttavia OA (x) ≤ 1 − 2δ. Gli estremi di un
intervallo sono 1/2-eccezionali, gli altri punti sono 0-eccezionali. (Un A è
non banale se 0 < µ(A) < ∞.)
Abbreviamo con H(δ) l’affermazione:
∀A non banale ∃x (x è δ-eccezionale per A).
Se δ1 > δ2 allora H(δ1 ) ⇒ H(δ2 ), quindi definiamo
δH = sup {δ | H(δ) vale} .
Quindi, se c’è giustizia al mondo, δH = 1/2. . .
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Non c’è giustizia al mondo!
√
V. Kolyada [Kol83] dimostrò che 1/4 ≤ δH ≤ ( 17 − 3)/4. Questi estimi
sono stati migliorati in [Sze11, CGO12], e in [Kur12] il valore esatto di δH
è stato stabilito:
δH = l’unica radice reale di 8x3 + 8x2 + x − 1 ≈ 0,268486 . . .
Quindi ci sono insiemi A ⊂ R tali che ran(DA ) ∩ (δH ; 1 − δH ) = ∅; in altre
parole, per ogni x ∈ R
OA (x) > 1 − 2δH oppure
DA (x) ∈ [0; δH ] ∪ [1 − δH ; 1].
In particolare, c’è un A che non ha punti di densità 1/2.
Problema
È possibile avere un A ⊆ R solido tale che DA (x) ∈ [0; δH ] ∪ [1 − δH ; 1]?
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Solidità in Rn
Teorema
Se A ⊆ Rn è solido, allora DA (x) = 1/2 per qualche x ∈ Rn .
Quindi il teorema di Kolyada–Kurka riguarda gli insiemi non solidi.
Proposizione
Se A ⊆ Rn è solido, allora Φ(A) è Π02 , cioè Gδ .
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La funzione D
Fissato (X, d, µ) e A ⊆ X, DA : X → [0; 1] è una funzione parziale
Boreliana.
ran(DA ) in generale non è Boreliano, è un insieme analitico, cioè è
l’immagine di un Boreliano mediante una funzione Boreliana.
In uno spazio Polacco Y . . .
Σ11 è la notazione usata dai logici per indicare gli insiemi analitici,
il complemento di un insieme analitico si dice coanalitico, ovvero Π11 ,
un insieme che sia analitico e coanalitico è lo si indica con ∆11 , e per
un teorema di Lusin ∆11 =Borel,
gli insiemi Σ11 (e quindi i Π11 ) sono µ-misurabili per ogni misura
Boreliana su Y .
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Il valore della funzione D in R
Teorema
C’è un compatto K non banale e solido di Rn tale che ran(DK ) = [0; 1].
Il valore 1/2 è ottenuto infinite volte. Il compatto K può essere sostituito
da un aperto U .
Teorema
Per ogni S ⊆ (0; 1) come sotto, c’è un compatto K ⊆ R non banale e
solido tale che ran(DK ) = S ∪ {0, 1/2, 1}:
S = Q ∩ [0; 1],
S un insieme numerabile,
S un chiuso,
S un aperto.
Problema
Caratterizzare i possibili valori di ran(DA ).
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Alcuni “teoremi”
Densità
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Proposizione
C’è un sottoinsieme di R quasi-dualistico ma non solido.
Teorema
C’è un compatto K non banale (ma non solido) di R tale
∀r ∈ [0; 1] ∃!x ∈ R (DK (x) = r).
A un certo punto eravamo convinti di aver dimostrato quanto sopra, ma
non avendo scritto la dimostrazione, non possiamo mettere la mano sul
fuoco. Questo è il motivo per la presenza di Bart Simpson.
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Complessità di D in 2N e qualche congettura in R
Teorema
Se S ⊆ (0; 1) è Σ11 allora c’è un compatto (solido) K ⊆ 2N tale che
ran(DK ) = S ∪ {0, 1}.
Congetture
Se S ⊆ (0; 1) è analitico, allora c’è un compatto K ⊆ Rn tale che
ran(DK ) = S ∪ {0, 1}.
Se S ⊆ (0; 1) è analitico, allora c’è un compatto solido K ⊆ Rn tale
che ran(DK ) = S ∪ {0, 1}.
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Spingendoci più in alto. . .
L’iperspazio K(2N ) dei compatti (=chiusi) di 2N con la metrica di
Hausdorff è uno spazio Polacco. (Gli spazi K(2N ) \ {∅} e 2N sono
omeomorfi.)
Definizione
A ⊆ X Polacco è Σ12 se è immagine di un Π11 (=coanalitico) mediante
una funzione Boreliana. Il complementare di un Σ12 si dice Π12 .
La terminologia moderna (logica) è molto meglio di quella classica:
Σ12 = PCA
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Π12 = CPCA
Densità
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Complessità di D in 2N
Teorema
K ∈ K(2N ) | K è (quasi-)dualistico è Π11 \ Σ11 .
In altre parole: è coanalitico ma non Borel.
Teorema
K∈
| ran DK = [0; 1] è Σ12 \ Π12 .
In altre parole: è Σ12 , ma non più semplice.
K(2N )
Congettura
Risultati analoghi dovrebbero valere in Rn .
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Densità
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Alessandro Andretta, and Riccardo Camerlo
The descriptive set theory of the Lebesgue density theorem.
Adv. Math., 234 1–42, 2013.
Marianna Csörnyei, Jack Grahl, and Toby C O’neil.
Points of middle density in the real line.
Real Anal. Exchange, 37(2):243–248, 2012.
Antti Käenmäki, Tapio Rajala, and Ville Suomala.
Local homogeneity and dimensions of measures in doubling metric
spaces.
V. I. Kolyada.
On the metric Darboux property.
Anal. Math., 9(4):291–312, 1983.
Ondřej Kurka.
Optimal quality of exceptional points for the lebesgue density
theorem.
Acta Math. Hungar., 134 (3) (2012), 209-268, 05 2012.
Andretta, Costantini, Camerlo (Torino)
Densità
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Benjamin Miller.
The existence of measures of a given cocycle. I. Atomless, ergodic
σ-finite measures.
Ergodic Theory Dynam. Systems, 28(5):1599–1613, 2008.
András Szenes.
Exceptional points for Lebesgue’s density theorem on the real line.
Adv. Math., 226(1):764–778, 2011.
Andretta, Costantini, Camerlo (Torino)
Densità
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