Rallentamento in mezzi infiniti assorbenti

6. Rallentamento in mezzi infiniti assorbenti
Rallentamento con cattura nel moderatore idrogeno
Il trattamento del rallentamento dei neutroni in mezzi in cui si hanno catture
neutroniche presenta più difficoltà del caso in cui non ci sia assorbimento. Il solo
caso che si può facilmente risolvere è quello di un sistema omogeneo composto da
moderatore idrogeno e da un assorbitore molto pesante, come l'uranio.
Le sezioni d'urto di assorbimento dell'uranio sono caratterizzate da forti risonanze in
zone epitermiche dell'energia. I neutroni rallentati a queste energie di risonanza, a
seguito di eventi di scattering nel moderatore, hanno elevata probabilità di essere
catturati dall'uranio ed essere così rimossi dal sistema. La presenza di un assorbitore
neutronico, specialmente se caratterizzato da forti risonanze, avrà quindi una
influenza diretta nella distribuzione energetica dei neutroni durante il rallentamento.
Nell'analisi del comportamento neutronico in una miscela di idrogeno e uranio che
sarà fatta nel seguito, si assume come per i casi studiati precedentemente che il mezzo
sia infinito, e quindi non ci siano perdite per leakage. Lo scattering verrà inoltre
supposto isotropo nel centro di massa. Si assumerà altresì che gli eventi di scattering
con l'uranio non comportino per i neutroni perdita di energia. Ciò equivale a supporre
che la massa dell'uranio sia infinita, e quindi che il decremento logaritmico medio sia
ξ=0.
La densità di collisione, vale a dire il numero totale di eventi di scattering e di
assorbimento subiti dai neutroni aventi energia E per cm3 per sec e per unità di
energia sarà, in questo caso,
F(E) ≡ (Σ a + Σ s )φ(E )
dove Σa è la sezione d'urto macroscopica di assorbimento dei neutroni di energia E,
mentre Σs quella di scattering. La densità di collisione è quindi la somma di quella di
assorbimento, Σ a φ(E) , e quella di scattering, Σ s φ(E) .
Nello stato stazionario, il numero di neutroni scatterato in un elemento di energia dE,
come risultato di eventi di scattering con i nuclei d'idrogeno, è eguale a numero dei
neutroni scatterati fuori da questo elemento, più il numero dei neutroni assorbiti.
Assumiamo che Q sia il numero di neutroni rilasciati dalla sorgente uniformemente
nel mezzo, per cm3 per sec, ad energia Eo. Se l'assorbimento dei neutroni di sorgente
non è apprezzabile si può in questo caso facilmente dimostrare, con un procedimento
analogo a quello seguito per il caso di solo idrogeno moderatore, che in condizioni
stazionarie la densità di collisione è data dall'espressione
1
Q
+
F(E) =
Eo
Eo
∫
E
Σs
F(E ' )dE'
Σa + Σs
E'
(6.1)
Se l'assorbimento dei neutroni di sorgente non è trascurabile, il primo termine a
Σs
dove le sezioni d'urto sono
destra della (6.1) deve essere moltiplicato per
Σa + Σs
relative all'energia Eo dei neutroni di sorgente. Supporremo qui che tale fattore sia
praticamente unitario, dato che gli assorbimenti neutronici diventano apprezzabili ad
energie distanti da quelle dei neutroni di sorgente.
Per risolvere la (6.1), si opererà come in precedenza differenziando entrambi i
membri rispetto ad E. Si otterrà
Σs
dF(E )
F(E)
=−
.
dE
Σa + Σs E
(6.2)
Σs
è naturalmente funzione dell'energia. Riarrangiando ed
Σa + Σs
integrando, la (6.2) diventa
La quantità
F( E o )
−
∫
F( E )
dF(E ' )
=
F(E' )
Eo
∫
E
Σs
dE'
Σ a + Σ s E'
ossia
F(E )
ln
=
F(E o )
Eo
∫
E
Σs
dE'
Σ a + Σ s E'
.
Le condizioni al contorno si otterranno dalla (6.1), ponendo E eguale ad Eo. Si ottiene
F(E o ) =
Q
.
Eo
Si ha pertanto
Eo
∫
Q
F(E) =
eE
Eo
Σ s dE '
Σ a + Σs E '
(6.3)
.
2
Poiché
Σs
Σa
=1−
Σa + Σs
Σa + Σs
la (6.3) potrà riscriversi nella forma
Σ a dE '
E Σ a + Σs E '
Eo
Q
F(E) =
e
E
− ∫
(6.4)
Il termine esponenziale è chiamato "probabilità di fuga dalle risonanze", quantità
denotata p(E). Tale notazione sarà chiarita nel seguito.
Nell'idrogeno la densità di rallentamento q(E), all'energia E, in condizioni stazionarie
è ottenuta con una procedura analoga a quella adottata per il caso di mezzo idrogeno
senza assorbimento (v. (5.13)). Si ottiene facilmente
Eo
Σs
F(E ' )
QE
q=
dE ' .
+E
Eo
Σ a + Σ s E'
∫
E
Confrontando questa equazione con la (6.1), si ha
q(E) = EF(E)
Usando l'espressione di F(E) data dalla (6.4) si ha infine
Σ a dE '
E Σ a + Σs E '
Eo
q(E) = Q e
− ∫
(6.5)
La probabilità che un neutrone sfugga alle catture nel processo di rallentamento
dall'energia Eo ad E, cioè la probabilità di fuga dalle risonanze p(E) per neutroni di
energia E, sarà data dal rapporto tra la densità di rallentamento ad E nel mezzo con
assorbimento e la densità di rallentamento nello stesso mezzo in assenza di
assorbimento.
La densità di rallentamento q(E) con assorbimento è data dalla (6.5), mentre, in
assenza di catture neutroniche, la densità di rallentamento sarà data da Q. Quindi si
ottiene
3
Σ a dE '
E Σ a + Σs E '
Eo
q(E)
=e
p( E ) =
Q
− ∫
(6.6)
che giustifica la denominazione di "probabilità di fuga dalle risonanze" data al
termine esponenziale.
Rallentamento in mezzi con nuclei di massa atomica maggiore dell'unità
Nel caso generale di mezzi in cui sia presente un moderatore formato da nuclei di
massa superiore all'unità, il calcolo della densità di collisione e della probabilità di
fuga dalle risonanze non può essere espresso in forma analitica nel caso generale in
cui non si sia posta alcuna restrizione sulla variazione della sezione d'urto di
assorbimento con l'energia. Inoltre, come si era visto in precedenza, in un moderatore
in cui il numero di massa ecceda l'unità, l'energia minima di un neutrone dopo la
prima collisione è αEo. Per la valutazione della densità di collisione, o la densità di
rallentamento, i neutroni nell'intervallo di energia tra Eo e αEo devono essere quindi
di nuovo trattati separatamente da quelli ad energie inferiori a αEo, come nel caso di
mezzi non assorbenti
Nel considerare la cattura di risonanza dei neutroni in un reattore nel loro processo di
rallentamento, per esempio in una miscela di uranio e grafite, o berillio, l'energia dei
neutroni di fissione risulta elevata rispetto alle zone in cui le catture di risonanza
diventano importanti. E' necessario quindi in questo caso determinare la condizione
di equilibrio solo per energie E<<αEo, dove Eo rappresenta il limite inferiore del
range energetico in cui nascono i neutroni di fissione.
Per il caso generale di un sistema contenente N tipi diversi di nuclei, alcuni dei quali
possono essere anche assorbitori, la densità di collisione in condizioni stazionarie
sarà data dalla espressione
F(E) =
N E / αi
∑ ∫
i =1
E
Σ si
Fi (E' )
dE' .
Σ a + Σ s E ' (1 − α i )
(6.7)
Questa espressione corrisponde alla (5.20) relativa ad un moderatore analogo in
assenza di assorbimento.
Una soluzione esatta della (6.7) per E<<αEo può essere ottenuta nel caso (triviale) di
sezioni d'urto costanti. Questo implicherebbe innanzitutto l'assenza di assorbimento
di risonanza e quindi ha scarso valore pratico. Soluzioni asintotiche possono essere
ottenute anche in altri casi, per esempio, per sezioni d'urto di cattura variabili
lentamente, per catture con andamento 1/v, o per risonanze molto spaziate tra loro.
4
Piuttosto che valutare la densità di collisione, è di maggior interesse determinare la
probabilità di fuga dalle risonanze p(E). Nel seguito sono trattati tre casi importanti:
a) una serie di risonanze ben separate l'una dall'altra;
b) sezioni d'urto di cattura lentamente variabili con l'energia;
c) cattura molto debole.
Probabilità di fuga dalle risonanze con risonanze ben separate
Si era visto in precedenza, nel trattamento dello scattering in assenza di assorbimento,
con nuclei di massa superiore all'unità, che nella zona di energia da Eo (energia dei
neutroni di sorgente) fino a valori dell'ordine di α3Eo, la densità di collisione dei
neutroni oscilla, tali oscillazioni attenuandosi fino al raggiungimento di un valore
costante per energie inferiori a α3Eo.
L'effetto di una risonanza stretta1 è simile alla presenza di una sorgente negativa. Essa
produce fluttuazioni della densità di collisione nell'intervallo dalla energia di
risonanza, Er, fino a circa α3Er.
Lo stesso può dirsi in termini di letargia. Se ur è la letargia corrispondente a Er,
ed u è posta equivalente a α3Eo, si può scrivere
u r = ln
Eo
Er
u = ln
Eo
α3E r
.
Di conseguenza il range di letargia in cui avvengono le oscillazioni di F(u)
corrisponde a
u − u r = 3 ln
1
.
α
Lo smorzamento delle fluttuazioni della densità di collisione dovute alla presenza di
risonanze avverrà quindi quando la perdita di letargia del neutrone è maggiore di tale
intervallo.
In presenza di una seconda risonanza ad energia inferiore, il numero dei neutroni
catturati in questa risonanza dipenderà dalla distanza dalla prima. Se la distanza dalla
1
unità di letargia, o più, la cattura nella seconda risonanza sarà
prima è di circa 4 ln
α
1
Si parla di risonanza stretta allorché la sua larghezza (∆E) è molto inferiore al decremento logaritmico medio.
5
indipendente da tale distanza, avendo la funzione F(u) raggiunto un valore costante. Il
numero di neutroni scatterati in questa seconda risonanza sarà quindi costante,
indipendentemente dalla sua energia.
Il ragionamento che segue si applica solo ai casi in cui le risonanze siano strette, tali
da poter consentire di definire l'assorbimento di risonanza come occorrente, più che
entro un range energetico, ad una energia data. In questo caso si parla di "righe di
risonanza".
Assumendo che le righe di risonanza siano sufficientemente spaziate, in modo che la
1
densità di collisione per unità di letargia sia costante in un intervallo di almeno ln
α
prima di ciascuna risonanza, una espressione semplificata e non rigorosa può essere
ottenuta, come illustrato nel seguito.
Si assume infine che le risonanze si trovino nella zona asintotica, cioè Er<<αEo, in
modo che le fluttuazioni della densità di collisione provocate dai neutroni di sorgente
risultino smorzate.
Definiamo con E1 l'energia corrispondente alla prima risonanza e con ∆E1 la
larghezza della sua banda di energia. Nell'ipotesi sopra indicata, la densità di
collisione F(u) sarà costante per energie comprese tra E1/α ed E1.
Il numero di neutroni catturati nell'elemento ∆E1 per cm3 per sec è Σ a φ(E 1 )∆E 1 ,
dove φ(E1) rappresenta il flusso neutronico ad energia E1 per unità di energia.
In assenza di assorbimento, il numero di neutroni scatterati dentro l'intervallo
energetico ∆E1 sarebbe eguale al numero di quelli scatterati fuori, cioè
Σ s φ n (E 1 )∆E 1
dove φn è il flusso neutronico senza catture..
In presenza di assorbimento, il numero di neutroni scatterati in ∆E1 deve essere
eguale al totale dei neutroni persi dallo stesso elemento ∆E1 , vale a dire:
- Σsφ(E1)∆E1 (numero dei neutroni scatterati fuori)
- Σaφ(E1)∆E1 (numero di neutroni assorbiti)
Poiché il numero dei neutroni scatterati entro l'intervallo ∆E1 è lo stesso sia nel caso
di un mezzo con catture che nel caso senza, si potrà scrivere l'equazione di bilancio
6
Σ s φ n (E 1 )∆E 1 = (Σ s + Σ a )φ(E 1 )∆E 1
(6.8)
Ricordando la prima delle (5.23), si potrà scrivere
φ n (E1 ) =
Q
.
_
ξ Σ s E1
Sostituendo nella (6.8) si ha
φ(E 1 )∆E 1 =
Q
_
ξ (Σ s + Σ a )
∆E 1
.
E1
La probabilità che i neutroni vengano catturati in ∆E1 è
Σ a φ(E 1 )∆E 1
=
Q
Σa
_
ξ(Σ s + Σ a )
∆E 1
.
E1
Quindi la probabilità p1 che i neutroni sfuggano la cattura nella prima risonanza è
p1 = 1 −
Σa
_
ξ(Σ s + Σ a )
∆E 1
.
E1
(6.9)
Consideriamo quindi la seconda risonanza, ad energia E2, di larghezza ∆E2. Come
supposto all'inizio, la distanza tra le risonanze è tale che la densità di collisione F(u) è
praticamente costante in prossimità della seconda risonanza. Il flusso neutronico per
unità di energia in un mezzo simile senza assorbimento, indicato come φn(E2), è
eguale alla forma asintotica già trovata, moltiplicata per p1. Si ha pertanto
φ n (E 2 ) =
p1Q
_
.
ξ ΣsE2
Ricordando la (6.9), la probabilità p2 che i neutroni della sorgente sfuggano le prime
due risonanze sarà



Σa
Σa
∆E 1  
∆E 2 

p2 = 1 − _
1−
.

E2 
E1   _
 ξ(Σ s + Σ a )
  ξ(Σ s + Σ a )

7
In generale, per n risonanze, si potrà scrivere
pn =
n
∏
i =1


Σa
∆E i 
1 −
 _
E .
 ξ(Σ s + Σ a ) i 
Si potrà anche scrivere


Σa
∆E i 

ln p n =
ln 1 − _

E  .
i =1
 ξ(Σ s + Σ a ) i 
n
∑
(6.10)
Se il secondo termine in parentesi è molto piccolo rispetto all'unità, il che accade nel
caso che
_
∆E i << ξ E i ,
ossia per risonanze strette, l'espressione logaritmica a destra della (6.10) può essere
espansa, omettendo i termini di ordine superiori al primo. Si ottiene così
ln p n ≈ −
Σa
n
∑_
i =1
ξ( Σ s + Σ a )
∆E i
Ei
(6.11)
La probabilità di fuga dalle risonanze può essere scritta in una forma integrale,
analoga alla (6.6) per il caso di moderatore idrogeno, se l'intera zona di risonanza si
suppone divisa in m bande energetiche contigue di larghezza ∆Εj. Nelle zone tra due
risonanze si intende che Σa è zero. Si ha così
−
n
Σa
i =1
ξ(Σ s + Σ a )
∑_
m
∆E i
=−
Ei
j=1
Σa
∆E j
ξ( Σ s + Σ a )
Ej
∑_
e quindi, dalla (6.11),
Σa
∆E j
ξ(Σs + Σ a )
Ej
m
−∑
p(E) = lim e
j=1
_
m →∞
8
ossia
−
p( E ) = e
Eo
∫
E
Σa
_
ξ(Σs +Σ a )
dE '
E'
.
(6.12)
Questa è la forma in cui la probabilità di fuga dalle risonanze viene frequentemente
espressa. Salvo che nel caso del moderatore idrogeno con un assorbitore pesante, essa
è applicabile solo al caso di risonanze strette e distanziate. Per una miscela di
_
idrogeno ed elementi pesanti, ξ è eguale all'unità e quindi si riduce alla forma esatta
(6.6).
Da notare che, anche se la sezione d'urto di assorbimento diventa infinitamente
grande in un intervallo limitato, l'integrale nella (6.12), e quindi la probabilità di fuga
dalle risonanze, rimangono finite. Consideriamo, ad esempio, il caso in cui Σ a → ∞
In un intervallo di energia da E1 ad E2. , dove Eo>E1>E2 , e sia zero altrove. Poichè in
Σa
questo caso il rapporto
può essere assunto eguale a uno, la (6.12) diventa
Σa + Σs
p( E ) =
E1 1 dE '
− ∫
ξ E'
e E2
1
 E2  ξ
 .
= 
E
 1
La probabilità di fuga dalle risonanze quindi rimane finita (e non zero) anche nel caso
di sezioni d'urto di assorbimento infinite. Questo risultato è una diretta conseguenza
del fatto che una certa frazione di neutroni salta le risonanze attraverso le collisioni
elastiche di scattering. Per il moderatore idrogeno questo fatto è evidente. Per
moderatori più pesanti, questa eventualità è legata a quanto le risonanze sono
_
distanziate ed a quanto sono strette in rapporto al decremento logaritmico medio ξ .
9