La legge di reciprocità dei residui quadratici
a cura di Flavio Cimolin
(pagina a cura di Marco Frigerio)
(ultimo aggiornamento: 22/10/2005)
La legge di reciprocità di Gauss dei residui quadratici è una fra le più strane ed affascinanti formule
della teoria dei numeri (l'area della matematica che si concentra sui numeri interi). Essa è bella
perché, tra l'altro, è dotata di perfetta simmetria, ma è anche utile per verificare se una particolare
equazione diofantea di secondo grado ha soluzione. Siano a e b numeri primi dispari, allora vale:
Cerchiamo di spiegare a chi non conosca i fondamenti della teoria dei numeri che cosa significano i
simboli presenti a primo membro nella formula, iniziando dalla definizione di residuo quadratico.
L'equazione x² ≡ q (mod p), se p è un numero primo dispari e 0 < q < p, possiede (in modulo p) 2 o
0 soluzioni, a seconda dei valori di q, p. Nel primo caso si dice che q è un residuo quadratico di p,
nel secondo caso che q è un non-residuo quadratico di p.
Per esempio, se q = 3 e p = 7, otteniamo l'equazione: x² ≡ 3 (mod 7), che non ammette soluzioni
intere, come si può facilmente verificare per sostituzione, utilizzando tutti i valori interi 0 < x < 7,
elevando al quadrato, dividendo per 7 e verificando che non si ottiene mai 3 come resto. Per le
proprietà delle congruenze, nessun altro valore intero di x può soddisfare l'equazione data.
Viceversa, se avessimo q = 3 e p = 11, otterremmo l'equazione x² ≡ 3 (mod 11), che ammette
infinite soluzioni intere x = 11n ± 5 per ogni n intero (x = 5 e x = 6 se ci limitiamo a considerare 0 <
x < 11).
La legge di reciprocità di Gauss permette di sapere quando è risolubile l'equazione x² ≡ a (mod b)
una volta noto se sia o no risolubile l'equazione x² ≡ b (mod a). Introducendo il simbolo di
Legendre, poniamo (a/b) = 1 se è risolubile la prima equazione e (a/b) = -1 se non lo è. Analogamente
useremo (b/a) per la seconda equazione. L'importanza della legge consiste nel legame tra la
risolubilità o meno delle due equazioni in questione.
E' importante notare che la legge di reciprocità non spiega come trovare i valori di x, ma solo se
esistono tali valori oppure no. Una volta appurato che esistono, occorre eseguire ulteriori calcoli per
trovarli materialmente.
Ad esempio, per risolvere x² ≡ 5 (mod 61) devo prima calcolare il valore del simbolo di Legendre
(5/61). Dalla legge di Gauss sappiamo che (5/61) (61/5) = (-1)60 = 1, ma (61/5) = (1/5) = 1, perché 1=1² è
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Flavio Cimolin – La legge di reciprocità dei residui quadratici
sempre residuo quadratico e 61 ≡ 1 (mod 5). Sostituendo in (5/61)(61/5) = 1 troviamo (5/61) = 1, quindi
x² ≡ 5 (mod 61) ha soluzioni. Con un appropriato algoritmo possiamo poi trovare esplicitamente x =
±26 (mod 61), cioè x = 61n ± 26.
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