1 Meccanismo di funzionamento della membrana cellulare

SVILUPPO DI MODELLI NUMERICI PER L’ANALISI
DELL’INTERAZIONE FRA CAMPI ELETTROMAGNETICI
E TESSUTI BIOLOGICI
Resoconto triennale delle attività
Dottorato di ricerca XV Ciclo
Gianluca Emili
Relatori:
Prof. Roberto Sorrentino
Ing. Andrea Schiavoni, Telecom Italia Lab
Coordinatore:
Prof. Michele La Cava
La crescente diffusione dei mezzi di comunicazione radiomobile crea un notevole interesse per
l’interazione fra campo elettromagnetico (EM) e i tessuti biologici. Il bisogno di stabilire precisi standard di
sicurezza per regolare l’esposizione umana ai campi EM ha portato allo sviluppo di diversi filoni di ricerca al
fine di descrivere i differenti aspetti del problema, a vari livelli di definizione: livello di tessuto, di cellula e ionico.
Di solito a livello di tessuto non viene tenuta in considerazione l’interazione cellulare; a livello cellulare e subcellulare non viene tenuta in considerazione la presenza di cellule vicine e la distribuzione di campo all’interno
del tessuto. Lo scopo del lavoro svolto durante il dottorato è stato calcolare il campo elettromagnetico
all’interno di un tessuto, composto da cellule eccitabili elettricamente, attraverso il metodo FDTD
1 Meccanismo di funzionamento della membrana cellulare
La membrana plasmatica, che avvolge ogni cellula, ne definisce l’entità e mantiene le differenze essenziali
fra l’interno e l’ambiente esterno (ad es. le concentrazioni di alcuni tipi di ioni), dove è collocata la cellula stessa.
Essa costituisce, tuttavia, qualche cosa di più che una semplice barriera passiva: la sua funzione è anche quella
di filtro molto selettivo che mantiene dalle due bande concentrazioni ineguali di ioni tra esterno ed interno e lascia
entrare le sostanze nutritive, facendo fuoriuscire le molecole di “rifiuto” dell’attività cellulare.
Le membrane biologiche, compresa quella plasmatica, sono costituite di aggregati di molecole lipidiche e
proteiche tenute insieme da interazioni non covalenti. La disposizione delle molecole lipidiche è quella a doppio
strato dello spessore di 4-5 nanometri. Questo doppio strato lipidico, assicura la struttura fondamentale della
membrana e funge da barriera, relativamente impermeabile nei confronti del flusso della maggior parte delle
molecole idrosolubili. Le molecole proteiniche sono “disciolte” nel doppio strato lipidico e vi svolgono le diverse
funzioni della membrana; altre ancora fungono da collegamento strutturale fra il citoscheletro della cellula e la
matrice extracellulare, ovvero agiscono da recettori per captare e trasdurre i segnali chimici provenienti
dall’ambiente esterno.
A riposo (quando, cioè, la membrana non è sottoposta a stimoli elettrochimici dall’esterno), la membrana
non è elettricamente neutra, infatti ha sulle sue facce un differenza di potenziale che può variare fra i 20 e 200 mV
(positiva verso l’esterno) dovuta principalmente a due fenomeni:
+
+
• la presenza di una pompa Na -K , che incessantemente scambia, fra interno ed esterno della cellula, ioni
sodio con ioni potassio (nella tabella successiva sono riportati dei valori tipici delle concentrazioni intra- ed extracellulari di queste due sostanze);
• presenza di varie classi di proteine, che sono “disciolte” nel doppio strato lipidico e fungono tra le altre cose da
canale, cioè fanno passare - attraverso la membrana - ciascuna una particolare categoria di ioni.
Le proteine canale si occupano del trasporto passivo di selezionati tipi di ioni (ci sono canali per gli ioni
sodio, canali per il potassio, per il calcio, etc.). Tali canali possono essere, in prima approssimazione, o aperti o
chiusi: se il canale è chiuso, viene inibito il passaggio degli ioni attraverso la membrana, se il canale è aperto è
possibile il passaggio da parte di uno ione da una parte all’altra della membrana. L’apertura di un canale è diretta
conseguenza dell’apertura (mediante particolari molecole d’attivazione) dei gate che lo costituiscono.
L’attraversamento di uno ione da una parte all’altra della membrana fa sì che in una porzione microscopica di
essa si registri un passaggio di corrente.
Il funzionamento di questi canali proteinici può essere schematizzato mediante una macchina a stati finiti, le
cui transizioni fra lo stato APERTO e lo stato CHIUSO sono regolate da processi aleatori e la probabilità di
passare da uno stato ad un altro (tasso di transizione) è dipendente dalla tensione applicata ai capi del canale.
2
Da quanto detto, quindi, si può desumere che è possibile modellare un singolo canale con una conducibilità
variabile (con una legge di tipo statistico) con la tensione associata; il numero di canali che si trovano in una
1
membrana cellulare può essere dell’ordine dei milioni, pertanto, sfruttando la legge dei grandi numeri si può
descrivere il comportamento elettrico della membrana con delle leggi deterministiche, che si concretizzano in veri
e propri circuiti equivalenti.
Le caratteristiche elettriche della membrana possono essere studiate a vari livelli, a seconda del grado di
risoluzione spaziale che si vuole raggiungere; esistono dei modelli che analizzano l’interazione fra campo
elettromagnetico e la probabilità che uno ione sia adsorbito da un sito recettore (livello di risoluzione ionico;
modello di Zeeman-Stark, [12]); altri che studiano il comportamento statistico dei canali mediante
rappresentazione con una macchina a stati finiti di Markov (livello di canale) [9], [10], [11] ed infine modelli che
danno conto del comportamento elettrico globale della membrana, mediante la rappresentazione sotto forma di
circuito equivalente: Hodgkin & Huxley e Connor & Stevens (livello di membrana) [6], [7], [8].
2 Il modello d’interazione Hodgkin-Huxley tra membrana cellulare e campi
elettromagnetici
Storicamente, il primo modello che descrive la corrente di membrana (mediamente nulla a riposo: il flusso di
carica netto attraverso la membrana è nullo) al variare della tensione transmembranale (perpendicolare alla
membrana stessa) venne dato nel 1952 da Hodgkin e Huxley (HH) ([6-7]), analizzando l’assone del calamaro
gigante
Il modello elettrico della membrana è riportato in figura 1: l’intera membrana è schematizzata da un circuito
equivalente, costituito da resistori non lineari (tengono conto, ciascuno, di diversi gruppi di canali con stesse
caratteristiche), generatori di tensione (ciascuno tiene conto del contributo dato da ogni tipologia di canale al
potenziale di riposo della membrana) e una capacità (tiene conto di due distribuzioni di carica opposte, affacciate
sui due lati della membrana).
Figura 1: modello elettrico di Hodgkin & Huxley
Le equazioni che descrivono questo modello sono riportate in [6].
3 Implementazione e convalida del modello HH
Dopo la panoramica fatta nel capitolo precedente, è lecito chiedersi quali caratteristiche debba avere un
metodo matematico affinché sia adatto a simulare l’interazione di campi elettromagnetici con le strutture cellulari.
Schematicamente:
Una gran collezione di eventi statistici con le stesse caratteristiche e correlati fra di loro sono descrivibili, con
buon’approssimazione, con una legge di tipo deterministico direttamente ricavabile dalla legge statistica
1
3
•
dovrà essere in grado di modellare delle geometrie complesse, quali sono quelle cellulari;
• dovrà risolvere le equazioni di Maxwell, nello spazio e nel tempo in maniera accurata ed efficiente allo stesso
tempo
• dovrà essere in grado di poter incorporare un modello di comportamento elettrico della membrana cellulare,
che qualunque esso sia si compone di equazioni non lineari.
La tecnica numerica che maggiormente si adatta ai requisiti precedenti è la FDTD [1-2]. Negli anni ’90 poi è
stata mostrata la possibilità di inserire circuiti a costanti concentrate -lineari e non lineari: tecnica LE (Lumped
Elements) - FDTD, [14] - nel metodo e quindi simulare problemi elettromagnetici più complessi. Tenendo ben in
mente che la membrana può essere descritta con un circuito equivalente, si può sfruttare tale capacità per
simulare le caratteristiche elettromagnetiche e geometriche di una cellula, incluse le leggi che regolano il
funzionamento della membrana.
Tutte le cellule che hanno membrane elettricamente eccitabili sono rappresentabili mediante circuiti
equivalenti; una buona base di partenza, sia per la sua semplicità sia per il fatto che ormai è piuttosto assodato, è
il circuito equivalente HH. Questo circuito vale quando si vuole rappresentare tutta la membrana cellulare: la
supposizione che noi abbiamo fatto è che se si considera una piccola parte di membrana (tale, in ogni modo, da
contenere un numero di canali che consenta di applicare la legge dei grandi numeri), sussiste ancora la possibilità
di rappresentarla localmente mediante il modello HH.
Questa supposizione ci permette di poter sfruttare il metodo LE-FDTD per modellare la membrana cellulare:
infatti, qualunque geometria, per essere trattata mediante il metodo FDTD deve essere discretizzata in
parallelepipedi (nello spazio le equazioni di Maxwell vengono discretizzata mediante una griglia di tipo cartesiano);
l’idea è quindi quella di associare a ciascuna cella elementare che appartiene alla membrana un circuito HH.
Modellando poi il citoplasma e l’ambiente esterno alla cellula con le caratteristiche di costante dielettrica e
conducibilità tipiche, si può ottenere un primo modello del comportamento elettromagnetico di una cellula.
Ovviamente i valori caratteristici dei parametri dell’equazione HH, saranno diversi secondo il tipo di cellula che si
sta trattando (pelle, muscoli, ecc) e sicuramente diversi da quelli calcolati da Hodgkin & Huxley, negli anni ’50, per
l’assone del calamaro gigante; in prima approssimazione abbiamo ritenuto tali valori validi per sviluppare il
metodo.
A questo punto, avendo scelto la tecnica di simulazione e il modello da utilizzare per descrivere il
comportamento della membrana, si è provveduto ad implementare nel metodo FDTD, seguendo la tecnica LEFDTD, riportata in [6] il modello circuitale HH linearizzato (il punto di polarizzazione prescelto per l’estrazione del
modello linearizzato e’ stato Vm=Vr, dove Vr rappresenta il valore a riposo della tensione di membrana).
4 Convalida del modello implementato
Per provare che il modello fosse stato inserito correttamente nell’algoritmo FDTD, è stato creato un dominio
di simulazione cubico (30 x 30 x 30 celle cubiche, ciascuna con lato pari a 10 cm) racchiuso in pareti assorbenti di
tipo Mur 2; all’interno del dominio di simulazione è stato inserito, nello spigolo giacente sull’asse x della cella di
posizione (Z, Y, X)=(10,10,10), il modello circuitale HH. Tale circuito posto nel vuoto si comporta come se fosse
chiuso su di un circuito aperto, pertanto siamo in grado di calcolare analiticamente il valore di potenziale che si
stabilisce, a regime, ai capi del bipolo che stiamo testando.
La simulazione è stata effettuata con celle di 10 cm (che non sono certo dimensioni paragonabili con quelle
cellulari) poiché in tale maniera si aveva a che fare con tempi di simulazione veloci. D’altro canto, la bontà di
questo test non viene inficiata da questa scelta, grazie alla linearità di tutto il sistema (FDTD + Modello circuitale
HH linearizzato)
Imponendo la corrente nulla (I=0) nella equazione costitutiva del modello HH e azzerando la derivata
temporale (si vuole calcolare il valore della tensione a regime), si ha che il potenziale V ai capi del bipolo sarà:
4
(1)
g n4V + g m3hV + g
V
k Na
Na leak leak
V = k
R
4
3
g n +g m h+ g
k
Na
leak
Utilizzando i valori riportati in [6], si ottiene:
Vr = 60.27 mV
(2)
I risultati della simulazione (effettuata ponendo Cm=0, per accelerare il transitorio) dà i risultati riportati in
figura 2a
Confronto fra tensioni
Confronto fra tensioni
0 .07
0.07
0.065
0 .06
0.06
0 .05
0.055
FDTD
Analitico
0.05
Cam p o E iniziale n u llo
Cam p o E iniziale a reg im e
0 .04
V
V 0.045
0 .03
0.04
0 .02
0.035
0.03
0 .01
0.025
0.02
0
10
20
30
40
50
Numero di campioni
60
70
80
0
5 00
1 00 0
1 50 0
2 00 0 2 50 0 3 00 0
Num ero di cam p ion i
3 50 0
4 00 0
4 50 0
5 00 0
a)
b)
Figura 2: a) transitorio del potenziale di membrana; b): confronto fra tensioni di membrana con diverse condizioni
iniziali
La prova è stata fatta ponendo la capacità Cm a 0, in modo da accelerare il transitorio. Un altro metodo per far
si che il dipolo, inserito nell’algoritmo FDTD, lavori da subito in regime permanente è utilizzare come campo
elettrico iniziale il valore di regime statico, calcolabile analiticamente
Per mostrare la validità di questo approccio, abbiamo posizionato il dipolo che rappresenta il circuito del modello
HH al centro del dominio di simulazione usato in precedenza. La struttura è stata irradiata con un onda piana a
frequenza f=10MHz; sono, quindi, state effettuate due simulazioni con due diverse condizioni iniziali di campo
elettrico sul dipolo: una con E = 0, l’altra con
E=
0.06027
[V/m], che è il valore di campo in regime statico. I
∆s
risultati delle 2 simulazioni sono riportati in figura 2b; come si può notare nel secondo caso il sistema non ha
nessun tipo di transitorio dovuto alla presenza della capacità.
Dai risultati delle prove descritte in questo capitolo si è ritenuto che il modello HH della membrana fosse stato
inserito correttamente nell’algoritmo FDTD; pertanto, si è passati a fare delle prove più mirate, in modo da
avvicinarsi alla simulazione della cellula.
5 Simulazioni di strutture cellulari
La prima prova che è stata effettuata riguarda un dominio di simulazione cubico suddiviso in 120x120x120
celle con ∆s = 1 µm racchiuso da condizioni di assorbimento di tipo Mur 2; al suo interno e’ stato collocato un
guscio sferico di 50 µm di raggio: in tutte le celle del guscio sferico (circa 30000) è stata inserita la rete circuitale
che rappresenta il modello HH, mentre all’interno e all’esterno della sfera c’è il vuoto. Il primo obiettivo che si
voleva raggiungere era quello di vedere se il tutto risultasse stabile e se la membrana si polarizzasse intorno al
valore di potenziale di 0.06027 V.
In figura 3 viene riportato il massimo modulo del campo elettrico su di una sezione della struttura e l’andamento
temporale del potenziale nella cella centrale della struttura.
5
V/m
Figura 3: campo elettrico massimo su di una sezione della sfera che rappresenta la cellula
Ciò che ci si aspetta, a regime, è un potenziale pari a 60 mV sulla membrana e un campo nullo all’interno
della sfera. Da un’ispezione visiva della figura 10 si nota che il campo massimo all’interno della cellula è diverso
da 0. La figura 4a ci mostra come la tensione sulla cella centrale della struttura abbia un transitorio con un
andamento pseudo-periodico, assumendo poi l’aspetto di un rumore di fondo a potenza costante. In questo
senso, è stata fatta la supposizione che il rumore di fondo che si riscontra fosse di natura numerica (a parziale
sostegno, vi è anche il fatto che all’interno della cellula i massimi locali di campo si riscontrano lungo le linee di
simmetria della struttura, cioè la potenza del rumore rispetta le simmetrie del dominio di simulazione) e per
chiarire meglio tale aspetto si è deciso di analizzare la FFT del segnale, riportata in figura 4b.
F F T d e lla t e n s io n e d e lla c e lla c e n t ra le
Tensione al centro della cella
0.2
4
3.5
0.15
3
0.1
2.5
0.05
2
V
0
1.5
-0.05
1
-0.1
0.5
-0.15
0
-0.2
0
1000
2000
3000
4000
Numero di campioni
5000
0
2
4
6
8
F re q u e n z a (H z )
10
12
14
x 10
13
6000
a)
b)
Figura 4: a) andamento temporale della tensione al centro della struttura; b) andamento della FFT al centro della
struttura
Facilmente si riconoscono delle armoniche multiple di un tono a 6000 GHz, che corrisponde alla lunghezza
d’onda λ = 50 µm, che è pari al raggio della cellula simulata. Ciò fa pensare che il livello di campo che si presenta
all’interno della cellula sia spurio, in quanto dovuto a motivi numerici. La dimostrazione della correttezza di tale
affermazione è nel fatto che tale rumore numerico è deterministico, in quanto mandando 2 simulazioni una senza
eccitazione un’altra con lo stesso dominio di simulazione eccitato con un’onda piana di ampiezza 100 V/m a 1.8
GHz e facendo la differenza fra i due risultati, si riesce ad ottenere un segnale nitido a 1.8 GHz. La figura 5 mostra
la differenza fra i 2 segnali rumorosi
6
Componente x del campo elettrico nel centro della cella
40
30
20
V/m
10
0
-10
-20
-30
-40
0
0.5
1
1.5
2
Numero di campioni
2.5
3
3.5
4
x 10
Figura 5: segnale “ripulito” dal rumore numerico
5.1
Analisi di tessuti
Floquet
Floquet
I risultati ottenuti sin qui ottenuto hanno permesso di simulare strutture maggiormente complesse, quali i
tessuti biologici. Tali tipi di simulazioni sono state possibili anche grazie all’utilizzo di particolari condizioni di
assorbimento: le PBC, Periodic Boundary Conditions, che permettono di simulare delle strutture che hanno delle
periodicità nello spazio [16].
X
Floquet
Floquet
Floquet
Floquet
Y
Figura 6: disegno schematico della struttura simulata
Z
Le condizioni di assorbimento poste alla fine del dominio sono di tipo Mur 1, mentre negli altri 4 piani che
racchiudono la struttura si hanno delle pareti di tipo PBC: ciò fa sì che la struttura sia periodica sia lungo x che
lungo y.
Le simulazioni sono state realizzate utilizzando delle sfere che avessero le stesse caratteristiche elettriche
(conducibilità e costante dielettrica) dell’acqua alla frequenza scelta per la simulazione; tali sfere, poi, sono state
ricoperte di un guscio avente le caratteristiche elettriche della membrana. La struttura è stata eccitata con un’onda
piana incidente dalla zona contenente l’aria e di ampiezza 100 V/m.
Nella tabella seguente sono riportate le caratteristiche elettriche dei materiali utilizzati per la simulazione
Tabella 1: caratteristiche elettromagnetiche dei mezzi simulati
Acqua @ 900 MHz
Acqua @ 1800 MHz
Membrana
Conducibilità
[S/m]
0.173
0.66
13⋅10-9
7
Permettività
78.24
77.59
6.0
Di seguito sono riportati alcuni grafici, che mostrano il modulo del campo e su una linea passante per i
centri delle sfere e su alcune sezioni (in scala logaritmica).
Figura 7: 900 MHz, modulo del campo elettrico sul piano zx (scala logaritmica)
20
70
18
Electric field [V/m]
Electric field [V/m]
60
50
40
30
20
16
14
12
10
8
6
10
4
1900
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
µm]
Distance from the surface of the tissue [µ
1990
2000
µm]
Distance from the surface of the tissue [µ
a)
b)
Figura 8: f= 900 MHz, penetrazione del campo elettrico lungo l’asse z
Figura 9: f=1800 MHz, modulo del campo elettrico sul piano zx (scala logaritmica)
Un altro set di simulazioni è stato fatto considerando la stessa struttura mostrata in precedenza, irradiata
però, da un’onda piana con campo elettrico polarizzato con un angolo di 45 gradi rispetto all’asse x. Di seguito
sono mostrati i risultati.
Figura 10: f=1800 MHz, modulo del campo elettrico sul piano zx (scala logaritmica, polarizzazione 45°)
8
80
80
70
70
30
Relative Difference
20
50
Electric field [V/m]
50
10
40
40
0
30
30
-10
20
20
-20
10
10
-30
0
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-40
450
550
Relative difference [%]
60
Electric field [V/m]
60
40
Φ=45°
Φ=0°
475
500
525
550
µm]
Distance from the surface of the tissue [µ
Distance from the surface of the tissue [µ
µm]
a)
b)
Figura 11: a) f=1800 MHz, penetrazione del campo elettrico lungo l’asse z (polarizzazione a 45°);
b) f=1800 MHz, confronto fra 2 diverse polarizzazioni di campo
Infine, sono stati fatti alcuni confronti con delle simulazioni fatte con le stesse modalità delle precedenti
sulla stessa struttura, senza però implementare il modello HH sulla superficie delle cellule. Il confronto fra i 2 tipi di
simulazione è riportato di seguito.
250
With HH model
Without HH model
Difference
60
200
150
40
100
30
50
20
0
10
-50
Electric field [V/m]
50
0
Difference [%]
70
-100
0
20
40
60
80
100
120
µm]
Distance from the surface of the tissue [µ
140
160
Figura 12: f=900 MHz, confronto fra varie simulazioni
Visti i vari risultati riportati nelle pagine precedenti si possono fare alcune osservazioni:
• Il campo non è uniforme all’interno del tessuto
• L’applicazione o meno del modello HH sulla membrana produce risultati piuttosto differenti fra di loro,
mostrando quindi l’importanza di simulare la cellula includendo anche la presenza del circuito equivalente di
Hodgkin-Huxley
• Si sono riscontrate alcune differenze sia al variare della frequenza, sia al variare dell’orientamento del campo
elettrico dell’onda piana incidente
5.2 Simulazione quasi-statica del segnale GSM
Il passo successivo è stato quello che ha coinvolto la simulazione di segnali reali, nella fattispecie segnali
GSM in banda 900 e in banda 1800. Ci si è concentrati in particolar modo su un time-slot di tale segnale, che è
modulato in fase e quindi a inviluppo costante (per lo meno all’interno della time-slot) ed è esprimibile,
matematicamente attraverso:
9
s(t) = Asen(ωt + ϕ (t))
(3)
La frequenza f dell’equazione (3) dipende dal canale GSM occupato dal segnale e ϕ(t) è foriera del
contenuto informativo; considerando tale funzione come una curva lineare a tratti (in prima approssimazione), si
avrà che la corrispondente deviazione di frequenza istantanea, legata alla fase istantanea ϕ(t) dalla equazione:
∆f(t) =
1 dϕ (t)
2π
dt
, è costante a tratti. Pertanto il segnale GSM, sotto questa approssimazione può essere visto
come una sequenza ordinata di sinusoidi a frequenze diverse, tra le quali si mantiene la continuità di fase.
Analizzando l’andamento del segnale si è visto che in un frame GSM il numero di frequenze diverse è 64,
variamente combinate e ripetute per formare una sequenza di 512 frequenze diverse all’interno del time slot. La
tecnica adottata è stata quella di simulare l’impatto di onde piane sinusoidali con le 64 frequenze diverse sulla
cellula, mediante la tecnica FDTD quasi statica e poi in fase di post-processing si è ricombinata l’intera sequenza
GSM.
0,7
0,3
40
0,1
-0,1
20
-0,3
Differenza relativa in %
0,5
-0,5
-0,7
0
Campo elettrico sul centro delle cellule in V/m
60
904.4 MHz
904.3 MHz
904.5 MHz
Difference 904.3 - 904.4 MHz
Difference 904.5 - 904.4 Hz
0
40
80
120
Distanza dalla superficie del tessuto in micron
Figura 13: confronto fra varie frequenze di un canale GSM
In realtà, dalle simulazioni effettuate delle varie frequenze che compongono un time-slot del segnale GSM è
risultato che l’andamento dei campi non varia in maniera apprezzabile al variare (intorno alla portante) del
segnale; le simulazioni probanti sono state fatte a 3 frequenze (904.3 MHz, 904.5 MHz, 904.4 MHz) che
rappresentano il centro e gli estremi di un canale GSM900. Considerando il grafico di figura 13, si può notare
come le differenze percentuali fra le vie curve di penetrazione alle diverse frequenze sono molto contenute. Ciò ci
permette di sostenere che per simulare degnamente un segnale GSM basta simulare direttamente la portante di
tale segnale.
5.3 La rappresentazione di cellule ellissoidali
Le simulazioni dei tessuti cellulari mostrate nei capitoli precedenti sono state effettuate simulando, per
semplicità di implementazione, tessuti costituiti da celle sferiche. In realtà, con la tecnica che è stata messa a
punto, è possibile simulare tessuti con cellule di geometria arbitraria; pertanto si è deciso di simulare dei
tessuti costituiti da cellule ellissoidali. In tale maniera è anche possibile analizzare gli effetti del campo
elettromagnetico incidente al variare dell’orientamento degli ellissoidi.
I dettagli geometrici delle simulazioni sono riportati in Fig. 14 (Vi sono riportate solo 2 configurazioni, anziché
3 visto che la simulazione della terza è ottenibile ruotando la polarizzazione del campo di 90 gradi con la
stessa struttura della seconda simulazione).
10
Figura 14: pianta e sezione delle strutture simulate
La metodologia di simulazione rimane la stessa utilizzata per le simulazioni riportate nei precedenti capitoli e le
simulazioni sono state effettuate alle frequenza di 900 e 1800 MHz (GSM) e di 1950 e 2015 MHz (UMTS).
Di seguito, in questo paragrafo sono mostrati i risultati delle simulazioni effettuate, in termini di andamento del
campo elettrico su dei piani coordinati e lungo i centri delle strutture.
5.3.1 Simulazioni nella banda GSM900
900 MHz - Asse minore lungo X
100
90
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
Modulo del campo elettrico [V/m]
900 M Hz - Asse minore lungo X
100
80
70
60
50
40
30
20
10
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0
100
200
300
400
500
600
0
µ m]
Distanza dalla superficie esterna [µ
5
10
15
20
25
30
35
40
µm]
Distanza dalla superficie esterna [µ
a)
b)
Figura 15: Valore del campo elettrico lungo l’asse centrale della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo X)
Piano
ZX
Piano
ZY
Figura 16: Valore del campo elettrico in scala logaritmica su 2 piani della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo X)
11
900 MHz - Asse minore lungo Y
900 MHz - Asse minore lungo Y
90
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
100
Modulo del campo elettrico [V/m]
100
80
70
60
50
40
30
20
80
70
60
50
40
30
20
10
10
0
0
0
100
200
300
400
500
1
600
6
11
16
21
26
31
36
41
µm]
Distanza dalla supeficie esterna [µ
µm]
Distanza dalla supeficie esterna [µ
a)
b)
Figura 17: Valore del campo elettrico lungo l’asse centrale della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo Y)
900 MHz - Asse minore lungo Z
900 MHz - Asse minore lungo Z
90
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
100
Modulo del campo elettrico [V/m]
100
80
70
60
50
40
30
20
10
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0
100
200
300
400
500
600
5
10
15
µ m]
Distanza dalla superficie esterna [µ
20
25
30
35
40
µm]
Distanza dalla superficie esterna [µ
a)
b)
Figura 18: Valore del campo elettrico lungo l’asse centrale della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo Z)
5.3.2 Simulazioni nella banda UMTS (2015 MHz)
2015 MHz - Asse minore lungo X
100
90
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
Modulo del campo elettrico [V/m]
2015 MHz - Asse minore lungo X
100
80
70
60
50
40
30
20
10
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
0
600
0
µm]
Distanza dalla superficie esterna [µ
5
10
15
20
25
Distanza dalla superficie esterna [ µm]
a)
b)
Figura 19: Valore del campo elettrico lungo l’asse centrale della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo X)
12
30
35
40
2015 MHz - Asse minore lungo Y
100
90
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
Modulo del campo elettrico [V/m]
2015 MHz - Asse minore lungo Y
100
80
70
60
50
40
30
20
80
70
60
50
40
30
20
10
10
0
0
0
0
100
200
300
400
500
5
10
15
20
25
30
35
40
µm]
Distanza dalla superficie esterna [µ
600
Distanza dalla superficie esterna [µ
µm]
a)
b)
Figura 20: Valore del campo elettrico lungo l’asse centrale della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo Y)
2015 MHz - Asse minore lungo Z
100
90
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
Modulo del campo elettrico [V/m]
2015 MHz - Asse minore lungo Z
100
80
70
60
50
40
30
20
80
70
60
50
40
30
20
10
10
0
0
0
100
200
300
400
500
5
600
10
15
20
25
30
35
µm]
Distanza dalla superficie esterna [µ
Distanza dalla superficie esterna [µ
µm]
a)
b)
Figura 21: Valore del campo elettrico lungo l’asse centrale della struttura
(Ellissoidi con l’asse minore lungo Z)
5.3.3 Confronto fra le varie configurazioni
Per vedere l’influenza dell’orientamento degli ellissoidi sull’andamento del campo eletromagnetico
all’interno della struttura, è stato effettuato un confronto fra i valori del campo elettrico lungo il centro della
struttura a 900 MHz e 1950 MHz e con gli ellissoidi posti in un caso con l’asse minore lungo Z, nell’altro con
l’asse minore lungo Y.
13
900 MHz - Confronto
1950 MHz - Confronto
100
90
Asse minore lungo Y
80
Asse minore lungo Z
90
Modulo del campo elettrico [V/m]
Modulo del campo elettrico [V/m]
100
70
60
50
40
30
20
10
Asse minore lungo Y
80
Asse minore lungo Z
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
600
0
0
Distanza dalla supeficie esterna [µ
µm]
100
200
300
400
500
600
µm]
Distanza dalla superficie esterna [µ
a)
b)
Figura 22: Confronto fra 2 diverse strutture (a) f=900 MHz; b) f=1950 MHz)
Come si può facilmente notare dai 2 grafici, vi sono notevoli differenza fra i 2 andamenti, sia nei valori di
picco situati proprio in corrispondenza con la membrana sia nei valori all’interno della cellula.
6 Metodologie di analisi degli effetti non lineari della membrana
Il modello HH nella sua formulazione originaria [6], [7] è non-lineare e quindi non trattabile mediante
FDTD quasi-statica. Questa limitazione è stata superata linearizzando (approssimazione giustificabile con il
fatto che i segnali in gioco sono “piccoli”) il modello HH.
Un passo ulteriore che si vuole compiere è arrivare a simulare il comportamento non-lineare della membrana
cellulare continuando anche a tenere conto dell’effetto sulla distribuzione di campo elettromagnetico di tutte le
altre cellule che vi sono intorno. Un approccio strettamente FDTD abbiamo visto che è impraticabile a causa
dei notevoli tempi di calcolo e quindi la direzione verso cui sembra più ragionevole muoversi, dovrebbe essere
l’utilizzo di un metodo di tipo misto.
Una possibile metodologia consiste nel ricavare un modello equivalente del tessuto simulato mediante la
FDTD; tale modello, oltre che ovviamente affidabile e accurato, dovrà essere molto snello; questa peculiarità
permetterebbe di poter effettuare in tempi ragionevoli delle simulazioni impossibili da realizzare con la tecnica
FDTD.
La strada che sembra più naturale è quella della rete equivalente alla Thevenin o alla Norton; in altri
termini, si sceglie come porta di osservazione del sistema una cella FDTD sulla membrana di una cellula,
ottenendo in questo modo la separazione della struttura in 2 sottosistemi: la cella di osservazione e tutto il
resto della struttura (vedere Fig. 23); il passo successivo consiste nel modellare, sfruttando o il teorema di
Norton o il teorema di Thevenin, con un circuito equivalente la parte che nella figura 23 è denominata “intera
struttura”. Se la rete equivalente è stata ricavata in maniera rigorosa, teoricamente, dovremmo essere in grado
di ritrovare gli stessi valori delle grandezze osservabili sul bipolo HH lineare sia con una simulazione FDTD sia
con una simulazione del circuito equivalente, con la differenza che simulare il circuito equivalente richiede una
quantità di risorse di calcolo enormemente inferiori rispetto alla FDTD.
A questo punto sostituendo, nel circuito equivalente, al bipolo HH lineare, un bipolo HH non-lineare, si
potrebbe simulare l’effetto del campo elettromagnetico su di una cella di membrana, modellata con HH non
lineare, considerando anche l’effetto dell’ambiente circostante (modellato con il bipolo di Thevenin). Il
vantaggio di tale metodo è quello di poter analizzare gli effetti non-lineari della membrana con un’accuratezza
14
paragonabile a quella ottenibile con la FDTD, lo svantaggio è la scarsa flessibilità: se si cambia la struttura, è
necessario calcolare di nuovo il circuito equivalente.
Sostanzialmente, il metodo esposto ha, a grandi linee, le caratteristiche di un metodo “perturbativo”. Le
metodologie “perturbative” sono ampiamente utilizzate in fisica ed in ingegneria per risolvere in maniera
approssimata dei sistemi non-lineari e agiscono in questa maniera: una parte del sistema viene linearizzato e
in questa modo si trovano le soluzioni di alcune variabili; tali soluzioni vengono poi sostituite nelle equazioni
non linearizzate per trovare soluzioni più accurate delle variabili del sistema.
X
Floquet
Floquet
Floquet
Floquet
Floquet
Intera
struttura
Y
Floquet
HH
Z
Figura 23:Equivalenza fra la simulazione FDTD e circuito equivalente
Bibliografia
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Pubblicazioni
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G.Emili, F.Alimenti, P.Mezzanotte, L.Roselli, R.Sorrentino, “Rigorous modelling of a packaged Schottky diodes by
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G.Emili, A. Schiavoni, M. Francavilla, L. Roselli, R. Sorrentino, “Computation of the Electromagnetic Field inside a
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Lapucci, M. Ciofini, R. Celli, S. Mascalchi, G.Emili, L.Roselli, “Investigation of split-electrode configurations for
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Lumped Device Models into FDTD for the Global Simulation of Quasi-Optical Frequency Multipliers", EuMC 2001,
September, London, UK.
G. Emili, A. Schiavoni, M. Francavilla, L. Roselli, R. Sorrentino, “Calcolo del campo elettromagnetico all’interno di
un tessuto alle frequenze della telefonia mobile “, XIV RiNEM, September 2002, Ancona, Italy
Partecipazioni a conferenze
•
Settembre 2000, Riunione Nazionale Elettromagnetismo, Como.
•
Settembre 2001, European Microwave Conference, Londra.
•
Settembre 2002, Riunione Nazionale Elettromagnetismo, Ancona
Esperienze all’estero
Novembre 2001- Aprile 2002, Visiting Researcher alla University of Colorado, Boulder, CO, USA.
Perugia, 31/10/2002
16