02/11/2015
UNIVERSITÀ
DEGLI
STUDI
DI NAPOLI
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE AGRARIE,
FEDERICO II
FORESTALI E
AMBIENTALI
ESERCITAZIONE
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MATEMATICA
27 OTTOBRE 2015
ARGOMENTI:
Equazioni di I e II grado
Disequazioni di I e II grado
Sistemi di disequazioni
Disequazioni quozienti
Disequazioni prodotto
Disequazioni esponenziali
Disequazioni logaritmiche
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EQUAZIONI
Un'equazione è una uguaglianza tra due espressioni
algebriche, contenenti una o più incognite, verificata solo per
determinati valori attribuiti alle incognite.
Risolvere un’equazione significa trovare il valore incognito
che soddisfa l’uguaglianza
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EQUAZIONI
EQUAZIONI DI
PRIMO GRADO
EQUAZIONI DI
SECONDO GRADO
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PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Primo principio di equivalenza
Aggiungendo ad entrambi i membri dell’equazione
la stessa quantità l’insieme delle soluzioni non
cambia.
Trasporto
E’ possibile trasportare
un termine da un membro
all’altro purché lo si
cambi di segno.
Cancellazione
E’possibile
cancellare termini
uguali presenti in
entrambi i membri
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PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri
dell’equazione per uno tesso numero diverso da 0
l’insieme delle soluzioni non cambia.
Cambiamento di segno
Cambiando segno a tutti i
termini di un’equazione,
l’insieme delle soluzioni non
cambia.
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EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Un’equazione algebrica di primo grado o lineare è
un’equazione in cui il grado massimo dell’incognita
è uno ;
Forma normale:
ax + b = 0
con a e b numeri reali ed a ≠ 0.
Portando al secondo membro b e dividendo per
a≠ 0 si ottiene la soluzione:
x= -b/a
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Data un’equazione algebrica di primo grado
ax + b = 0, con a e b numeri
reali
Se a = 0, si possono distinguere due casi:
0 ⋅ x + b = 0 con b ≠ 0 equazione impossibile
0 ⋅ x + b = 0 con b = 0 equazione
indeterminata
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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
un'equazione
algebrica di secondo grado è
un'equazione algebrica ad una sola incognita
x
compare con grado massimo pari a 2, e la
cui
espressione è riconducibile alla forma
normale:
ax²+bx+c=0, con a≠0 , b e c numeri reali
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SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI
GRADO
II
Si chiama discriminante di una equazione di II
grado, e si indica con il simbolo ∆, il numero
∆=b²-4ac
Se il ∆ >0 , allora l’equazione ammette due radici
reali e distinte;
Se il ∆=0, allora l’equazione ammette due radici
reali coincidenti;
Se il ∆<0, allora l’equazione non ammette
soluzioni reali.
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RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI II
GRADO
Se il ∆ ≥0, le due soluzioni di un’equazione di II
grado si ricavano applicando la seguente formula
risolutiva
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SISTEMI
DI DISEQUAZIONI
Due o più disequazioni costituiscono un
SISTEMA DI DISEQUAZIONI
se devono essere verificate contemporaneamente.
Determinare le soluzioni comuni e cioè l’insieme
intersezione degli insiemi di soluzioni delle singole
disequazioni date.
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PASSI PER RISOLVERE UN SISTEMA:
1) Risolvere separatamente ciascuna delle disequazioni che lo compongono;
2) confrontare sull’asse reale le soluzioni delle singole disequazioni;
3) determinare le soluzioni comuni.
ESERCIZI: Risolvere i seguenti sistemi
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DISEQUAZIONI QUOZIENTE
Una disequazione quoziente è una disequazione del tipo:
> 0 (< 0)
Affinché il rapporto sia positivo (negativo) è necessario
che numeratore e denominatore siano concordi
(discordi) .
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PASSI PER RISOLVERE Disequazione Quoziente:
1)
Studiamo separatamente il segno dei due fattori
ponendoli >0;
2) Riportiamo i risultati sulla retta dei reali indicando con una linea
continua gli intervalli di positività e una
linea discontinua gli intervalli
di negatività;
3) Facciamo il prodotto dei segni dei due fattori e
consideriamo gli intervalli col segno uguale a quello del
verso della disequazione
ESERCIZI: Risolvere le seguenti disequazioni
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DISEQUAZIONI PRODOTTO
Consideriamo una disequazione del tipo
Affinché il prodotto di due fattori sia positivo
(sia negativo) è necessario che tali fattori siano
concordi (discordi)
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PASSI PER RISOLVERE Disequazione Prodotto:
1)
2)
3)
Studiamo separatamente il segno dei due fattori
ponendoli >0;
Riportiamo i risultati sulla retta dei reali indicando con una linea
continua gli intervalli di positività e con una linea discontinua gli
intervalli di negatività;
Facciamo il prodotto dei segni dei due fattori e consideriamo gli
intervalli col segno uguale a quello del verso della disequazione.
ESERCIZI: Risolvere le seguenti disequazioni
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DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Una disequazione si dice esponenziale quando
l'incognita compare soltanto nell'esponente di una o
più potenze.
Disequazioni esponenziale più semplici :
con a > 0 e b > 0 ;
dove x è l' incognita dell' equazione
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PASSI PER RISOLVERE Disequazione Esponenziali:
1) se a > 1, poiché la funzione logaritmo è crescente, la disequazione è
verificata per
2) se 0 < a < 1 , poiché la funzione logaritmo è decrescente, la disequazione
è verificata per
ESERCIZI: Risolvere le seguenti disequazioni
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DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Una disequazione si dice logaritmica quando l'incognita
compare nell‘argomento di uno o più logaritmi.
Equazioni logaritmiche più semplici :
con a > 0 , b numero reale e x > 0
dove x è l' incognita dell' equazione .
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PASSI PER RISOLVERE Disequazione Logaritmiche:
1) se a > 1, poiché la funzione esponenziale è crescente, la disequazione è
verificata per
2) se 0 < a < 1 , poiché la funzione esponenziale è decrescente, la
disequazione è verificata per
ESERCIZI: Risolvere le seguenti disequazioni
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a >0
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