Fisica Generale 1 per Chimica
Formulario di Meccanica
Vettori : operazioni elementari:
Nota: un vettore verra' qui rappresentato in grassetto
es: A = ( Ax , Ay , Az )
Prodotto scalare A.B = |A| |B| cos θ , θ angolo compreso tra A e B
A.B = ( Ax , Ay , Az ). ( Bx , By , Bz) = Ax Bx + AyBy + Az Bz
Prodotto vettoriale A x B
modulo :
|A| |B| sin θ , θ angolo compreso tra A e B
direzione :
normale al piano individuato da A e B
verso :
regola del cavatappi, verso in cui deve essere ruotato A
per essere sovrapposto a B ( secondo l' angolo minore)
Formula del determinante per le componenti nel prodotto vettoriale:
A x B = ( Ax , Ay , Az ).( Bx , By , Bz) =
ux
uy
uz
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
= ux ( Ay Bz - Az By ) + uy ( Az Bx - Ax Bz ) + uz ( Ax By - Ay Bx)
ux , uy , uz versori degli assi ad es. ux=( 1 , 0 , 0 ) , etc
Talvolta vengono usati i simboli i , j , k .
Alcune proprieta' dei prodotti scalari e vettoriali :
Ax ( B +C ) =Ax B +Ax C
AxB=-BxA
A. (Bx C) = B.(Cx A) =C.(Ax B)
Ax(Bx C)=(A. C)B-(A. B)C
Proprieta' dei versori :
ux . ux = uy . uy = uz . uz = 1
ux x ux = uy x uy = uz x uz = 0
ux . uy = ux . uz = uy . uz = 0
ux x uy = uz
uy x uz = u x
Relazioni trigonometriche :
;
sec2 x - tg2 x = 1
;
sin2 x + cos2 x = 1
sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y
cos ( x ± y ) = cos x cos y -+ sin x sin y
tg ( x ± y ) = (tg x ± tg y )/ ( 1 -+ tg x tg y )
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x - sin2 x = 2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin2 x
sin x + sin y = 2 sin ( x+y)/2 cos ( x-y)/2
cos x + cos y = 2 cos ( x+y)/2 cos ( x-y)/2
u z x u x = uy
cosec2 x - cotg2 x = 1
Relazioni valide per qualsiasi triangolo :
a / sin α = b / sin β = c / sin γ , dove
legge dei seni
opposti rispettivamente ai lati a , b e c.
legge del coseno a2 = b2 + c2 - 2 b c cos α
α , β , γ sono gli angoli
Relazioni nei triangoli rettangoli :
a = b sin α = b cos β = c tg α
1 radiante ≈ 57° 27' ; 1 giro = 360° = 2π radianti
Derivate ed integrali indefiniti
f(x)
xn
1/x
ln x
ex
sin x
cos x
tg x
sinh x
cosh x
arctg x
arcsin x
d f( x ) / dx
n x n-1
-1 / x2
1/ x
ex
cos x
-sin x
1/cos2 x
cosh x
sinh x
1 / ( 1+x2 )
1 / √( 1-x2 )
∫ f ( x ) dx
x n+1/(n+1) + C
( n ≠ -1)
ln x + C
x ln x - x + C
ex +C
-cos x + C
sin x + C
-ln sec x + C
cosh x + C
sinh x = 1/2 ( e x - e-x)
sinh x + C
cosh x = 1/2 ( e x + e-x)
Integrazione per parti : ∫ u dv = u v - ∫ v du
Sviluppi in serie :
ex
= 1 + x + 1/2! x2 + 1/3! x3 + ..
ln ( 1+x) = x - x2 /2 + x3/3 +.......
sin x
= x - 1/3! x3 + 1/5! x5 + ....
cos x
= 1 - 1/2! x2 + 1/4! x4 + ....
tg x
= x + 1/3 x3 + 2/15 x5 + ....
1/(1+x) = 1- x + x2 - x3+ ....
√(1+x) = 1+ x/2 - x2/8 + 3/48 x3+ ....
1/√(1+x) = 1- x/2 +3/8 x2 -15/48 x3+ ....
( 1+x)n = 1 + nx + n(n-1)/2! x2 + ......
Sviluppo di Taylor
-∞ < x < +∞
-1 < x < +1
-∞ < x < +∞
-∞ < x < +∞
-π/2 < x < π/2
-1 < x < +1
-1 < x < +1
-1 < x < +1
n > 0 x2 ≤ 1
n < 0 x2 < 1
f(x) = f(xo) + f '(xo)(x-xo) + 1/2! f ''(xo) (x-xo)2 +
+1/3! f '''(xo) (x-xo)3 + ..... . . + 1/n! f (n)(xo) (x-xo)n
con n! = n ( n-1) (n-2) . . . . 3 2 1
e
f (n)(xo) =
{ dn f(x)/dxn } x=xo
Leggi della cinematica
vm = ∆r/∆t , r vettore posizione del punto materiale
v = lim ∆r/∆t = dr / dt
velocita' media
velocita' istantanea
∆t->0
am = ∆v/∆t
accelerazione istantanea a = lim ∆v/∆t = dv / dt = d2 r / dt2
accelerazione media
∆t->0
relazioni tra grandezze lineari ed angolari nel moto circolare ( R = cost )
s = R θ , s = coordinata curvilinea sulla circonferenza
ω = dθ / dt , v = ω r
α = dω / dt , a = α R
modulo della velocita' angolare di rotazione attorno ad un asse fisso (all'istante t )
| ω | = | dΘ / dt |
Θ = posizione angolare di un punto materiale.
La direzione di ω e' quella dell'asse di rotazione , mentre il suo verso e' quello in cui
avanza una vite che ruota nello stesso senso del corpo.
modulo della accelerazione angolare di rotazione attorno ad un asse fisso
| α | = | dω
ω / dt | ( stessa direzione di ω , stesso verso se e' un moto accelerato,
contrario se ritardato )
componenti radiale e tangenziale della accelerazione nel moto circolare :
aR = v2 / R = ω2 R
aT = dv / dt
moto ad accelerazione costante in una direzione , scelto t0 = 0
vx = vxo + ax t
x = xo + vxo t + 1/2 ax t2
vx2 = vxo2 + 2 ax ( x - xo )
forze
forza peso ( in un campo gravitazionale , ad es. quello terrestre) F = m g
forza gravitazionale F = - G m1 m2 r / r3
| F |= G m1 m2 / r2
F =-kr
forza centripeta
Fc = - m ω2 r
forza di attrito statico
fs ≤ µ s N
forza di attrito dinamico fd = µ d N
forza di attrito nei fluidi ff = -K η v con K = 6 π R per particelle sferiche
forza elastica
momento di una forza τ = r x F dove r e' il vettore posizione del punto di
applicazione della forza rispetto ad un punto scelto come polo.
condizioni di equilibrio :
a) ∑ Fiest = 0
massa del sistema.
qualsiasi polo.
b) ∑ τi = 0
i τi sono calcolati rispetto al centro di
Se pero' e' verificata la a) , allora il C.M. puo' essere sostituito da
Dinamica del punto materiale :
quantita' di moto
p=mv
per la risultante delle forze agenti sul punto
se Ftot
Ftot = dp / dt
= 0 --> p = cost --> conservazione della quantita' di moto
lavoro
dW = F . ds
F = forza agente sul punto
ds = spostamento infinitesimo subito dal punto
B
∫A F . ds
W AB =
integrale di linea calcolato lungo la linea
che va da A a B , inviluppo dei ds infinitesimi.
Se il campo di forze e' conservativo , W AB non dipende dal cammino per andare da A a B.
Potenza
P = dW / dt = F . ds /dt = F . v
energia cinetica del punto materiale
K = 1/2 m v2
teorema del lavoro ed energia cinetica ( o delle forze vive ) :
W AB = 1/2 m ( vB2 - vA2 ) = KB - KA = ∆K
energia potenziale di un campo di forze conservativo :
B
F = - grad U
UB - UA = - ∫A F . ds
UB - UA = - W AB
teorema della conservazione dell'energia : se il campo di forze e' conservativo
E = K + U = cost
energia potenziale della forza peso
elastica
gravitazionale
U = m g h + cost
U = 1/2 K x2 + cost
U = - G m1 m2 / r + cost
momento della quantita' di moto ( momento angolare ) :
L=rxp
( dove r e' il vettore posizione del punto materiale rispetto ad un punto scelto come polo )
nel moto circolare , L e' diretto come ω , L = m r2ω
Se τ e' il risultante dei momenti esterni applicati ad un punto materiale, calcolato rispetto
allo stesso polo del momento angolare :
conservazione del momento angolare :
τ = dL / dt
se τ = 0
L = cost
rispetto ad un qualsiasi asse z , passante per il polo ,
se e' τz = 0 --> dLz / dt = 0 --> Lz = cost
sistemi di particelle e corpo rigido
rCM = ∑ mi ri / ∑mi
centro di massa
∫
I = ∑ mi ri2 = corpor2 dm
teorema dell'asse parallelo : Io = ICM + md2 , dove d e' la distanza di O dal C.M.
momento di inerzia
esempi di momenti d'inerzia
di una asta omogenea rispetto ad un asse normale baricentrico
I = mR2 / 2
I = 2/5 mR2
di un cilindro rispetto al suo asse
di una sfera rispetto ad un suo diametro
di un disco
a) rispetto ad un diametro
I = mL2 / 12
I = 1/4 mR2
I = 1/2 mR2
di un anello a) rispetto ad un diametro I = 1/12 mR2
b) rispetto all'asse I = mR2
quantita' di moto :
p = ∑ mi vi = M totvCM
equazioni fondamentali della dinamica ∑ Fest = dP/dt = M aCM
∑ τest = dL/dt
per un corpo rigido ruotante attorno all'asse z
τz = I α
en. cinetica di un corpo rigido non vincolato K = 1/2 ICM ω2+ 1/2 MvCM2
energia cinetica di un corpo rigido vincolato K = 1/2 I ω2
b) rispetto all'asse
oscillazioni
oscillatore armonico
moto armonico
F(x)=-Kx
U ( x ) = 1/2 K x2
- K x = m d2 x / dt2 ovvero:
d2 x / dt2 + K/m x = 0
soluzione dell'equazione del moto armonico
x = A cos ( ω t + f )
ω t + f = fase ( f = fase iniziale
A = ampiezza
ω2 = K / m ( ω = 2πn , n = frequenza del moto)
periodo del moto armonico
periodo del pendolo semplice
periodo del pendolo fisico
periodo del pendolo di torsione
)
T = 2π/ω = 2π √m/K
T = 2π √l/g
T = 2π √I/mgd
T = 2π √I/K ( τ = - K Θ )
gravitazione
tra due masse puntiformi m1 ed m2 , poste ad una distanza r12 , agisce una forza attrattiva
:
F12 = - G m1 m2 r12 / r12 3 , r12 / r12 = versore di r12 , G = costante gravitazionale
F12 = - F21 ( per il terzo principio )
alla superficie terrestre
g = G M / R2 , R = raggio terrestre , M = massa terrestre
energia potenziale del campo gravitazionale
r
U(r)=L
∞,r
= ∫ ∞ F . dr = - G M m / r
moto di pianeti e satelliti
condizione di stabilita' dell'orbita :
per r
»R
G M = ω2 r3
scegliendo U = 0 ad r --> ∞
G M m / (R + r )2 = m ω2 r
T2 = 4 π2 r3 / GM
( 3^ legge di Keplero )
statica e dinamica dei fluidi
variazione della pressione in un fluido a riposo : dp / dy = - ρ g ( dove y e' la quota )
p2 - p1 = - ρg ( y2 - y1 )
se la densita' r e' costante
p = po e -gy ρo/po
p + 1/2 ρ v2 + ρ g y = costante
se la densita' r e' proporzionale a p
equazione di Bernoulli
L'equazione di Bernoulli si applica a moti stazionari di fluidi incompressibili e non viscosi.
Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di flusso diverse , la costante e'
diversa.
principali costanti e proprieta' fisiche di interesse per la meccanica
velocita' della luce nel vuoto
massa a riposo dell'elettrone
massa a riposo del protone
massa a riposo del neutrone
raggio di Bohr
c = 2.9979 108 m/s ≈ 3.0 108 m/s
me = 9.1091 10-31 Kg
mp = 1.6725 10-27 Kg
mn = 1.6748 10-27 Kg
ao = 5.2917 10-11 m = 0.52917 Å
costante gravitazionale
G = 6.67 10-11 N m2 Kg-2
accelerazione di gravita' al livello del mare ed all'equatore
g = 9.7805 ms-2 ≈ 9.8 ms-2
8
distanza media Terra-Sole
1.49 10 Km
distanza media Terra-Luna
3.8 105 Km
raggio medio della Terra
6.37 103 Km
raggio del Sole
6.96 105 Km
massa della Terra
5.98 10 24 Kg
massa del Sole
1.99 10 30 Kg
velocita' media orbitale Terra 29770 m/s
velocita' angolare media Terra 7.29 10-5 rad/s ( rotazione )
densita' aria ( a 0°C ed 1 atm) 1.29 Kg/m3
densita' acqua ( a 20°C )
1.00 103 Kg/m3
densita' mercurio ( a 0°C )
13.5 103 Kg/m3
densita' media terrestre
5.52 103 Kg/m3
fattori di conversione
lunghezza
1 Å = 10-10 m
1 m (micron) = 10-6 m 1 anno-luce = 9.46 1012 Km
tempo
1 anno = 365.2 giorni = 8766 ore = 5.26 105 min = 3.156 107 s
1 m/s = 3.6 Km/h
velocita'
forza
1 dyne = 10-5 N
1 N = 10 5 dyne = 0.102 Kgp
pressione
1 atm = 1.013 106 dyne/cm2 = 76.0 cm Hg = 1.013 105 N/m2
1 dyne/cm2 = 9.869 10-7 atm = 0.1 N/m2 = 10-6 bars
1 cm Hg = 1.316 10-2 atm = 1333 N/m2
1 N/m2 (Pa : pascal)= 9.869 10-6 atm = 10 dyne/cm2 = 7.501 10-4 cm Hg
1 Torr = 1 mm Hg = 10-1cm Hg
energia , lavoro , calore
1 erg = 10-7 J = 2.389 10-8 cal = 2.778 10-14 KWh = 6.242 1011 eV
1 Joule ( J ) = 107 erg = 0.2389 cal = 6.242 1018 eV
1 caloria ( cal ) = 4.186 107 erg = 4.186 J = 2.613 1019 eV
1 e V = 1.602 10-12 erg = 1.602 10-19 J
1 unita' massa atomica(amu) = 1.492 10-3 erg = 1.492 10-10 J = 9.31 108 eV
