Verifiche sperimentali
legge di Coulomb
c a p i t o l o
3
Fino a che punto si può aver fiducia nella legge di Coulomb?
Era noto che:
Una buccia sferica omogenea di materia dà, al suo interno, un
contributo nullo al campo gravitazionale.
L’effetto è troppo piccolo per poter essere verificato
sperimentalmente nel caso delle interazioni gravitazionali.
Tuttavia
Il verificare una tale fenomenologia per le interazioni
elettrostatiche, aveva fatto immediatamente supporre che:
La legge di forza tra cariche elettriche dovesse avere identica
struttura di quella gravitazionale
Supponiamo di avere una buccia perfettamente sferica di
materiale conduttore e di depositare su di essa una carica
elettrica
la carica fluirà e, per motivi di simmetria, la densità di carica
sarà uniforme su tutta la buccia
S
Q
R
P
D3
Q
R
D3
R
Calcoliamo il campo
elettrico presente in un
generico punto “p”
interno alla buccia.
Occorrerà dividere la superficie
della buccia in tante superficiette
infinitesime, calcolare il singolo
contributo e sommare i vari
risultati.
S
Q
R
P
D3
Q
R
D3
R
I contributi dovuti alle cariche
presenti nei due elementi di
superficie saranno opposti in
direzione.
Valutiamone i moduli
dE1 ( p ) =
1 σ dS1
4πε 0 r12 + ε
dE2 ( p ) =
1 σ dS2
4πε 0 r22 + ε
Quale dei due sarà maggiore?
dS2
dS1
⇔ 2+ε
2+ε
r2
r1
S
Avremo:
Q
R
P
D3
D3
dω r12
dS1 =
cos (θ1 )
dω r22
dS2 =
cos (θ 2 )
R
dE1 ( p ) =
R
1
4πε 0
1
dE2 ( p ) =
4πε 0
Q
σ dω
r1ε cos (θ1 )
σ dω
r2ε cos (θ 2 )
Se la superficie è sferica il triangolo in figura è isoscele e quindi
i due angoli sono uguali, per cui:
dE1 ( p ) =
1
σ
1
dω ε
4πε 0 cos (θ )
r1
dE2 ( p ) =
1
σ
1
dω ε
4πε 0 cos (θ )
r2
Se ε > 0
S
Q
R
P
D3
D3
R
R
Q
Se invece
ε=0
prevale il contributo della
superficie vicina
Se ε < 0
prevale il contributo della
superficie lontana
i due contributi sono esattamente
uguali ed opposti
In questo ultimo caso, sommando tutti i
contributi delle coppie opposte, troveremo
all’interno campo elettrico nullo
In cosa consisterà quindi la verifica sperimentale?
Prendere una sfera metallica, depositarvi quanta più carica
possibile e verificare se, al suo interno, appaiono tracce
misurabili di campo elettrico
È un esempio di misura di Zero
Se vale la legge dell’inverso del quadrato
della distanza, la massa a riposo del fotone
è nulla
Come è possibile ottenere le valutazioni in tabella?
Una sfera non sarà mai perfetta, quindi:
La densità di carica non sarà uniforme
Il triangolo non sarà realmente isoscele
Esperimento di Williams,
Faller e Hill
Schema dell’apparato
sperimentale
Occorre svincolarsi da qualunque ipotesi su forme geometriche
Quello che potremmo scegliere è solo il materiale, tenendo
conto che avremo a che fare con materiali reali
Un isolante non sarà mai un “perfetto” isolante
Un conduttore non sarà mai un “perfetto” conduttore
In un conduttore”non perfetto” le cariche non saranno
veramente libere di muoversi. Su di esse si eserciteranno delle
forze “viscose”
Il sistema si evolve nel
tempo e tende a portarsi
Effetto degli
nella configurazione di di
attriti
equilibrio, caratterizzata
dal minimo per l’energia
potenziale
All’equilibrio la forza totale sulla particella è nulla
%
%
All’interno il campo elettrico è ovunque nullo
Sulla superficie qE + Rv = 0
All’interno saranno nulle pure
tutte le derivate del campo
Sulla superficie la derivata del
campo normale alla superficie è
diversa da zero
∇⋅E = 0
∇⋅E ≠ 0
La legge di Gauss dice che :
ρ
∇⋅E =
ε0
Quindi, se è vera, all’equilibrio dovremmo avere:
Internamente al conduttore
ρ=0
In altri termini , se la legge di Coulomb è vera, tutta la carica
fornita ad un conduttore dovrà trovarsi, all’equilibrio sulla
superficie.
Il campo elettrico interno è nullo
Equilibrio
Immediatamente fuori del
Legge di Coulomb
conduttore il campo è finito
La carica depositata su di un conduttore si trova sulla superficie
può esser considerata
come una superficie
piana
Come dipende il campo esterno dalla
densità di carica superficiale?
σ ds
Φ S ( E ) = E ⋅ ds =
ε0
σ
E=
ε0
È il doppio del campo elettrico
generato da una lastra piana
Come mai?
N
%
S
Una lastra avrà uno spessore finito
Se lo trascuriamo, per densità di carica intenderemo la somma
delle densità di carica che si trovano sulle due facce
S
S
Il campo esterno, espresso in termini di
detta somma, conterrà quindi il fattore 2 a
denominatore
Per verificare la legge di Coulomb
occorrerà vedere che non vi sia carica
all’interno di un conduttore carico.
Occorrerà praticare una cavità all’interno del
conduttore in modo da posizionarvi gli strumenti
Quello che è accessibile sperimentalmente sarà la densità di
carica sulla superficie interna ed il campo elettrico presente
nella cavità
Se pratichiamo una cavità, avremo due superfici: l’interna
e l’esterna
Come abbiamo carica sulla superficie esterna potremmo averne
anche sull’interna?
Superficie chiusa che racchiude la
cavità passando all’interno del
conduttore
ΦS E = 0
( )
Qint = 0
G
Il valore nullo per la carica totale
potrebbe derivare da
compensazioni
Se la situazione fosse come quella descritta in figura avremmo
un campo all’interno della cavità:
Dato poi che all’interno del
conduttore il campo è nullo ci
aspetteremo:
∫ E ⋅ dl ≠ 0
γ
In contrasto con le leggi dell’elettrostatica.
Quindi, se vale la legge di Coulomb, la densità di carica
sulla superficie interna deve essere nulla, come nullo deve
essere il campo elettrico all’interno della cavità
Di queste grandezze ne verificheremo il valore nullo
Se la carica
penetrasse all’interno,
essa dovrebbe essere
rivelata
dall’elettroscopio
Un conduttore cavo divide lo spazio in due regioni:
l’interna e l’esterna
S
3
3
S
S
3
Il flusso del campo elettrico
è nullo quindi:
S
3
Che relazione esisterà
tra i valori dei campi
all’equilibrio,
eventualmente presenti
nelle due regioni?
3
S
S
3
Q2 = −Q3
S
3
Indicando con Qext
3
S
S
3
la carica complessiva
del conduttore esterno
Q1 = Qext − Q2 = Qext + Q3
Primo caso particolare: Q1 = 0 ; σ 1 = 0
Il campo sarà presente solo nella cavità, sarà
nullo esternamente alla superficie interna e nel
conduttore interno
Le linee di campo saranno inoltre normali
alle due superfici S3 ed S2
S
3
3
S
Supponiamo di aver
risolto il caso in cui la
carica sul conduttore
interno valga
S
3
Q3 = ∫ σ 3ds3 = α
Coulomb
Q2 = ∫ σ 2 ds2 = − α
Coulomb
S3
ed, ovviamente:
S2
Domandiamoci quale sarà la soluzione nel caso in cui si
depositi sulle due superfici una carica totale di diverso valore
Q = ∫ σ ds2 = ξ ⋅ α
Coulomb
Q2' = ∫ σ 2' ds2 = − ξ ⋅ α
Coulomb
'
3
'
3
S3
S2
Una semplice soluzione
sarebbe:
σ =ξ ⋅σ3
'
3
σ 2' = ξ ⋅ σ 2
Il campo da essa generato vale:
'
E =ξE
Ha identiche direzioni e versi del precedente
È nullo ove il precedente era nullo
Si vede che essa è la soluzione corretta, in quanto:
1) la soluzione per un sistema di equazioni per la divergenza ed
il rotore di un campo è unica, una volta stabilite le condizioni al
contorno
2) i campi generati dalle nuove densità, a causa della loro
additività, rispettano le condizioni al contorno
Secondo caso particolare:
S
3
3
S
S
3
Q2 = 0 ; σ 2 = 0
Q3 = 0 ; σ 3 = 0
Il campo sarà presente solo all’esterno del conduttore
Le linee di campo saranno inoltre normali alla superficie S1
Analogamente a prima, se si
Q1 = ∫ σ 1ds1 = β Coulomb
conosce la densità in un caso
S
particolare
sarà la densità nel
'
'
'
Q
=
σ
1
∫S 1ds1 = χ β Coulomb
σ 1 = χ ⋅ σ 1 caso che la carica
depositata valga
1
1
Caso generale: sono presenti cariche su tutte e tre le superfici
I campi generati da una distribuzione del tipo:
σ = χ σ 1 ( β ) + ξ (σ 2 (α ) + σ 3 (α ))
Rispetta le condizioni al contorno dei campi
Nulli all’interno degli oggetti, normali alle superfici, zero all’infinito
Tramite opportuna scelta delle costanti può descrivere la
situazione per qualunque valore delle cariche presenti sui due
oggetti
Qint = ξ ⋅ α
Qint
ξ=
α
Coulomb
Qext = Q1 + Q2 = χ ⋅ β − ξ ⋅ α
Coulomb
Qext +Qint
χ=
β
S
3
3
S
Cosa accadrà ai campi se si
sposta il conduttore
interno alla cavità?
S
3
Ovviamente le densità di
carica sulle due superfici
interne cambieranno
σ
*
int
(
= ξ σ (α ) + σ (α )
Cambierà pure σ 1 ?
*
2
*
3
)
S
3
3
S
S
3
Quali saranno i campi
*
*
*
σ = χ σ 1 ( β ) + ξ σ 2 (α ) + σ 3 (α )
generati da
(
*
*
E = χ Eext ( β ) + ξ Eint (α )
)
Che rispetta le
condizioni al contorno
Quindi:
I campi esterno ed interno sono tra loro indipendenti
Ad esempio, se portassi il conduttore interno a toccare la superficie interna,
neutralizzando così entrambe, il campo esterno resterebbe invariato
