Luciano Maiani:
Lezione Fermi 19
La teoria di C. N. Yang e R. Mills: un’idea
in cerca di applicazione
.
1. Le simmetrie dei campi
2. Simmetrie e leggi di conservazione
3. No spooky Action-at-a Distance
4. La costruzione della Teoria di Yang e Mills
5. 20 anni dopo...: QCD !
6. Riassumendo
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1. Le simmetrie dei campi
• Gli enti dinamici della nostra fisica sono i campi (cfr. Lez. 10): φ(x)
– funzioni del punto dello spazio tempo, φ(x, t)= φ(x)
– sede di oscillazioni che si propagano nello spazio e nel tempo
– onde, nella fisica classica, onde e corpuscoli, nella fisica quantistica
x
φ(x1)
x1
x2
φ(x2)
• ci sono diversi tipi di campo: dell’elettrone, del quark up, del fotone,...etc. lo
stato del mondo e’ descritto dallo stato in cui si trova ciascuno dei campi
fondamentali
• il protone e’ esso stesso una configurazione dei campi u(x) e d(x) e dei gluoni
• La dinamica e’ descritta dall’ Azione, che e’ funzione dei campi
• piu’ precisamente, A e’ un funzionale: un oggetto che dipende da tutti i valori
del campo in una data regione dello spazio tempo
• in fisica classica, l’Azione e’ un numero reale (per ogni configurazione dei
campi), che assume il valore minimo per le configurazioni che si realizzano in
natura (Principio di Minima Azione, Maupertuis, Lagrange, etc.)
• in fisica quantistica l’Azione e’ un oggetto essenzialmente reale (in gergo: un
operatore hermitiano) che soddisfa anch’esso un principio di minimo.
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Componenti e tipi diversi di campi
• Il campo elettrico e’ rappresentato da un vettore, E(x), un oggetto a tre
componenti, e cosi’ il campo magnetico e il potenziale vettore;
• le diverse componenti di un campo sono necessarie per descrivere lo spin;
• ad es. i campi associati all’elettrone o al quark up hanno 4 componenti, 2
associate allo spin di elettrone e 2 allo spin del positrone (lo stesso vale per il
campo del quark up)
• una particella di spin 0 e neutra e’ descritta da un campo reale con una sola
componente, φ(x)= φ(x)*
• se e’ carica, e’ descritta da un campo complesso φ(x)= φ1(x)+ i φ2(x), con
φ1,2(x) reali;
• in natura, osserviamo diversi campi con lo stesso spin, ad es. spin=1/2, (cfr.
Lez. 15): elettrone e neutrino, quark up qe quark down, etc.
• e ipotizzato simmetrie che li collegano
• questo e’ il tema di oggi
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Rotazioni
• Immaginiamo di stare in una regione dello spazio interplanetario, lontano dai
corpi celesti (Terra, Sole, pianeti), per cui possiamo trascurare i loro effetti
gravitazionali;
• in questa regione, i campi assumeranno il loro stato fondamentale (nessuna
eccitazione presente): lo stato di vuoto;
• adesso mettiamo degli apparati in grado di generare dei campi (magneti,
cariche, macchine acceleratrici), secondo una certa configurazione φ(x, t0) =
φ(x) (lavoriamo ad un tempo fisso che non scriviamo per semplicita’);
• se ruotiamo tutti gli apparati intorno ad un certo asse per un certo angolo,
avremo una nuova configurazione di campi, il campo “ruotato”, chiamiamola
φR(x) dove R indica quale rotazione abbiamo fatto;
• ovviamente, se conosciamo φ(x) ed R, possiamo ricostruire φR(x) anche
senza fare fisicamente la rotazione dei magneti, cariche, etc.; scriviamo
φR(x)=R[φ(x)] dove R[..] indica questa operazione sul campo φ(x)
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come si ruotano i campi
• La formula classica per il campo elettrico ruotato e’:
• La formula esprime in primo luogo il fatto che il campo in x e’
collegato alle componenti del campo nel punto che, con la rotazione,
e’ finito in x (cioe’ il punto R-1 x);
• inoltre, le componenti di ER (x) sono sovrapposizioni lineari delle
componenti di E(R-1 x) con una matrice che dipende dalla particolare
rotazione;
• la relazione lineare assicura che se il campo prima della rotazione e’
una sovrapposizione di due campi che interferiscono, il campo
ruotato sara’ la stessa sovrapposizione dei due campi ruotati, in
modo che le frange di interferenza associate a ER si ottengano
ruotando le frange di interferenza associate ad E.
• Per analoghi motivi, la relazione lineare si generalizza a tutti i
campi, utilizzando matrici che “rappresentano” la rotazione nello
spazio delle componenti del campo:
• Possiamo anche considerare cambiamenti di sistema di riferimento
piu’ complessi: mettiamo tutti gli apparati su un’astronave... devono
valere leggi di trasformazione analoghe.
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dettagli piu’ matematici
• La forma delle matrici Λ(R) e’ vincolata dalla condizione che esse
soddisfino le stesse leggi di composizione delle rotazioni
• se eseguiamo due rotazioni, R1 e R2, in sequenza, la rotazione
complessiva e’
– R= R1 * R2
• e lo stesso deve accadere per i campi:
– Λ(R)= Λ(R1 R2)= Λ(R1) Λ(R2)
• le matrici Λ(R) sono una “rappresentazione” delle trasformazioni R,
(cfr. Lez. 10)
• in parallelo alla trasformazione dei campi, si devono trasformare
anche gli stati fisici
• secondo E. Wigner, la trasformazione degli stati fisici deve essere
prodotta da un operatore U(R) che deve soddisfare due condizioni:
– U(R)= U(R1 R2)= U(R1) U(R2) (conservazione dei prodotti)
– U(R)=Operatore unitario o Antiunitario (conservazione delle probabilita’)
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2. Simmetrie e leggi di conservazione
R. P. Feynman, The Character of the Physical Law
• sono le leggi di conservazione, che ci permettono di
riposare qualche istante: sappiamo che le mosse non
possono cambiare il valore dell’ energia, del
momento angolare, della carica elettrica e cosi’ via
• la relazione che lega le simmetrie (rotazioni,
traslazioni nello spazio e nel tempo, etc.) alle leggi di
conservazione e’ stata individuata nel secolo scorso
da Emmy Noether, fisica matematica tedesca, ed e’
uno degli aspetti piu’ affascinanti della fisica
moderna
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Dinamica...
• Nello spazio interplanetario, lontano dai corpi celesti, non ci sono
direzioni privilegiate, la dinamica dei campi e dei campi ruotati deve
essere la stessa:
– Azione (φ)=Azione(φR)
– conseguenza: le due configurazioni evolvono nel tempo restando sempre una la ruotata
dell’altra
φ(x)
x
φ(x1)
x1
x2
φ(x2)
• Questa e’ la simmetria. Da essa discende (secondo il teorema di E. Noether) la
conservazione del momento angolare (per i pianeti, la seconda legge di Keplero).
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Una generalizzazione coraggiosa
• Possiamo ipotizzare trasformazioni piu’ complicate della semplice rotazione
degli apparati
• ad es. possiamo cambiare le nostre macchine in modo che, dove producevano
un protone adesso producono un neutrone, e viceversa: lo scambio quark up ⇄
quark down
• oppure sostituire quark up e quark down con le combinazioni (con U matrici
unitarie)
• Se l’Azione e’ invariante sotto questa trasformazione, allora abbiamo una
simmetria: corrisponde al gruppo SU(2) ed e’ la simmetria di Spin Isotopico
(Lez. 6, 8), rispettata in natura con ottima approssimazione
– Nota: l’Azione e’ invariante se q compare sempre moltiplicato per il suo complesso coniugato,
come avviene nella teoria di Dirac per campi di spin 1/2
• ... e delle conseguenti leggi di conservazione, per il Teorema di Noether.
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La prima generazione di quark e leptoni e le trasformazioni
che collegano i diversi tipi di campi, sotto cui pensiamo che
l’Azione sia invariante
• Le trasformazioni sono rappresentate da matrici unitarie:
• Le trasformazioni infinitesime (vicine all’identita’) sono individuate da N generatori
infinitesimi che caratterizzano le rispettive Algebre di Lie (Lez. 8). SU(2): N=3, SU(3): N=8.
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3. No Spooky Action at a Distance !
• Se vogliamo tenere lontano lo spettro dell’ “Azione-a-distanza”, dobbiamo
chiedere che le simmetrie tra tipi diversi di campi siano simmetrie locali,
cioe’ simmetrie di gauge, proprio come l’invarianza di gauge
dell’Elettrodinamica Quantistica (QED);
• dobbiamo quindi richiedere che l’Azione sia invariante per trasformazioni
locali, diverse da punto a punto dello spazio-tempo:
Ψ(x) → Ψ(x)’=U(x) Ψ(x)
• Questo e’ in conflitto con la necessita’ di accoppiare tra loro i campi in
punti diversi (cioe’ di introdurre nell’Azione termini che contengono la
derivata dei campi)
• ma si puo’ risolvere (come in QED) introducendo dei campi vettoriali , Wµi
(uno per ognuno degli N generatori dell’algebra di Lie) e formando la
“derivata covariante” dei campi Ψ,
• il risultato e’ che se abbiamo un’Azione, A(Ψ, ∂µ Ψ) invariante per
trasformazioni globali, la funzione A(Ψ, Dµ Ψ), ottenuta con la sostituzione
∂µ Ψ → Dµ Ψ
e’ invariante per trasformazioni locali.
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dettagli matematici
• la trasformazione di ∂µ Ψ contiene un termine irregolare:
• introduciamo i campi Wµi (uno per ogni generatore Ti dell’algebra di Lie) con una legge di
trasformazione analoga a QED, g e’ una costante di accoppiamento analoga alla carica
elettrica e:
• la derivata covariante: DµΨ= (∂µ + igWµT] Ψ si trasforma come Ψ:
• l’ultimo passaggio si ottiene usando la relazione:
• se A(UΨ, U∂µ Ψ)= A(Ψ, ∂µ Ψ) per U costante, allora A(UΨ, UDµ Ψ) =A(Ψ, Dµ Ψ) per
U=U(x).
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4. La teoria di Yang-Mills (1954)
• Dobbiamo aggiugere all’Azione dei campi di materia, A(Ψ, Dµ Ψ), l’Azione
che descriva la propagazione dei campi W (d’ora in poi “campi di gauge” o
“campi di Yang-Mills”)
• In QED, questa azione e’ il quadrato del tensore di Maxwell,
Fµν =∂νAµ-∂µAν , che e’ invariante per trasformazioni di gauge
• Yang e Mills hanno individuato l’analogo del tensore di Maxwell nella forma
• che permette di costruire un’Azione, AYM(Gµν ) anch’essa invariante
• la conclusione e’ un’Azione totale, materia piu’ campi di YM, della forma:
Atot(Ψ, Dµ Ψ, Gµν )=A(Ψ, Dµ Ψ)+ AYM(Gµν )
• che descrive le interazioni della materia con i campi di YM in termini di una sola
costante di accoppiamento, g, come in QED
• a differenza di QED, i campi di YM hanno interazione tra loro, sempre determinata
da g.
La simmetria locale determina
completamente la dinamica!!!
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Le interazioni di YM
• La realizzazione piu’ “pura” della teoria di Yang-Mills e’ quella delle forze
associate alla simmetria di colore, gruppo SU(3)
• in analogia con QED, la teoria di YM del colore prende il nome di QCD
(Quantum-Chromo-Dynamics)
• linee solide con freccia: quark di un dato tipo (e.g. up) in tre colori
• linee ondulate: otto campi di YM, spin 1, massa = 0, gluoni
• i quark di differente colore hanno la stessa carica elettrica → i gluoni hanno carica
elettrica =0: sono i partoni neutri individuati da Feynman nelle reazioni inelastiche!
• i processi di QCD sono regolati da una sola costante gs; le probabilita‘ sono
determinate da αs= gs2/(4π)
• la liberta’ asintotica della QCD dice che αs→0 a grandi momenti trasferiti
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Quantum Chromo
Dynamics: αs vs. Q2
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dove sono i quark e i gluoni?
• le annichilazioni e+e- sono una sorgente copiosa di quark e di gluoniche
appaiono come eventi con 2 o 3 jet di particelle nello stato finale
• e’ il confinamento, bellezza:
• lo stato finale deve essere neutro di colore..
• ogni partone si circonda di partoni sempre piu’ soffici che lo connettono agli
altri partoni “duri” e il tutto si trasforma nei mesoni che osserviamo
• dallo studio dei 3 jet possiamo determinare αs , con i risultati gia’ visti
• ci sono anche eventi con 4 jet
• con cui si studia il vertice a 3 gluoni
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Il gruppo di colore dagli esperimenti!
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La sezione d’ urto per 4 jet
e’ sensibile alla natura del
gruppo di colore
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Summing up
• La simmetria globale del colore e’ stata individuata a partire dal
problema della statistica dei quark nei barioni
• confermata dal rapporto R (adroni/mu+mu- ) ad Adone e ad energie
piu’ elevate
• promossa a simmetria di gauge da Han&Nambu
• liberta’ asintotica (Gross&Wilczeck, Politzer, 1973) e modello dei
partoni
• 20 anni dopo l’articolo di Yang e Mills, la QCD fornisce l’esempio
perfetto di come la teoria di campo e la simmetria di gauge possa
spiegare la dinamica delle interazioni forti...nel regime in cui
l’intensita’ si attenua
• dei processi in cui intervengono le interazioni forti nel regime
“forte” abbiamo un controllo amcora molto parziale
• ma la rivoluzione della QCD ha stabilito un paradigma in cui questo
non e’ piu’ il problema centrale (T. Kuhn docet)
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Summing up (continua)
• Negli stessi anni si afferma la descrizione YM delle interazioni
elettrodeboli, con l’ingrediente della rottura spontanea (come
vedremo nelle prossime lezioni)
• sono dunque TUTTE le forze a livello elementare derivate da un
principio di gauge?
• e da una unica simmetria?
• E’ il problema della Grande Unificazione, che stimola nuove idee
sulla stabilita’ della materia e sui problemi astrofisici: nasce la fisica
delle Astro-Particelle e si approfondisce la fisica del neutrino
• ... e dal 1973 inizia la stagione delle Grandi Scoperte Sperimentali
La storia continua.
Restate collegati !!!
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