Prova scritta del 17 febbraio 2017

Corso di Fisica 2 per studenti di Fisica
AA 2016-17 prof. M. Bassan, dr. I. Colantoni, A. Satta
Secondo appello sessione estiva anticipata, 17 febbraio 2017
Scrivere il nome su ogni foglio consegnato.
Lasciare per la correzione 1/3 della prima pagina, in alto, accanto al nome.
NON verranno considerate soluzioni numeriche prive di una corrispondente equazione simbolica.
Risultati sul sito del corso
IL TESTO DELLA PROVA SI ESTENDE SULLE DUE FACCIATE DI QUESTO FOGLIO
Problema 1.– Sui vertici di un esagono regolare di lato L=10 cm sono poste delle cariche puntiformi
(vedi figura).
a) Calcolare il potenziale ed il campo elettrico al centro dell’esagono se q = 12 pC.
b) Calcolare il momento di dipolo del sistema di cariche.
Figura 1: problema 1
Problema 2.– Consideriamo due sistemi di riferimento, R e R0 , che è in moto relativo con velocità U x̂
(U > 0). In R0 un punto materiale P, inizialmente fermo in x10 , comincia a muoversi, all’istante t10 con velocità
costante v0 nel verso negativo delle x. All’istante t20 P si ferma, diciamo istantaneamente.
Determinare:
a) La velocità v del punto P rispetto a R quando é in moto anche rispetto a R0 .
b) La distanza percorsa dal punto P in R nel periodo in cui si muove in R0 .
c) l’intervallo di tempo ∆t in R in cui questa distanza viene percorsa.
Dati numerici: x’1 = 10 m, t’1 = 0, v’ = c/3, t?2 = 200 ns, U = 0,6c
Problema 3.– Un filo di stagno di sezione Σ è usato per creare un avvolgimento di N spire di forma
rettangolare, con lati a e b. Tale avvolgimento è posto a distanza x0 da un filo rettilineo indefinito su cui
scorre una corrente


t <0
0
I(t) = αt 0 ≤ t ≤ T
(1)


αT t > T.
1
L’avvolgimento è chiuso su un generatore di differenza di potenziale V0 , ed è tenuto fermo mediante
l’applicazione di una forza ~F0 (t). Determinare, trascurando l’autoinduzione dell’avvolgimento,:
a. la corrente in funzione del tempo che scorre nell’avvolgimento;
b. la forza ~F0 (t)
c. la carica che scorre nell’avvogimento nell’intervallo 0 < t < T .
Dati: ρsn = 11 · 10−8 Ω/m, Σ = 1mm2 , T = 100s, N=100, a = 20 cm, b = 80 cm, x0 =2cm, V0 = 0.1 mV,
α = 1 A/s.
I
+
−
b
a
Xo
a
Figura 2: problema 2
2
SOLUZIONE PROBLEMA 1.–
a) Il potenziale al centro dell’esagono è nullo:
V (O) =
q
−2q
1
[4 · + 2 ·
]
4πε0
L
L
(2)
b) per il calcolo del campo elettrico occorre scegliere un sistema di assi. Risulta comodo un sistema in cui
un asse (diciamo x̂) coincida con l’asse del lato che congiunge le due cariche negative, con verso positivo
dal centro del lato verso il centro O dell’esagono. L’asse ŷ sia perpendicolare a questo, passante per il
centro O. In questo modo, le cariche sono distribuite simmetricamente rispetto all’asse x. Possiamo quindi
considerare tre coppie di cariche, in posizione simmetrica rispetto ad x; la coppia che giace sull’asse y dà
contributi uguali ed opposti, mentre per le altre due si annulla la componente y ma si somma quella lungo x.
√
1
−2q
q
−
3q
~E(0, 0) =
[2 · 2 cos(π/6) x̂ + 2 · 2 cos(π/6) x̂)] =
x̂ = 18.7 V /m x̂
(3)
4πε0
L
L
4πε0 L2
c) Per simmetria, il momento di dipolo deve essere orientato lungo l’asse x. Con la stessa scelta di assi del
punto b, e con considerazioni simili:
√
~p = 2 · (−2qLcos(π/6) x̂ + qLcos(π/6) x̂ + 0 ŷ) = −qL 3 x̂ = 2.1 10−12 Cm x̂
(4)
SOLUZIONE PROBLEMA 2.– Si tratta di applicare le formule standard delle trasformazioni
di Lorentz per tempo, distanza, velocità, con l’unica complicazione sui segni delle velocità: v0 è negativa, lo
dice il testo, ma non impatta sulle equazioni. Invece U è la velocità con cui R0 trasla rispetto a R, mentre noi
dobbiamo applicare trasformazioni da R0 → R, quindi dovremo usare le trasformazioni inverse, con −U al
posto di U.
a) I boost tra i due riferimenti corrisponde a
γ(U) = (1 − 0.62 )−1/2 = 1.25. La velocità del punto e il boost sono parallele; dalla composizione relativistica delle velocità abbiamo:
v0 +U
v=
(5)
= c/3 = 108 m/s
1 + v0U/c2
b) dobbiamo prima trovare l’intervallo percorso in R0 : ∆x0 = x20 − x10 = v0 · (t20 − t10 ) = −20 m; poi:
∆x = x2 − x1 = γ(U)[x20 − x10 −U(t20 − t10 )] = +20m;
(6)
∆t = t2 − t1 = γ(U)[t20 − t10 −U/c2 (x20 − x10 )] = 2 10−7 s
(7)
c)
Notare che, una volta noto ∆t, si può verificare che ∆x = vδt = −20 m.
d) la velocità del punto in R è quella trovata al punto a) nell’intervallo t10 < t 0 < t20 , mentre è −U in tutto il
resto del tempo, essendo ferma in R0 .
SOLUZIONE PROBLEMA 3.–
L’avvolgimento equivale ad una resistenza pari R = ρl/Σ = ρ · (a + b) · 2 · N/Σ = 22 Ω. Distinguiamo i tre
casi t < 0, 0 ≤ t ≤ T, t > T.
3
Per t < 0 il filo non è percorso da corrente e quindi non produce campo magnetico. Nel circuito chiuso
composto dal generatore e dall’avvolgimento scorre una corrente costante i = V0 /R = 4.5µA. Non essendoci
campo magnetico prodotto dal filo l’avvolgimento non subisce forze e quindi ~F0 = 0.
Per 0 ≤ t ≤ T , il filo produce un campo
~B(t, r) = µ0 I(t) = µ0 αt ,
2πr
2πr
(8)
φ (B) concatenato con l’avvolgimento perciò varia nel tempo che produce una fem indotta. Poiché
Z x0 +a
φ (B) = N
bB(t, x)dx = N
x0
Z x0 +a
µ0 αt
x0
Nbµ0 αt
b
dx =
2πx
2π
Z x0 +a
1
x0
x
dx =
Nbµ0 αt
x0 + a
)
ln(
2π
x0
(9)
dove si è orientata la normale alla superficie entrante nel foglio. La fem indotta è quindi
f em = −
dφ
Nbµ0 α
x0 + a
=−
ln(
)
dt
2π
x0
(10)
con verso tale da far scorrere corrente in senso antiorario, infatti la fem ha verso negativo rispetto alla
normale, entrante al foglio, che avevamo scelto. Il circuito costituito dall’avvolgimento chiuso sul generatore
soddisfa l’equazione
V0 − f em = Ri,
(11)
poichè la fem è costante in questo intervallo di tempo allora anche la corrente nell’avvolgimento è costante.
La forza che subisce l’avvolgimento per l’interazione con il campo magnetico prodotto dal filo riceve contributi solo dai lati paralleli al filo, i contributi dei lati ortogonali sono uguali ed opposti e quindi si cancellano.
La forza sul lato più vicino al filo è ~F(t) = NbiB(t, x0 )x̂ cioe’ tende ad allontanare l’avvolgimento dal filo,
quella sul lato opposto è ~F(t) = −NbiB(t, x0 + a)x̂. La forza risultante è quindi
a
~F(t) = Nbi(B(t, x0 ) − B(t, x0 + a))x̂ = Nbiµ0 αt
.
2π
x0 (x0 + a)
(12)
Dalla condizione che l’avvolgimento resti fermo abbiamo che ~F0 (t) = −~F(t) La carica che scorre nell’avvolgimento nell’intervallo 0 < t < T è Q = i ∗ T . Numericamente fem=-0.038mV, i(t) = 6.3µA, ~F0 (t) =
−4.6 · t x̂ nN, Q = 630µC
Per t > T il campo generato dal filo non dipende dal tempo, perciò non vi è più la fem indotta sull’avvolgimento. L’equazione che descrive il circuito è quindi solo
V0 = Ri
(13)
La forza fra filo e avvolgimento è quindi ~F(t) = Nbi(B(T, x0 ) − B(T, x0 + a))x̂. Numericamente i = 4.5µA,
~F0 (t) = −~F = −327x̂ nN
4