ANALISI MATEMATICA 2 (19 giugno 2003) 1. Sia a ∈ R, a 6= 0. L’integrale improprio +∞ Z π 2 0 − artg 1t dt et/a − 1 converge (A) per ogni a (C) se e solo se a > 0 (B) per nessun valore di a (D) se e solo se a ∈ (0, 1) La funzione integranda è continua su (0, +∞); poiché per ogni t > 0 vale π 1 − artg = artg t, 2 t se t → 0+ si ha f (t) = π 2 − artg 1t artg t t = t/a ∼ = a, t/a et/a − 1 e −1 cioè la funzione integranda può essere definita con continuità in t = 0, ponendo f (0) = a. Poiché per t → +∞ si ha π − π 1 a<0 − artg 2 t 2 ∼ π t/a e −1 a>0 2et/a l’integrale non converge se a < 0 (se il limite per t → +∞ della funzione integranda esiste, deve essere zero!!). Converge invece se a > 0: infatti in un intorno di +∞ si ha π − artg 1t π 1 0 ≤ 2 t/a ∼ t/a ≤ 2 t e −1 2e La risposta esatta è (C). 2. Tutte le primitive su (−5, +∞) della funzione f (x) = (2x + 3) log(x + 5) sono le funzioni g(x ) = ............................................................................................................ Integriamo per parti: Z Z 2 x + 3x f (x)dx = (x2 + 3x) log(x + 5) − dx = (x2 + 3x) log(x + 5)+ x+5 ¸ Z · 10 x2 − x−2+ dx = (x2 + 3x) log(x + 5) − + 2x − 10 log(x + 5) + c x+5 2 3. Sia © ª E = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z > 0, 2y < x2 + z 2 < y + 5 . Z Allora xz dxdydz vale E (A) 125 16 (B) 25 2 (C) − 1 8 (D) 125 8 Vista la definizione di E, utilizziamo le coordinate cilindriche, ponendo però x = ρ cos θ z = ρ sin θ y=y ρ > 0, θ ∈ (0, 2π), y ∈ R Osserviamo prima di tutto che deve essere 2y < y + 5 e quindi y < 5. Allora l’insieme corrispondente ad E (a meno di insiemi di misura zero) è n o p π p E ∗ = (ρ, θ, y) : 0 < y < 5, 0 < θ < , 2y < ρ < y + 5 2 Si ha Z Z xz dxdydz = · E sin2 θ = 2 dθ 0 ¸θ=π/2 Z θ=0 · Z π/2 dy 0 √ Z 5 y+5 √ 2y ρ3 cos θ sin θ dρ ¸ρ=√y+5 Z ¤ 1 5£ dy = −3y 2 + 10y + 25 dy √ 8 0 0 ρ= 2y ¤ 1£ 3 125 y=5 = −y + 5y 2 + 25y y=0 = 8 8 5 ρ4 4 e la risposta esatta è (D). 4. Nel suo insieme di definizione, la funzione f (x, y) = x log(2x + y − 1) (A) ha un punto di minimo relativo che non è assoluto (B) ha un punto di minimo assoluto (C) non ha estremanti (D) ha un punto di massimo relativo che non è assoluto Poiché f è di classe C ∞ sul semipiano © ª S = (x, y) ∈ R2 : y > −2x + 1 , cerchiamo eventuali punti stazionari. Si ha 2x fx (x, y) = log(2x + y − 1) + =0 2x + y − 1 x fy (x, y) = =0 2x + y − 1 e quindi l’unico punto stazionario (appartiene a S!!) è (0, 2). Poiché · ¸ 4 1 det Hf (0, 2) = det <0 1 0 il punto (0, 2) non è estremante; la risposta esatta è (C). 5. Tutte le soluzioni su R dell’equazione differenziale y 000 + 5y 00 + 6y 0 = 6x2 − 2x sono le funzioni y(x) = .......................................................................................................... Abbiamo una equazione differenziale lineare del terzo ordine a coefficienti costanti. L’equazione caratteristica associata z 3 + 5z 2 + 6z = z(z + 2)(z + 3) ha le radici reali distinte λ = −3, −2, 0 e quindi tutte le soluzioni dell’equazione omogenea sono le funzioni yom (x) = c1 + c2 e−3x + c3 e−2x c1 , c2 , c3 ∈ R Cerchiamo una soluzione particolare del tipo y ∗ (x) = x(ax2 + bx + c) Derivando e sostituendo nell’equazione, si ottiene a= 1 3 b = −1 c= 4 3 e quindi tutte le soluzioni dell’equazione assegnata sono µ 2 ¶ x 4 y(x) = x −x+ + c1 + c2 e−3x + c3 e−2x 3 3 6. Sia f = f (t) una funzione derivabile su tuttoR e g(x) = f (kxk) Allora (A) per ogni x ∈ Rn si ha x ∈ Rn ∂g (x) = f 0 (kxk)xj ∂xj (B) per ogni x ∈ Rn , x 6= 0, si ha k∇g(x)k = |f 0 (kxk)| (C) per ogni x ∈ Rn , x 6= 0, si ha k∇g(x)k = f 0 (kxk) kxk (D) per ogni x ∈ Rn si ha ∂g (x) = f 0 (kxk)2xj ∂xj cj ∈ R Dal teorema di composizione delle funzioni differenziabili si ha ∂ ∂g (x) = f 0 (kxk) · kxk. ∂xj ∂xj Poiché v u n uX kxk = t x2 , k k=1 si ha 1 ∂ kxk = ∂xj 2 Ã n X !−1/2 x2k 2xj = k=1 xj kxk e quindi sia la (A) che la (D) sono false. Calcoliamo la norma del gradiente: si ha v v uX ¶2 µ ¶2 uX µ u n u n ∂g xj k∇g(x)k = t (x) = t f 0 (kxk) ∂xj kxk j=1 j=1 v uX n |f 0 (kxk)| u |f 0 (kxk)| t = x2j = · kxk = |f 0 (kxk)| kxk kxk j=1 e quindi la risposta esatta è (B). 7. Il grafico della funzione Z F (x) = x √ t + 1 artg t + sin t 3 1 2−t dt è approssimativamente rappresentato nel disegno............. Presentiamo un breve studio di funzione. L’integranda √ 1 t + 1 artg 2−t f (t) = t + sin t è definita e continua su [−1, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞); poiché la funzione integrale è definita a partire da x0 = 3, F è definita almeno su (2, +∞). Poiché √ 3 ³ π´ f (t) ∼ ∓ t → 2± , (*) 2 + sin 2 2 l’integrale improprio su (2, 3) converge e anche gli integrali su (x, 3) per ogni x > 0. Quindi F è definita almeno su (0, +∞). Poiché f (t) ∼ artg 2 1 2 · 1 t t → 0, l’integrale improprio su (0, +∞) non converge e quindi l’insieme di definizione di F è (0, +∞). Dal teorema fondamentale dell’integrazione, tenuto conto della (*), abbiamo √ 1 x + 1 artg 2−x 0 F (x) = f (x) = x= 6 2 x + sin x e x = 2 è un punto angoloso (la punta dell’angolo è rivolta verso l’alto); inoltre (si tenga presente che sin x > −x per ogni x > 0) si ha F 0 (x) > 0 F 0 (x) < 0 0<x<2 x>2 F cresce su (0, 2) F decresce su (2, +∞) e anche lim F (x) = −∞. x→0+ Per la monotonia, F ammette limite a +∞ e, poiché √ t 1 f (t) ∼ = − 3/2 , t(2 − t) t tale limite è finito; quindi il grafico di F presenta un asintoto orizzontale. 8. Sia ya la soluzione del problema di Cauchy a eax cos x =0 y0 − y + 3 3y 2 a∈R. y(0) = 2 Allora il limite lim ya (x) x→−∞ esiste finito se e solo se (A) a > 0 (B) a ≥ 0 (C) a < 0 (D) a < 4/3 L’equazione differenziale è una equazione di Bernoulli; posto u(x) = y 3 (x), si ha il nuovo problema ½ 0 u − au = −eax cos x u(0) = 8 la cui soluzione è Zx u(x) = eax 8 − cos r dr = eax (8 + sin x). 0 Quindi ya (x) = p 3 eax (8 + sin x). Poiché 7 ≤ 8 + sin x ≤ 9, si ha p √ √ √ 3 3 3 = 7e(a/3)x = 7eax ≤ ya (x) ≤ 3 eax (8 + sin x) = 9e(a/3)x Quindi dal teorema del confronto per il calcolo dei limiti si ricava che ya diverge a +∞ se a > 0, converge a 0 se a < 0; se a = 0 invece non ammette limite. La risposta esatta è (C).